Връзка между интегриране и диференциране - част 2

В първата част видяхме, че интегрирането и диференцирането са взаимно обратни операции: определеният интеграл от непрекъсната функция се пресмята с произволна нейна примитивна, ${\int_a^bf(x)\,dx}={P(b)-P(a)}.$ Затова основната практическа задача на интегралното смятане е намирането на примитивни функции. На тази страница въвеждаме означението за примитивните функции и двата най-важни метода за намирането им: смяната на променливата, която следва от правилото за диференциране на съставна функция, и интегрирането по части, което следва от правилото за диференциране на произведение.

На тази страница: Означение на Лайбниц · Смяна на променливата · Смяна в определен интеграл · Интегриране по части · Рекурентни формули · Втора теорема за средните · Упражнения

Означение на Лайбниц за примитивните функции

Лайбниц записва общата примитивна на функцията $f$ със знака за интеграл без граници:

$$\int f(x)\,dx=P(x)+C.$$

Това равенство означава именно, че ${P'(x)=f(x)}$ в разглеждания интервал, а $C$ е произволна константа. Следователно то описва цяло семейство от функции. Символът ${\int f(x)\,dx}$ се нарича неопределен интеграл на $f,$ а $f(x)$ – подинтегрална функция. Всяка формула за производна дава неопределен интеграл, например

${\int\cos x\,dx=\sin x+C},$   ${\int e^x\,dx=e^x+C},$   ${\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C}$  (${n\ne-1},$ в интервал, в който степента $x^n$ е дефинирана, както в първата част).

Отговорът лесно се проверява с диференциране. Например ${\int(3x^2+2x)\,dx}={x^3+x^2+C},$ защото ${(x^3+x^2)'=3x^2+2x}.$

Тъй като производната на сбор е равна на сбора от производните, можем да интегрираме почленно, а константните множители да изнасяме пред интеграла: за константи $\alpha$ и $\beta,$ които не са едновременно равни на $0,$

Пример. В интервала ${x\gt0}$

${\int\left(6x^2-\frac{4}{x}+3\cos x\right)dx}={{2x^3-4\ln x+3\sin x+C}.}$

Във всеки интервал, който не съдържа $0,$ ${\int\frac{dx}{x}=\ln\lvert x\rvert+C}.$ В цялото множество ${x\ne0},$ което се състои от два интервала, константата може да е различна от двете страни на нулата (вижте теоремата за нулевата производна в първата част).

Неопределен и определен интеграл

Двата символа си приличат, но означават различни неща: ${\int f(x)\,dx}$ е семейство от функции, а ${\int_a^bf(x)\,dx}$ е число. Връзката между тях дават основните теореми. Ако $f$ е непрекъсната в даден интервал и $c$ е точка от него, първата теорема твърди, че интегралът с променлива горна граница е една от примитивните:

$$\int f(x)\,dx=\int_c^xf(t)\,dt+C,$$

а според втората теорема определеният интеграл е изменението на коя да е примитивна (константата се съкращава):

$$\int_a^bf(x)\,dx=\Bigl[\int f(x)\,dx\Bigr]_a^b.$$

Затова интегрирането на функция обикновено означава намиране на примитивните ѝ, а „таблицата на интегралите“ всъщност е таблица на примитивни функции. Методите за намиране на примитивни се наричат методи на интегриране. Трите основни са смяната на променливата и интегрирането по части, разгледани по-долу, както и разлагането на елементарни дроби при рационалните функции.

Не всяка елементарна функция има елементарна примитивна. Например ${\int e^{-x^2}dx}$ и ${\int\frac{\sin x}{x}\,dx}$ (при ${x\gt0}$) съществуват, защото подинтегралните функции са непрекъснати, но не могат да се изразят чрез елементарни функции.

