Австралия - задачи от олимпиади

1. Да се докаже, че всяко цяло число от 1066 до 1981 е делител на числото
      1.2.3.....915 + 2.3.4.....916 + .... + 1066.1067.1068....1980.

2. Равнината е разделена на равностранни триъгълници с три фамилии от успоредни прави, които сключват помежду си ъгъл 60°. Страните на всеки триъгълник са с дължина 1. Да се докаже, че множеството от разстоянията между върховете е мултипликативно в смисъл, че ако u и v са разстояния, то uv е също разстояние. Да се докаже, че има разстояние между два върха равно на √1981 (= 44,508...).

3. Провежда се състезание между стрелците B и C. Двамата имат по едена стрела и тръгвайки от началото x = 0, вървят едновременно с една и съща скорост към мишената която се намира в точката x = 1. Всеки може да стреля от която точка желае. Ако двамата улучат, печели онзи, който е стрелял пръв. Стрелецът B е по-неточен от C в смисъл, че двамата стрелят от точка x, 0 < x < 1, вероятността да улучат е x² за B и x за C. Каква е най-добрата стратегия за B?

4. Ъглополовящата на ъгъла BAC на даден триъгълник ABC пресичата описаната около триъгълника окръжност в точка P. Аналогично се определят точките Q и R. Да се докаже, че AP + BQ + CR > AB + BC + AC.

5. Да се намерят всички реални числа d, които удовлетворяват следното условие: Ако ƒ е непрекъсната функция в интервала [0,1] и ƒ(0) = ƒ(1), съществува такова t, че 0 ≤ t < t + d ≤ 1 и ƒ(t) = ƒ(t + d). Еквивалентно: всяка непрекъсната крива от (0,0) до (1,0) има хоризонтална хорда с дължина d.
Отговор: d = 1/n, където n е естествено число.

6. Редицата p₁, p₂,.... е дефинирана по следния начин: p₁ = 2 за всяко n ≥ 2 числото p_n е най-големият прост делител на p₁p₂...p_n-1 + 1. Да се докаже, че числото 5 не е член на тази редица.

7. Точката P лежи във вътрешността на даден триъгълник ABC. Ъгълът PAC е равен на ъгъла PBC. Точките L и M са петите на перпендикулярите, спуснати от P съответно към BC и CA, а D е средата на AB. Да се докаже, че DL = DM.

8. Правоъгълните триъгълници ABC и AB₁C₁ са подобни и имат противоположна ориентация. Правите ъгли са при върховете C и C₁ и CAB = C₁AB₁. Нека M е пресечната точка на BC₁ и CB₁. Да се докаже, че ако правите AM и CC₁ съществуват, то те са взаимно перпендикулярни.

9. С диаметър страната BC на даден равностранен триъгълник ABC е построена полуокръжност външно за триъгълника. Точките P и Q разделят отсечката BC на три равни отсечки, а K и L са пресечните точки съответно на правите AP и AQ с полуокръжността. Да се докаже, че K и L разделят тази полуокръжност на три равни дъги.

10. Страните и диагоналите на даден правилен шестоъгълник A₁A₂A₃A₄A₅A₆ са оцветени в един от цветовете синьо и червено, но така че никой от триъгълниците A_jA_kA_m, 1≤ j < k < m ≤ 6, няма три сини страни. Нека R_k, k = 1, 2,...., 6 е броят на отсечките A_kA_j, j ≠ k, които са червени. Да се докаже, че
        $\sum_{k=1}^{6}(2R_k - 7)^2 \le 54.$

11. Върху страните на даден триъгълник ABC са построени три подобни равнобедрени триъгълника: APB, AQC и BRC, в които AP = BP, AQ = QC и BR = CR. Триъгълниците APB и AQC са построени външно за триъгълника ABC, а триъгълниците BRC и ABC са в една и съща полуравнина относно правата BC. Да се докаже, че четириъгълникът PAQR е успоредник.

12. Нека ƒ(n) е сумата на първите n члена на редицата
0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, ....
а) Да се изрази ƒ(n) като функция на n.
б) Да се докаже, че ƒ(s + t) - ƒ(s - t) = st, където s и t са произволни естествени числа и s > t.

13. Даден е триъгълникът ABC с ъгли по-малки от 120°. Върху страните му външно са построени равностранни триъгълници AFB, BDC и CEA.
а) Да се докаже, че правите AD, BE и CF минават през една точка S.
б) Да се докаже, че
          SD + SE + SF = 2(SA + SB + SC).