Регионален инспекторат по образованието - Враца
Общински(I) кръг на олимпиадата по математика 2007

12 клас

Задачите са предоставени от Titu_Andrescu

Зад.1 а) Да се докаже , че за всеки две неотрицателни числа x и y е изпълнено неравенството x²y² + x + y - 3xy ≥ 0
б) Дадена е функцията f(x) = x³ - 3ax² + 3(a² - 1)x - 1. Намерете за кои стойности на реалния параметър а е изпълнено y_min + y_max = 2a³ + a² + 3, където с y_min и y_max са означени локалните екстремуми на функцията y = f(x). (4 точки)

Зад.2 Ъглите α,β,γ на ABC , взети в този ред, образуват аритметична прогресия.Да се намерят ъглите на триъгълника, ако cosα + tgβ + sinγ= 3√3/2 + 1 . (6 точки)

Зад.3 Ръбът МА на тетраедъра ABCM е перпендикулярен а основата ABC,ABC е правоъгълен с прав ъгъл при върха В и МА=АВ=ВС=а. Ако точките N и P са среди съответно на СМ и АВ, да се докаже, че NPАВ, и NPСМ и да се намери дължината на NP. (6 точки)

Време за работа - 4 часа.

Коментари и решения

РИО - Плевен 11 клас