Интегриране чрез смяна на променливата

Нека $P$ е примитивна на непрекъснатата функция $f$ в интервала $J,$ а функцията $g$ има непрекъсната производна в интервала $I$ и приема стойностите си в $J.$ По правилото за диференциране на съставна функция

${\big(P(g(x))\big)'}={P'(g(x))\,g'(x)}={{f(g(x))\,g'(x)},}$

следователно ${P(g(x))}$ е примитивна на ${f(g(x))\,g'(x)}\text{:}$

На практика формулата се прилага механично. Полагаме ${u=g(x)}$ и записваме ${du=g'(x)\,dx}$ (това е просто означението на Лайбниц ${\frac{du}{dx}=g'(x)}$). Интегралът се превръща в ${\int f(u)\,du}.$ Намираме примитивна $P(u)$ и се връщаме към $x,$ като заместим ${u=g(x)}.$ Тук символите $du$ и $dx$ служат само за удобство при записа: резултатът се обосновава с правилото за диференциране на съставна функция по-горе, а отговорът винаги може да се провери с диференциране.

Важното е да съобразим коя част от подинтегралната функция да означим с $u.$ Добър избор е „вътрешна функция“, чиято производна, с точност до константен множител, също участва в подинтегралната функция.

Примери

Пример 1 (линейна смяна). Намерете ${\int(2x+1)^5\,dx}.$ Полагаме ${u=2x+1}.$ Тогава ${du=2\,dx},$ откъдето ${dx=\frac{1}{2}\,du}$ и

${\int(2x+1)^5\,dx}={\frac{1}{2}\int u^5\,du}={\frac{u^6}{12}+C}={{\frac{(2x+1)^6}{12}+C}.}$

По същия начин, ако ${\int f(u)\,du=P(u)+C},$ то ${\int f(ax+b)\,dx}={\frac{1}{a}P(ax+b)+C}$ за всички константи ${a\ne0}$ и $b.$ Например ${\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}+C}$ и ${\int\cos(5x-1)\,dx}={\frac{1}{5}\sin(5x-1)+C}.$

Пример 2. Намерете ${\int2x\cos(x^2)\,dx}.$ Полагаме ${u=x^2}.$ Тогава ${du=2x\,dx}$ и

${\int2x\cos(x^2)\,dx}={\int\cos u\,du}={\sin u+C}={{\sin(x^2)+C}.}$

Пример 3 (липсващ константен множител). Намерете ${\int x^3\cos(x^4)\,dx}.$ Полагаме ${u=x^4}.$ Тогава ${du=4x^3\,dx},$ откъдето ${x^3\,dx=\frac{1}{4}\,du}\text{:}$

${\int x^3\cos(x^4)\,dx}={\frac{1}{4}\int\cos u\,du}={{\frac{1}{4}\sin(x^4)+C}.}$

Липсващият константен множител не е пречка. Липсващ множител $x^3$ обаче би бил пречка: интегралът ${\int\cos(x^4)\,dx}$ не може да се намери по този начин.

Пример 4. Намерете ${\int\cos^2x\,\sin x\,dx}.$ Полагаме ${u=\cos x}.$ Тогава ${du=-\sin x\,dx}$ и

${\int\cos^2x\,\sin x\,dx}={-\int u^2\,du}={-\frac{u^3}{3}+C}={{-\frac{\cos^3x}{3}+C}.}$

Пример 5. Намерете ${\int\frac{x}{x^2+1}\,dx}.$ Полагаме ${u=x^2+1}.$ Тогава ${du=2x\,dx}$ и тъй като ${u\gt0},$

${\int\frac{x}{x^2+1}\,dx}={\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}}={\frac{1}{2}\ln u+C}={{\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C}.}$

Пример 6. В интервал, в който ${\cos x\ne0},$ записваме ${\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}}$ и полагаме ${u=\cos x},$ ${du=-\sin x\,dx}\text{:}$

${\int\tg x\,dx}={-\int\frac{du}{u}}={-\ln\lvert u\rvert+C}={{-\ln\lvert\cos x\rvert+C}.}$

Смяна на променливата в определен интеграл

При смяната на променливата се сменят и границите: ${x=a}$ става ${u=g(a)},$ а ${x=b}$ става ${u=g(b)},$ затова не е нужно да се връщаме към $x.$ (Тук интервалите могат да са затворени: в пример 9 по-долу ${\sqrt{1-x^2}}$ е непрекъсната само в ${[-1;\ 1]}.$ В краищата на затворен интервал производната е едностранна, а основните теореми от първата част са в сила и за затворени интервали със същите доказателства.)

