МенюОлимпиада - Русия
Московски висши технически учебни заведения
1. Да се докаже, че уравнението xn = p(x), където p е полином от (n-1)-ва степен с положителни коефициенти, има точно един положителен корен.
2. Пространственото тяло Tr се състои от всички точки, разположени на разстояние r от даден изпъкнал многостен. Нека V(r) е обемът на Tr. Да се намери
$\lim_{r\to\infty}\frac{v(r)}{r^8}$
3. Да се пресметне
$\lim_{r\to\infty}\left(\frac{2^3 - 1}{2^3 + 1}.\frac{3^3 - 1}{3^3 + 1}.....\frac{n^3 - 1}{n^3 + 1}\right)$
4. Да се докаже, че редицата
$2, 2 + \frac{1}{2}, 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}, 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}.... $
има граница, и да се намери тази граница.
5. Дадена е редицата {an} за n от 0 до ∞ с положителни членове. Да се докаже, че
горната граница $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_1 + a_n + 1}{a_n}\right)^n \ge e$
6. Да се построят с линийка и пергел четири точки от парабола, която минава през три дадени точки и оста й е успоредна на дадена права.
7. Да се намерят всички реални диференциуеми функции, удовлетворяващи функционалното уравнение
$f(x + y) = \frac{f(x) + f(y)}{1 - f(x).f(y)}$
8. Нека a ≠ ±1 е реално число. Да се намери функция, дефинирана за x ≠ 1 и удовлетворяваща уравнението
$f\left(\frac{x}{x - 1}\right) = af(x) + \phi (x)$
9. Да се докаже неравенството
$\frac{m - n}{m} < ln\frac{m}{n} < \frac{m - n}{n}$
където 0 < n < m.
10. Да се докаже, че за всяко естествено число n са изпълнени неравенствата
$\frac{n^2}{2} < \phi (n). \sigma (n) < n^2$
където φ(n) броят на естествените числа, по-малки от n и взаимно прости с n (функция на Ойлер), а σ(n) е сумата на естествените делители на числото n.
11. Нека p(z) е полином. Да се докаже, че комплексните корени на уравнението p'(z) = 0 са разположени в изпъкналия многоъгълник, опънат на (комплексните) корени на p(z) = 0 (т.е. в изпъкналата обвивка на тези корени).
12. Съществува границата
$\lim_{n\to\infty}sin n$
където n е естествено число.
13. да се пресметне границата
$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^{\frac{1}{n}}}{n + 1} + \frac{2^{\frac{2}{n}}}{n + \frac{1}{2}} + .... + \frac{2^{\frac{n}{n}}}{n + \frac{1}{n}}\right)$
14. Да Нека X и Y са две независими случайни величини, равномерно разпределени в интервала (-b, b). Да се намери вероятността уравнението t2 + tX + Y = 0 да има реални корени. Да се намери границата на тази вероятност при -> ∞.
15. Да се докаже, че полиномът
$\sum_{k=1}^{n}\frac{(2x - x^2)^k - 2x^k}{k}$
се дели на xn+1.
16. за кои реални числа a и b редицата x0, x1, x2,...., дефинирана с равенствата
x0 = a, x1 = 1 + bx0, ...., xn+1 = 1 + bxn,.....,
е сходяща?
17. Да се намери множеството на всички реални числа α, при които за всеки две положителни числа x и y е в сила неравенството
$x \le \frac{\alpha - 1}{\alpha}y + \frac{1}{\alpha}.\frac{x^{\alpha}}{y^{\alpha - 1}}$
18. Нека A е матрица с размери nxn, като aij = ij. Да се намери ƒ'(0), където ƒ(x) = det(Ax + E).
19. Да се докаже, че числото 3√2 + √3 е ирационално.
20. Да се докаже, че числото 11....11, съставено от 1977 единици не може да има точно 365 делителя.
21. Да се намери уравнението на множеството на петите на перпендикулярите, спуснати от върха на параболата y2 = -4ax към допирателните на тази парабола.
