Олимпиада по математика - 2006

Успешно на олимпиадата по математика за 2005-2006 се представиха:

Ренай Гюнарова Руждиева от ОУ "Иван Вазов" - 4 в клас
гр. Русе

Сияна Ясенова Плачкова от ПМГ "Проф.Емануил Иванов" VI клас
гр.Кюстендил

Олимпиадата се провежда по предложение на valesh(потребител от форума).

Олимпиада математика - 4 клас

Задача 1. Намислих число. Увеличих го с 33. Полученият сбор увеличих 3 пъти. Полученото произведение намалих 7 пъти и полученото частно намалих с 11. Получих 7. Кое число съм намислил?

Задача 2. Ани, Боряна, Виолета и Галя направили следните покупки: За 1 химикалка, 1 молив и 1 тетрадка Ани заплатила 660 стотинки. За 1 химикалка, 1 молив и 1 блокче Боряна заплатила 510 стотинки. За 1 химикалка, 1 тетрадка и 1 блокче Виолета заплатила 770 стотинки. За 1 молив, 1 тетрадка и 1 блокче Галя заплатила 640 стотинки. Каква е цената на всеки предмет?

Задача 3. Дължините на страните на триъгълник са 5 см, 7 см и 10 см.
A) Да се намери страната на равностранен триъгълник, на който обиколката е с 4 см по-малка от обиколката на дадения триъгълник.
B) Да се намери бедрото на равнобедрен триъгълник с обиколка два пъти по-голяма от обиколката на дадения и с основа 4 пъти по-голяма от най-малката страна на дадения триъгълник.
C) Съществува ли равнобедрен триъгълник с обиколка, равна на обиколката на дадения и с основа 11 см?

Олимпиада математика - 5 клас

Задача 1. Извършете означените действия:
(4 5/7 – 1 11/14).4 2/3 + ( 3 2/9 – 1 5/6). 18/25

Задача 2. Резервоарът на един автомобил съдържа бензин, който заема 5/6 от височината му. След изминаването на 125 км път се оказало, че резервоарът е празен 4/9 от обема си. Като се знае, че пълният резервоар събира 54л. бензин, колко бензин е необходим, за да измине автомобилът 50 км. разстояние.

Задача 3. Колко метра балатум е необходим за постилането на пода на стая с дължина 4м и 80 см и широчина 4м, ако балатумът е широк 1м. и 60см.?

Олимпиада математика - 6 клас

Задача 1. Намерете неизвестния член на пропорцията
(5 7/18 – 4 28/30).(1,12.1 1/9) = х : (3,2 + 0,8.5 ¹/₂ - 3,25)

Задача 2. В три торби има общо 64,2 кг. захар. Втората торба съдържа 4/5 от количеството захар в първата, а третата 42¹/₂% от това във втората. Колко захар има във всяка торба?

Задача 3. Живак поставен в стъклен цилиндричен съд заема 0,6 от височината му и тежи 20,4 кг. Определете обема на живака, вместимостта на съда в литри и височината му, ако един кубически сантиметър живак тежи 13,6г. и диаметърът на основата на съда е 2дм.

Олимпиада математика - 7 клас

Задача 1. Намерете числената стойност на израза
(10а²b + 2ab² + 1)/2ab³ за а = 0,1 и b равно на най-голямото двуцифрено отрицателно число.

Задача 2. През точка М вън от октъжността с център О са прекарани секущите МА и МВ така, че МА минава през центъра на окръжността, а външната част на МВ е равна на радиуса. Докажете, че ъгълът АОВ е три пъти по-голям от ъгъла, образуван от двете секущи.

Изберете задача 3 или 4

Задача 3. В равнобедрен триъгълник впишете равностранен триъгълник така, че върхувете му да лежат на страните на дадения триъгълник, а една от страните му да е успоредна на основата на равнобедрения триъгълник.

Задача 4. На страната ВС на равностранен триъгълник е взета точка М, така, че ВМ = 5 и МС = 9 см. От тази точка са спуснати перпендикуляри към другите две страни. Изчислете разстоянието от върха А до пресечните точки на перпендикулярите с АС и АВ.

Олимпиада математика - 8 клас

Задача 1. Решете уравнението
(х – 1)/(а – 1) + (2а²(1 – x))/(a⁴ - 1 ) = (2x – 1)/(1 – a⁴) – (1 – x)/(1 + a)

Задача 2. В равнобедрен трапец диагоналът дели тъпият ъгъл на две равни части. По-голямата основа е с а см по-малка от периметъра на трапеца, а средната му основа е равна на b см Определете по-малката основа.

Задача 3. Дадени са две пресичащи се окръжности. През една от общите им точки прекарайте права, така че окръжностите да отсичат равни отсечки върху правата.

Олимпиада математика - 9 клас

Задача 1. Да се докаже, че за всяко реално число x е в сила неравенството

Задача 2. Дадени са две пресичащи се окръжности, вписани в ъгъл с връх A. Нека B е една от пресечните точки на тези окръжности, а C и D са допирните точки на окръжностите с едното рамо на ъгъла. Да се докаже, че правата AB се допира до окръжността, минаваща през точките B, C, D.

Задача 3. Точките от равнината са оцветени в два цвята. Да се докаже, че ако ABC е произволен триъгълник, съществуват три такива еднакво оцветени точки X, Y и Z, че триъгълникът XYZ е подобен на триъгълника ABC.

Олимпиада математика - 10, 11, 12 клас

Изберете 2 задачи.

Задача 1. Да се намерят всички реални стойности на b, за които неравенството
cos²x + 2bsinx – b² – b + 2 < 0 е в сила за всяко реално x.

Задача 2. Четири последователни страни на вписан в окръжност осмоъгълник има дължина 3, а останалите четири страни са с дължина 2. Да се намери лицето на осмоъгълника.

Задача 3. В дадена триъгълна пирамида ъглите, определени от апотемите и техните ортогонални проекции в равнината на основата са α, β и γ, а лицата на съответните им околни стени са S_a, S_b и S_c. Да се докаже, че
S_осн. = S_a.cosα + S_b.cosβ + S_c.cosγ.

Задача 4. Функцията y = f(x) е дефинирана за всяко x от R и непрекъсната в точката x = 0. Да се намери тази функция, ако е известно, че 2f(2x) = f(x) + x за всяко x от R.

Задача 5. а) За произволен триъгълник ABC с ъгли α, β и γ и радиуси на вписаната и описаната окръжност r и R, да се докаже, че
cosα + cosβ + cosγ = 1 + r/R.
б) Да се докаже, че ако четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност, то сумата от радиусите на окръжностите, вписани съответно в триъгълниците ABC и ACD е равна на сумата от радиусите на окръжностите, вписани в триъгълниците ABD и BCD.

Задача 6. Нека Ox, Oy и Oz са три лъча в пространството, имащи общо начало и нележащи в една равнина. Известно е, че при всеки набор на точките A, B и C съответно върху Ox, Oy и Oz (различни от O), триъгълникът ABC е остроъгълен. Да се докаже, че трите лъча Ox, Oy и Oz са два по два взаимно перпендикулярни.