Доказателство. Нека $J$ е интервалът, в който $f$ е непрекъсната. Фиксираме точка $c$ от $J$ и полагаме ${P(u)=\int_c^uf(s)\,ds}.$ Според първата основна теорема $P$ е примитивна на $f$ в $J,$ а по правилото за диференциране на съставна функция ${R(x)=P(g(x))}$ е примитивна на непрекъснатата функция ${f(g(x))\,g'(x)}$ в ${[a;\ b]}.$ Втората основна теорема, приложена първо към $R,$ а след това към $P,$ дава

${\int_a^bf(g(x))\,g'(x)\,dx}={R(b)-R(a)}={P(g(b))-P(g(a))}={{\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du}.}$

Пример 7. Пресметнете ${\int_0^1x\sqrt{1+x^2}\,dx}.$ Полагаме ${u=1+x^2},$ ${du=2x\,dx}.$ При ${x=0}$ имаме ${u=1},$ а при ${x=1}$ имаме ${u=2}\text{:}$

${\int_0^1x\sqrt{1+x^2}\,dx}={\frac{1}{2}\int_1^2\sqrt{u}\,du}={\frac{1}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_1^2}={{\frac{2\sqrt{2}-1}{3}}.}$

Пример 8. При ${u=\sin x},$ ${du=\cos x\,dx}$ границите $0$ и $\frac{\pi}{2}$ стават $0$ и $1\text{:}$

${\int_0^{\pi/2}\sin^3x\cos x\,dx}={\int_0^1u^3\,du}={{\frac{1}{4}}.}$

Пример 9 (смяна в обратна посока). Пресметнете ${\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx}.$ Тук не се вижда множител $g'(x).$ Вместо това полагаме ${x=\sin t}$ и четем теоремата отдясно наляво: ${dx=\cos t\,dt},$ на границите $0$ и $1$ за $x$ съответстват $0$ и $\frac{\pi}{2}$ за $t,$ а ${\sqrt{1-\sin^2t}=\cos t},$ защото ${\cos t\ge0}$ в ${\left[0;\ \frac{\pi}{2}\right]}.$ Като използваме ${\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}},$ получаваме

${\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx}={\int_0^{\pi/2}\cos^2t\,dt}={\Bigl[\frac{t}{2}+\frac{\sin2t}{4}\Bigr]_0^{\pi/2}}={{\frac{\pi}{4}}.}$

Това е лицето на една четвърт от единичния кръг, както и трябва да бъде.

Интегриране по части

Правилото за диференциране на произведение ${(fg)'=f'g+fg'}$ показва, че ${f(x)\,g(x)}$ е примитивна на ${f'(x)\,g(x)}+{f(x)\,g'(x)}.$ Записано с неопределени интеграли и преобразувано, то дава формулата за интегриране по части. Ако $f$ и $g$ имат непрекъснати производни в даден интервал, то

(Произволната константа се съдържа в неопределения интеграл отдясно.) С означенията ${u=f(x)},$ ${v=g(x)},$ ${du=f'(x)\,dx}$ и ${dv=g'(x)\,dx}$ формулата приема краткия вид

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

За определени интеграли втората основна теорема, приложена към примитивната $fg$ на ${f'g+fg'},$ дава

${\int_a^bf(x)\,g'(x)\,dx}={{\Bigl[f(x)\,g(x)\Bigr]_a^b-\int_a^bf'(x)\,g(x)\,dx}.}$

Формулата прехвърля производната от единия множител върху другия. Тя помага, когато новият интеграл ${\int v\,du}$ е по-прост от първоначалния. Обикновено за $u$ се избира множител, който се опростява при диференциране (степен на $x,$ $\ln x,$ $\arctg x$), а за $dv$ – множител, който лесно се интегрира ($e^x\,dx,$ $\sin x\,dx,$ $\cos x\,dx$ или просто $dx$).

