МенюРусия
Московска олимпиада
1. По колко различни начина могат да бъдат оцветени с шест дадени цвята стените на куб, ако всеки две различни стени трябва да са оцветени в различен цвят? (Различни са тези оцветявания, които не съвпадат, както и да се завърти куба.)
2. Дадени са права и две точки А и В в едната полуравнита отностно правата. Да се намери върху правата такава точка М, че сумата АМ + ВМ да е равна на дължината на дадена отсечката.
3. В пространството са дадени точките O1, O2, O3 и А. Точката А1 е симетричната на А относно O1, точката А2 е симетричната на А1 относно O2, точката А3 е симетричната на А2 относно O3. Получената точка A3 отново се подлага на три централни симетрии последователно относно O1, O2 и O3. Да се докаже, че последната получена точка съвпада с А.
4. На какъв максимален брой части може да се раздели пространството с n равнини?
5. На какъв максимален брой части може да се раздели пространството с пет сфери?
6. С O1, O2 и O3 са означени симетричните точки на центъра на описаната около триъгълника АВС окръжност спрямо всяка от страните му. Да се възстанови триъгълника АВС, ако са известни само точките O1, O2 и O3.
7. Колко са естествените числа х, които са по-малки от 10000 и за които 2x - x2 се дели на 7?
Отговор: 2857.
8. Да се докаже, че един правоъгълник не може да се разреже на 5 два по два разлчини квадрата.
9. Да се намерят такива различни едно от друго и различни от нула цели числа a, b, и c, че изразът
x(x - a)(x - b)(x - c) + 1
да се разлага в произведение на два полинома с цели коефициенти.
10. Някои от числата a1, a2,..., an а равни на +1, а останалите са равни на -1. Да се докаже, че
$2sin(a_1 + \frac{a_1a_2}{2} + \frac{a_1a_2a_3}{4} + ... + \frac{a_1a_2...a_n}{2^{n-1}})\frac{\pi}{4} = a_1\sqrt{2 + a_2\sqrt{2 + ... + a_n\sqrt{2}}}$
В частност при а1 = a2 = ... = an = 1 имаме
$2sin(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^{n-1}})\frac{\pi}{4} = 2cos(\frac{\pi}{2^{n+1}}) = \sqrt{2 + \sqrt{2 + ... + \sqrt{2}}}$
11. Дадена е редицата
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,
в която всяко число след второто е равно на сумата от двете предхождащи го. Има ли измежду първите 100000001 члена на тази редица число, което да завършва с четири нули?
12. В един град има 57 автобусни линии. Извесно е, че:
1) от всяка спирка може да се пътува до всяка друга спирка по някоя линия без прехвърляне;
2) всеки две линии имат точно една общя спирка;
3) всяка линия има не по-малко от три спирки.
Колко спирки има всяка от 57-те линии?
13. Да се докаже, че от всеки 16 последователни цели числа може да избере едно, което е взаимно просто с останалите.
14. Във вътрешността на квадрата A1A2A3A4 е разположен изпъкналия четириъгълник А5A6A7A8, а във вътрешността на четириъгълника А5A6A7A8 има точка A9. Да се докаже, че ако точките А1, A2, A3, A4, А5, A6, A7, A8, A9, никои три не лежат на една права, то от тях могат да се изберат пет, които са върхове на изпъкнал петоъгълник.
15. Да се докаже, че ако четири стени на един тетраедър са равнолицеви, то те са еднакви.
16. Без да се използват таблици, да се докаже, че
$\frac{1}{log_2 \pi} + \frac{1}{log_5 \pi} > 2$
17. В куб да се вмести оръжност с възможно най-голям радиус.
18. Да се докаже, че до даден крадрат не може да се допират повече от осем квадрата със същия размер, всеки два от които нямат обща вътрешна точка.
19. Нека a, b, и c са дължините на страните на даден триъгълник, а А, В, и С са мерките съответно на срещуположните им ъгли. Да се докаже, че
Aa + Bb + Cc ≥ ½(Ab + Ac + Ba + Bc + Ca + Cb).
20. Дадени са n окръжности O1, O2,....., On, които имат обща точка О. Вторите пресечни точки на О1 c O2, на O2 c O3,...., на On c O1 означаваме съответно с A1, A2,....., An. Избираме произволна точка B1 от O1. Ако B1 не съвпада с A1, построяваме правата A1B1 и означаваме с B2 пресечната й точка с O2. Ако B2 не съвпада с A2, построяваме правата A2B2 и означаваме с B3 пресечната й точка с O3 и т.н., докато получим точката Bn върху On. Ако Bn не съвпада с An, построяваме правата AnBn и означаваме с Bn+1 пресечната й точка с O1. Да се докаже, че Bn+1 съвпада с B1. (Забележка: Ако Bk съвпада с Ak за някое k, построяваме допирателна към Ok в точката Bk и означаваме с Bk+1 пресечката точка на тази допирателна с Ok+1.)
