Англия - задачи от олимпиади

1. Едно момче се намира в центъра на кръгло езеро. На брега на езерото стои неговият учител, който не може да плува. Учителят може да тича 4 пъти по-бързо, отколкото момчето може да плува, но не така бързо, както то може да тича. Възможно ли е момчето да избяга от учителят?

2. Хорда с дължина √3 разделя кръг с радиус 1 на две области. Да се намери правоъгълникът с максимално лице, който може да бъде вписан в една от тези области.

3. Стените на куб са оцветени в 6 дадени цвята, така че всяка стена има различен цвят. Да се намери колко куба с различно оцветяване може да бъдат получени по този начин. Да се покаже, че чрез оцветяване на осемте стени на правилен октаедър в 8 дадени цвята така, че всяка стена да има различен цвят, могат да бъдат получени 1680 различно оцветени правлини тетраедъра.

4. Да се намерят всички естествени числа n, за които 5ⁿ - 4ⁿ се дели на 61.

5. Крави пасат в една ливада, в която тревата е достигнала определена височина и продължава да расте непрекъснато. Ако 15 крави могат да опасат 3 ара ливада за 4 дни, а 32 крави могат да опасат 4 ара за 2 дни, колко крави трябва да се пуснат в ливада от 6 ара, за да я опасат за 3 дни?
Отговор: 36 крави.

6. Нека x, y и z да такива числа, че
        sin x + sin y + sin z = 0
и
        cos x + cos y + cos z = 0.
Да се докаже, че
        sin 2x + sin 2y + sin 2z = 0
и
        cos 2x + cos 2y + cos 2z = 0.

7. Стените на един тетраедър са четири еднакви триъгълника. Ако х е ъгълът между два срещуположни ръба на този тетраедър, да се докаже, че
            $cos x = \frac{sin(\beta - \gamma)}{sin(\beta + \gamma)}$
където ъглите β и γ са прилежащи към един от тези ръбове в една от стените.

8. Квадратно парче шперплат е разрязано на n² еднакви квадратчета. Те са пренаредени така, че образуват 4 правоъгълника, а едно квадратче е останало излишно. При това деветте размера на петте фигури (включително квадратчето) са различни. Да се намери минималното n, за което тази ситуация е възможна, и да се определят размерите на четирите правоъгълника за тази стойност n. Да се посочат всички възможни стойности на n, за които горната ситуация е възможна.

9. Нека ƒ е реална функция на реален аргумент, която не е тъждествено равна на нула и е диференцируема в точката 0.
1. Да се докаже, че ако ƒ(x).ƒ(y) = ƒ(x + y) за всички реални стойности на x и y, то ƒ е диференцируема безброй много пъти във всяка точка и
        $\sum_{i=0}^{\infty}f(i) = \frac{1}{1 - f(1)}$
ри ƒ(1) < 1.
2. Да се намери ƒ(x), ако ƒ(x)ƒ(y) = ƒ(x - y) за всички реални стойности на x и y.

10. Нека Р(n) е твърдението: Съществува многоъгълник с n² страни, върховете на който съвпадат с възлите на квадратна решетка и върху всяка негова страна има по n възела на решетката. Да се определи и докаже, дали са верни Р(4) и Р(5). Опитайте се да формулирате и докажете хипотеза за верността на Р(n) при n ≥ 6. (Многоъгълникът в задачата трябва да удовлетворява най-общите изисквания за многоъгълник, в частност да няма съвпадащи страни, обща точка да имат само съседните страни, да няма съседни страни сключващи ъгъл 180° - тогава те се смятат за една и съща страна.)

11. Разполагаме с неограничено много плочки във форма на еднакви триъгълници. С тяхна помощ да построим шестоъгълници, всички вътрешни ъгли на които са равни на 120°. Да се напишат всички числа n, за които може да се построи такъв шестоъгълник с n плочки. (Най-малката стойност на n е 6 - правилен шестоъгълник.)

12. Една променлива окръжност се допира до две фиксирани окръжности в точките P и Q. Да се докаже, че правата PQ минава през едната или другата от две постоянни точки.
Да се формулира вярна теорема за елипси или за общо конично сечение, която съдържа горното твърдение като частен случай.

13. Да се докаже, че не съществува изпъкнал многостен, всички стени на който са шестоъгълници.

14. Нека Р е таква точка в равнината на триъгълника АВС, че ако X и Y са петите на перпендикулярите от Р съответно към АС и ВС, то PX = PY. Перпендикулярът от Р към АВ пресича XY в точката Z. Да се докаже, че правата CZ разполовява отсечката АВ.

15. Да се реши в цели положителни числа уравнението
      $\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{x^3 - 1} = 400$
и да се докаже, че са получени всички решения.

16. През върхувете А, В и С на тиръгълника АВС са прекарани три успоредни прави, които пресичат правите ВС, СА и АВ съответно в точките D, E и F. Точките P, Q и R делят съответно отсечките AD, BE и CF в едно и също отношение k. Да се намерят всички възможни стойности за k, ако P, Q и R лежат на една права.

17. Нека n е цяло положително число, а х и у са реални числа, за които x > y > 1. Да се докаже, че
          $\frac{x^{n+1} - 1}{x(x^{n-1} - 1)} > \frac{y^{n+1} - 1}{y(y^{n-1} - 1)}$

18. Да се определи дължината d на най-късата отсечка с краища върху контура на даден триъгълник, която разделя лицето му на две равни части. Да се изрази d чрез лицето Δ на триъгълника и единия от ъглите му.
Отговор: $d = \sqrt{2 \Delta tg \frac{\gamma}{2}}$

19. Да се докаже, че ако n е неотрицателно цяло число, числото 19.8ⁿ + 17 не е просто.

20. На всяко естествено число n се съпоставя цялото неотрицателно число ƒ(n) така, че са изпълнени следните условия:
а) ƒ(mn) = ƒ(m) + ƒ(n) за всеки две естествени числа m и n;
б) ƒ(n) = 0 , когато последната (крайната отдясно) цифра в десетичния запис на n е 3;
в) ƒ(10) = 0.
Да се докаже, че ƒ(n) = 0 а всяко естествено число n.