Чертежът показва смисъла на формулата, когато $u$ и $v$ са положителни и растат едновременно. Фигурата под кривата има лице ${\int_{u_1}^{u_2}v\,du},$ а фигурата вляво от нея – лице ${\int_{v_1}^{v_2}u\,dv}.$ Заедно те запълват големия правоъгълник без малкия: ${\int_{u_1}^{u_2}v\,du+\int_{v_1}^{v_2}u\,dv}={u_2v_2-u_1v_1}.$ Това е формулата за интегриране по части в определен интеграл: при ${u_1=f(a)}$ и ${u_2=f(b)}$ теоремата за смяна на променливата дава ${\int_{u_1}^{u_2}v\,du}={\int_a^bf'(x)\,g(x)\,dx}$ и по същия начин ${\int_{v_1}^{v_2}u\,dv}={\int_a^bf(x)\,g'(x)\,dx}.$

Примери

Пример 1. Намерете ${\int x\cos x\,dx}.$ Избираме ${u=x}$ и ${dv=\cos x\,dx}.$ Тогава ${du=dx},$ ${v=\sin x}$ и

${\int x\cos x\,dx}={x\sin x-\int\sin x\,dx}={{x\sin x+\cos x+C}.}$

Проверка: ${(x\sin x+\cos x)'}={\sin x+x\cos x-\sin x}={x\cos x}.$ Другият избор, ${u=\cos x}$ и ${dv=x\,dx},$ дава ${\int x\cos x\,dx}={\frac{x^2}{2}\cos x+\int\frac{x^2}{2}\sin x\,dx},$ т.е. интеграл, който е по-труден от първоначалния.

Пример 2. Намерете ${\int xe^x\,dx}.$ Избираме ${u=x},$ ${dv=e^x\,dx},$ откъдето ${du=dx},$ ${v=e^x}\text{:}$

${\int xe^x\,dx}={xe^x-\int e^x\,dx}={{(x-1)e^x+C}.}$

Пример 3 ($dv=dx$). Намерете ${\int\ln x\,dx}$ при ${x\gt0}.$ Избираме ${u=\ln x}$ и ${dv=dx},$ откъдето ${du=\frac{dx}{x}},$ ${v=x}\text{:}$

${\int\ln x\,dx}={x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx}={{x\ln x-x+C}.}$

Пример 4 (определен интеграл). При ${u=x},$ ${dv=\sin x\,dx}\text{:}$

${\int_0^\pi x\sin x\,dx}={\Bigl[-x\cos x\Bigr]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx}={\pi+\Bigl[\sin x\Bigr]_0^\pi}={{\pi}.}$

Пример 5 (два пъти по части). Намерете ${\int x^2\sin x\,dx}.$ Избираме ${u=x^2},$ ${dv=\sin x\,dx},$ откъдето ${du=2x\,dx},$ ${v=-\cos x}.$ Новият интеграл е този от пример 1:

${\int x^2\sin x\,dx}={-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx}={-x^2\cos x+2x\sin x}+{{2\cos x+C}.}$

Пример 6 (интегралът се появява отново). Нека ${I=\int e^x\sin x\,dx}.$ Интегрираме по части два пъти, като и двата пъти за $dv$ вземаме показателния множител:

${I}={e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx}={e^x\sin x}-{\Bigl(e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx\Bigr)}={{e^x(\sin x-\cos x)-I}.}$

Неизвестният интеграл се появява и от двете страни на равенството. Като го изразим (и накрая добавим константата), получаваме:

${\int e^x\sin x\,dx}={{\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C}.}$

Пример 7 (по части, след това смяна на променливата). Намерете ${\int\arctg x\,dx}.$ Избираме ${u=\arctg x},$ ${dv=dx},$ откъдето ${du=\frac{dx}{1+x^2}},$ ${v=x}.$ Новият интеграл е този от пример 5 в раздела за смяна на променливата:

${\int\arctg x\,dx}={x\arctg x-\int\frac{x}{1+x^2}\,dx}={{x\arctg x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C}.}$

Рекурентни формули

С интегриране по части степента в подинтегралната функция може да се понижава стъпка по стъпка. При ${n\ge2}$ записваме ${\sin^nx=\sin^{n-1}x\cdot\sin x}$ и избираме ${u=\sin^{n-1}x},$ ${dv=\sin x\,dx}.$ Тогава ${du=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx},$ ${v=-\cos x}$ и

${\int\sin^nx\,dx}={-\sin^{n-1}x\cos x}+{{(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx}.}$

Заместваме ${\cos^2x}$ с ${1-\sin^2x}.$ Тогава интегралът ${\int\sin^nx\,dx}$ се появява от двете страни с коефициенти $1$ и ${-(n-1)}.$ Като го изразим, получаваме рекурентната формула

