Подобни триъгълници - задачи с решения

Решение:
Ъглополовящата дели срещулежащата страна в отношението на прилежащите страни: [tex]\frac{CL}{BL}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}[/tex].

Решение:
Отношението на периметрите е равно на коефициента на подобие: [tex]k=\frac{60}{36}=\frac{5}{3}[/tex]. Третата страна на първия триъгълник е [tex]36-9-15=12[/tex].
Следователно страните на втория са [tex]9 \text{ . } \frac{5}{3}=15;\ 12 \text{ . } \frac{5}{3}=20;\ 15 \text{ . } \frac{5}{3}=25[/tex].

Решение:
Отношението на лицата на подобни триъгълници е равно на квадрата на коефициента на подобие: [tex]\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{6}{5}\right)^2=\frac{36}{25}[/tex].
Следователно [tex]S_2=108 \cdot \frac{25}{36}=75[/tex].

Решение:
Ъгли със съответно успоредни рамене са равни или допълнителни до развит ъгъл. Ако две двойки съответни ъгли бяха допълнителни, тези четири ъгъла щяха да имат сбор пълен ъгъл, което е невъзможно, защото сборът на два ъгъла на триъгълник е по-малък от развит ъгъл.
Следователно поне две двойки ъгли са равни, например [tex]\angle A=\angle A_1[/tex] и [tex]\angle B=\angle B_1[/tex], и по признака за подобие по два ъгъла [tex]\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1[/tex].

Решение:
Правоъгълните триъгълници имат общ ъгъл при [tex]B[/tex], затова [tex]\triangle CBD \sim \triangle ABC[/tex], откъдето [tex]\frac{BD}{CB}=\frac{CB}{AB}[/tex].
Следователно [tex]BD=\frac{CB^2}{AB}=\frac{144}{18}=8[/tex] и [tex]AD=18-8=10[/tex].

Решение:
Понеже [tex]AB \parallel CD[/tex], [tex]\triangle EDC \sim \triangle EAB[/tex], затова [tex]\frac{ED}{EA}=\frac{EC}{EB}=\frac{DC}{AB}=\frac{5}{13}[/tex].
От [tex]\frac{ED}{ED+8}=\frac{5}{13}[/tex] получаваме [tex]ED=5[/tex], а от [tex]\frac{EC}{EC+10}=\frac{5}{13}[/tex] – [tex]EC=\frac{25}{4}[/tex].

Решение:
Горната страна на квадрата отсича триъгълник, подобен на дадения, с основа [tex]x[/tex] и височина [tex]9-x[/tex], затова [tex]\frac{x}{18}=\frac{9-x}{9}[/tex], т.е. [tex]9x=162-18x[/tex] и [tex]x=6[/tex].

Решение:
Нека [tex]M[/tex] е средата на [tex]AB[/tex], [tex]CH[/tex] е височината, а [tex]K[/tex] е петата на перпендикуляра от [tex]G[/tex] към [tex]AB[/tex]. Медицентърът лежи на медианата [tex]CM[/tex] и [tex]MG=\frac{1}{3}MC[/tex]. Понеже [tex]GK \parallel CH[/tex], правоъгълните триъгълници с връх [tex]M[/tex] са подобни, затова [tex]\frac{GK}{CH}=\frac{MG}{MC}=\frac{1}{3}[/tex].
Следователно [tex]GK=\frac{12}{3}=4[/tex].

Решение:
Понеже [tex]PQ \parallel AC[/tex], [tex]\triangle PBQ \sim \triangle ABC[/tex] с коефициент [tex]\frac{BQ}{BC}=\frac{3}{5}[/tex]. Периметрите на подобни триъгълници се отнасят със същия коефициент, затова [tex]P_{PBQ}=\frac{3}{5} \cdot 35=21[/tex].

Решение:
Удвоеното лице е равно на всяка страна по височината към нея: [tex]a \cdot h_a=b \cdot h_b=2S[/tex], затова [tex]\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}=\frac{5}{3}[/tex].
Следователно [tex]a=\frac{5}{8} \cdot 40=25[/tex].

Решение:
Страните на [tex]\triangle A_1B_1C_1[/tex] са средни отсечки в [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]B_1C_1=\frac{BC}{2};\ C_1A_1=\frac{CA}{2};\ A_1B_1=\frac{AB}{2}[/tex]. Следователно [tex]\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC[/tex] с коефициент [tex]k=\frac{1}{2}[/tex] и [tex]S_{A_1B_1C_1}=\frac{1}{4} \cdot 120=30[/tex].

Решение:
Отношението на лицата е квадратът на коефициента на подобие: [tex]\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{16}{25}[/tex]. Нека [tex]S_1=16t;\ S_2=25t[/tex]; тогава [tex]41t=82[/tex], [tex]t=2[/tex] и [tex]S_1=32;\ S_2=50[/tex].

Решение:
Медицентърът дели медианата в отношение [tex]2:1[/tex], считано от върха, затова [tex]CG=\frac{2}{3}CM[/tex]; освен това [tex]CP=\frac{1}{2}CM[/tex].
Следователно [tex]PG=CG-CP=\frac{1}{6}CM[/tex], затова [tex]CM=30[/tex].

Решение:
Нека [tex]M[/tex] е средата на хипотенузата. Медианата към хипотенузата е равна на половината от нея: [tex]CM=\frac{AB}{2}=9[/tex]. Медицентърът дели медианата в отношение [tex]2:1[/tex], считано от върха, затова [tex]GC=\frac{2}{3}CM=6[/tex].

Решение:
От свойството на ъглополовящата [tex]\frac{AB}{BC}=\frac{AL}{LC}=2[/tex]. В правоъгълния триъгълник [tex]\cos\angle ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}[/tex], затова [tex]\angle ABC=60^\circ[/tex].

Решение:
Нека [tex]K[/tex] и [tex]H[/tex] са петите на перпендикулярите от [tex]D[/tex] и [tex]B[/tex] към [tex]AC[/tex]. Тогава [tex]DK \parallel BH[/tex], затова [tex]\triangle ADK \sim \triangle ABH[/tex] и [tex]\frac{DK}{BH}=\frac{AD}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}[/tex].