Румъния - олимпиади

1. Да се намерят всички стойности на израза
        √a² + a + 1 - √a² - a + 1
където a R.

2. Нека ABCD произволен изпъкнал четириъгълник и M е точка от диагонала AC. През M са прекарани прави, успоредни на AB и CD, които пресичат съответно BC в точката P и AD в точката Q.
a) Да се докаже, че
        $MP^2 + MQ^2 \ge \frac{AB^2.CD^2}{AB^2 + CD^2}$
Кога е възможно равенство?
б) Да се намери множеството от точки, което описва средата на отсечката PQ, когато M описва отсечката АС.

3. Да се определи естествено число k така, че изразът
        sin kx.sin^k x + cos kx.cos^k x - cos^k 2x
да не зависи от x.
Отговор: k = 3.

4. Функцията ƒ R -> R е дефинирана с равенството
      ƒ(x) = x|x - a₁| + |x - a₂| + .... + |x - a_n|,
където a₁, a₂,...., a_n са фиксирани реални числа. Да се намери необходимо и достатъчно условие за a₁, a₂,...., a_n и n, при което функцията ƒ е диференцируема за всяко реално x.

5. Точките M, N, P, Q, R и S са средите съответно на страните AB, BC, CD, DE, EF, FA на даден шестоъгълник ABCDEF. Да се докаже, че равенството RN² = MQ² + PS² е необходимо и достатъчно условие за взаимна перпендикулярност на правите MQ и PS.

6. Да се докаже, че за всяка квадратна матрица А от ред n с реални елементи е изпълнено неравенството det(E + A²) ≥ 0.

7. Да се докаже, че ако l_a и m_a са съответно ъглополовящата и медианата от върха А в триъгълника ABC, то l_a ≤ m_a.

8. Да се намерят всички цели решения на уравнението
          x⁶ + 3x³ + 1 = y⁴.

9. Да се докаже, че за всяко x от интервала [0,π/2] е изпълнено неравенството
      sin (sin x) + cos (cos x) > sin (cos x) + cos (sin x) - 1,32.

10. С a, b и c са означени съответно дължините на страните BC, CA и AB на триъгълника ABC. Три окръжности с центрове A, B и C и радиуси съответно r₁, r₂ и r₃ пресичат страните на триъгълника в шест точки, които са две по две различни. Да се докаже, че тези шест точки лежат на една окръжност тогава и само тогава, когато a - r₂ = b - r₁ и b - r₃ = c - r₂.

11. Да се намери функцията ƒ, която е дефинирана за всяко естествено число n, приема само положителни стойности и удовлетворява следните две условия:
a) ƒ(4) = 4;
б) $\frac{1}{f(1).f(2)} + \frac{1}{f(2).f(3)} + .... + \frac{1}{f(n).f(n+1)} = \frac{f(n)}{f(n+1)}$
за всяко естествено число n.

12. Да се намерят всички реални решения на уравнението
          4^x + 6^x2 = 5^x + 5^x2.

13. Комплексните числа z₁, z₂ и z₃ удовлетворяват условията
      z₁ + z₂ + z₃ ≠ 0, z₁² + z₂² + z₃ = 0 и |z₁| = |z₂| = |z₃| = 1.
Да се докаже, че
          |z₁ + z₂ + z₃| = 2.

14. Да се реши уравнението
        $\frac{sin^3 a}{sin x} + \frac{cos^3 a}{cos x} = 1$

15. а) Ако a, b и c са дължини на страните на триъгълник, да се докаже, че
      a(2a² - b² - c²) + b(2b² - c² - a²) + c(2c² - a² - b²) ≥ 0.
б) Кога е възможно равенство в неравенството от подусловие а)?