При ${n=2}\text{:}$ ${\int\sin^2x\,dx}={-\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{x}{2}+C}={\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C}.$

В двата края на ${\left[0;\ \frac{\pi}{2}\right]}$ първото събираемо е равно на $0,$ затова ${\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx}={\frac{n-1}{n}\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x\,dx}.$ Като започнем от ${\int_0^{\pi/2}dx=\frac{\pi}{2}}$ и ${\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx=1},$ получаваме:

${\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}},$   ${\int_0^{\pi/2}\sin^3x\,dx=\frac{2}{3}\cdot1=\frac{2}{3}},$   ${\int_0^{\pi/2}\sin^4x\,dx=\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{16}}.$

Втора теорема за средните стойности за интеграли

С други думи, произведението се интегрира така, сякаш $f$ приема само двете си стойности в краищата на интервала: $f(a)$ в ${[a;\ c]}$ и $f(b)$ в ${[c;\ b]}.$

Доказателство. Нека ${G(x)=\int_a^xg(t)\,dt}.$ Тогава ${G'=g}$ и ${G(a)=0},$ а интегрирането по части дава

${\int_a^bf(x)\,g(x)\,dx}={\int_a^bf(x)\,G'(x)\,dx}={{f(b)\,G(b)-\int_a^bf'(x)\,G(x)\,dx}.}$

Теглото $f'$ е непрекъсната функция, която не сменя знака си, затова според теоремата за средните стойности с тегло (ако $G$ и $w$ са непрекъснати и $w$ не сменя знака си в ${[a;\ b]},$ то ${\int_a^bG(x)\,w(x)\,dx}={G(c)\int_a^bw(x)\,dx}$ за някое $c$ от ${[a;\ b]}\text{:}$ при ${w\ge0}$ и ${m\le G\le M}$ имаме ${m\int_a^bw\,dx}\le{\int_a^bGw\,dx}\le{M\int_a^bw\,dx},$ а теоремата за междинните стойности дава $c$) съществува точка $c,$ за която ${\int_a^bf'(x)\,G(x)\,dx}={G(c)\big(f(b)-f(a)\big)}.$ Следователно

${\int_a^bf(x)\,g(x)\,dx}={f(b)\,G(b)}-{G(c)\big(f(b)-f(a)\big)}={{f(a)\,G(c)+f(b)\big(G(b)-G(c)\big)},}$

а това е твърдението на теоремата, защото ${G(c)=\int_a^cg(x)\,dx}$ и ${G(b)-G(c)}={\int_c^bg(x)\,dx}.$

Упражнения

Смяна на променливата

1. Намерете ${\int\sqrt{2x+1}\,dx}.$

Полагаме ${u=2x+1},$ ${du=2\,dx}\text{:}$ ${\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du}={\frac{1}{3}u^{3/2}+C}.$ Отговор: ${\frac{1}{3}(2x+1)^{3/2}+C}.$

2. Намерете ${\int x(x^2+1)^4\,dx}.$

Полагаме ${u=x^2+1},$ ${du=2x\,dx}\text{:}$ ${\frac{1}{2}\int u^4\,du=\frac{u^5}{10}+C}.$ Отговор: ${\frac{(x^2+1)^5}{10}+C}.$

3. Намерете ${\int\frac{\cos x}{\sin^3x}\,dx}$ в интервал, в който ${\sin x\ne0}.$

Полагаме ${u=\sin x},$ ${du=\cos x\,dx}\text{:}$ ${\int u^{-3}\,du=-\frac{1}{2u^2}+C}.$ Отговор: ${-\frac{1}{2\sin^2x}+C}.$

4. Намерете ${\int\frac{\sin x}{(3+\cos x)^2}\,dx}.$

Полагаме ${u=3+\cos x},$ ${du=-\sin x\,dx}\text{:}$ ${-\int u^{-2}\,du=\frac{1}{u}+C}.$ Отговор: ${\frac{1}{3+\cos x}+C}.$

