Задачи от квадратни уравнения - много трудни задачи с решения

Решение:
Уравнението е определено за x такива, че [tex]x-2 \ne 0; x+2 \ne 0; x^2-4 \ne 0[/tex], което е еквивалентно на [tex]x \ne \pm 2[/tex].
[tex]\frac{5}{2-x}+\frac{x-5}{x+2}+\frac{3x+8}{x^2-4}=0[/tex]
[tex]\frac{3x+8}{x^2 - 4}=-\frac{3x+8}{4-x^2}[/tex]
[tex]\frac{5(x+2)}{(2-x)(x+2)}+\frac{(x-5)(2-x)}{(x+2)(2-x)}+\frac{3x+8}{x^2-4}=0[/tex]
[tex]\frac{5x+10}{4-x^2}+\frac{2x-10-x^2+5x}{4-x^2}-\frac{3x+8}{4-x^2}=0[/tex]. Повече нямаме нужда от знаменателя и се освобождаваме от него.
[tex]5x+10+7x-10-x^2-3x-8=0[/tex]
[tex]x^2-9x+8=0[/tex]
[tex]x^2-8x-x+8=0[/tex]
[tex]x(x-8)-(x-8)=0[/tex]
[tex](x-1)(x-8)=0[/tex], следователно корените са x=1 и x=8. Правим справка с дефиниционното множество за да видим, че и двете решения принадлежат в дефиниционния интервал.

Решение:
a е очевидно ненулево число. Делим двете страни на уравнението с [tex]a^2[/tex] за да получим [tex]\frac{x^2}{a^2}-2\frac{ax}{a^2}+\frac{a^2}{a^2}=0[/tex]
[tex](\frac{x}{a})^2-2.\frac{x}{a}+1=0[/tex], или [tex](\frac{x}{a}-1)^2=0[/tex], откъдето получаваме [tex]\frac{x}{a}=1[/tex].

Решение:
Нека да предположим, че първата страница, на която отворил книгата е n.
Ясно е, че следващата страница е n + 1.
Произведението на 2-те страници е 1122 значи:
n . (n + 1) = 1122
Разкриваме скобите и получаваме [tex]n^2 + n = 1122[/tex].
Прехвърляме всичко от едната страна и получаваме квадратното уравнение [tex]n^2 + n – 1122 = 0[/tex].
Корените на уравнението са -34 и 33.
Числото -34 е отрицателно следователно не може да е номер на страница.
Другото число 33 може да е решение.
И така първото число е 33, а второто n + 1 = 33 + 1 = страница 34.

Решение:
Нека [tex]x[/tex] е [tex]\sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]x = \sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]x^2 = 6 + \sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]\Rightarrow x^2=6+x[/tex]
[tex]x^2- x - 6 = 0[/tex]
[tex](x+2)(x-3) = 0[/tex]
[tex]x = -2[/tex] или [tex]x = 3[/tex]
[tex]x[/tex] трябва да е по-голямо от 0, защото корен квадратен е винаги положително число, значи

[tex]\sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}} = 3[/tex]