ЗМС' 07

Лекции по геомертия
Стоян Атанасов

Теорема на Брокар

Теорема: Ако P, Q, R са пресечните точки на противоположните страни на вписан в окръжност четириъгълник и диагоналите му, то центърът на описаната около четириъгълника окръжност е ортоцентър на ΔPQR.

Доказателство (I начин): Разглеждаме описаната около ΔPAC окръжност - k. PAMC е вписан => <PCA = <PMA, но <PCA = <DBP => <PMA = <DBP => ABMR - вписан.

Така получаваме:
1) PR.PM = AR.RC = R² - OR²;
2) PR.PM = PA.PB = PO² - R²;
    PR² = PO² + RO² - 2R²;
Аналогично QR² = QO² + RO² - 2R² =>
PR² - QR² = PO² - QO² => RO и PQ са перпендикулярни(характеристично свойство - може да се докаже с двойно прилагане на Питагоровата теорема).
Аналогично QO и PR са перпендикулярни => O е ортоцентър.

II начин:
Нека k₁ e окръжността, описана около ΔABR, а k₂ - окръжността, описана около ΔDCR. Нека M = k₁ ∩ k₂.

AB = ρ(k, k₁); CD = ρ(k, k₂); MR = ρ(k₁, k₂);
ρ - радиални оси (обща хорд)
3 радикални оси за три окръжности или се пресичат в една точка, или са успоредни (теорема). Следователно:
DC ∩ AB ∩ MR = P.
От друга страна,
<CMB = <CDM + <CAB = BC(дъга) = <BDC
Сега BCMO e вписан. Аналогично ADMO е вписан. => AD, BC и MO са три радикални оси на три окръжности.
Следователно AD ∩ BC ∩ MO = Q.
<PMO = <PMB - <OMB = 180^o - <CAB - <OCB = <OMB = 180^o - <CAB - [(180^o - <COB)/2] = 180^o - <CAB - [(180^o - 2<CAB)/2] = 90^o;
т.е. O e ортоцентър на ΔPQR.

Теорема: Окръжностите, описани около четирите триъгълника, образувани от пресичането на четири прави се пресичат в една точка, която се нарича точка на Микел.

Пример: Правите са AB, DC, AC и BD. Те образуват ΔPBD, ΔPAC, ΔABR и ΔCDR. Нека M = k_ABR ∩ k_CDR. Искаме да докажем, че PAMC е вписан, което е еквивалентно на:
<PCM = <MAB;
Но <PCM = <MRB (DCMK - вписан) <MRB = <MAB.
Аналогично MDPB e вписан.

Задача (IV кръг, 1996г.): Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. AB ∩ CD = E, AC ∩ BD = F, k_AFD ∩ k_CFD = H. Да се докаже, че <EHF = 90^o.

От теоремата на Брокар следва, че E, H и O лежат на една права и Q, F и H лежат на една права и <EHF = 90^o.

Теорема на Брианшон

Теорема: Ако ABCDEF e описан около окръжност шестоъгълник, то AD, BE и CF се пресичат в една точка.

Следствие 1:

Следствие 2:

Следствие 3:

Задача: Нека ABCD е описан около окръжност, K = AB ∩ CD, L = AD ∩ BC. Докажете, че ортоцентърът на триъгълника, образуван от правите KL, AC и BD съвпада с центъра на вписаната в четириъгълника ABCD окръжност.

От теоремата на Брокар за XYZT следва, че O е ортоцентър на ΔPQR.