5. Намерете ${\int\frac{e^x}{1+e^x}\,dx}.$

Полагаме ${u=1+e^x},$ ${du=e^x\,dx}\text{:}$ ${\int\frac{du}{u}=\ln u+C},$ тъй като ${u\gt0}.$ Отговор: ${\ln(1+e^x)+C}.$

6. Намерете ${\int\frac{\ln x}{x}\,dx}$ при ${x\gt0}.$

Полагаме ${u=\ln x},$ ${du=\frac{dx}{x}}\text{:}$ ${\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C}.$ Отговор: ${\frac{(\ln x)^2}{2}+C}.$

7. Пресметнете ${\int_1^4\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx}.$

Полагаме ${u=\sqrt{x}},$ ${du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}};$ границите стават $1$ и $2\text{:}$ ${2\int_1^2e^u\,du=2\Bigl[e^u\Bigr]_1^2}.$ Отговор: ${2(e^2-e)}.$

8. Пресметнете ${\int_0^{\pi/4}\cos2x\,\sqrt{4-\sin2x}\,dx}.$

Полагаме ${u=4-\sin2x},$ ${du=-2\cos2x\,dx};$ границите $0$ и $\frac{\pi}{4}$ стават $4$ и $3\text{:}$ ${-\frac{1}{2}\int_4^3\sqrt{u}\,du}={\frac{1}{2}\int_3^4\sqrt{u}\,du}={{\frac{1}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_3^4}.}$ Отговор: ${\frac{8-3\sqrt{3}}{3}}.$

9. Докажете, че ${\int_{-a}^af(x)\,dx=0}$ за всяка непрекъсната нечетна функция $f,$ и изведете оттук, че ${\int_{-1}^1x^3\cos x\,dx=0}.$

Разделяме интеграла в точката $0.$ В ${\int_{-a}^0f(x)\,dx}$ полагаме ${x=-t},$ ${dx=-dt}\text{:}$ той става ${\int_a^0f(-t)\,(-dt)}={\int_0^af(-t)\,dt}={-\int_0^af(t)\,dt}$ и се съкращава с ${\int_0^af(x)\,dx}.$ Функцията ${x^3\cos x}$ е нечетна, затова интегралът ѝ в интервала ${[-1;\ 1]}$ е $0.$

10. Докажете, че ${\int_0^1x^m(1-x)^n\,dx}={\int_0^1x^n(1-x)^m\,dx}$ за всички естествени числа $m$ и $n.$

Полагаме ${x=1-t},$ ${dx=-dt};$ границите $0$ и $1$ стават $1$ и $0\text{:}$ ${\int_0^1x^m(1-x)^n\,dx}={\int_1^0(1-t)^mt^n\,(-dt)}={\int_0^1t^n(1-t)^m\,dt}.$

Интегриране по части

11. Намерете ${\int x\sin x\,dx}.$

${u=x},$ ${dv=\sin x\,dx},$ ${v=-\cos x}\text{:}$ ${-x\cos x+\int\cos x\,dx}.$ Отговор: ${-x\cos x+\sin x+C}.$

12. Намерете ${\int x^2e^x\,dx}.$

${u=x^2},$ ${dv=e^x\,dx}\text{:}$ ${x^2e^x-2\int xe^x\,dx},$ а ${\int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C}$ (пример 2 от раздела за интегриране по части). Отговор: ${(x^2-2x+2)e^x+C}.$

13. Намерете ${\int x\ln x\,dx}$ при ${x\gt0}.$

${u=\ln x},$ ${dv=x\,dx},$ ${v=\frac{x^2}{2}}\text{:}$ ${\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx}.$ Отговор: ${\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C}.$

14. Пресметнете ${\int_0^1xe^{-x}\,dx}.$

${u=x},$ ${dv=e^{-x}\,dx},$ ${v=-e^{-x}}\text{:}$ ${\Bigl[-xe^{-x}\Bigr]_0^1}+{\int_0^1e^{-x}\,dx}={-\frac{1}{e}+1-\frac{1}{e}}.$ Отговор: ${1-\frac{2}{e}}.$

15. Намерете ${\int e^x\cos x\,dx}.$

Както в пример 6 от раздела за интегриране по части: ${\int e^x\cos x\,dx}={e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx}={e^x\cos x+e^x\sin x}-{{\int e^x\cos x\,dx}.}$ Отговор: ${\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C}.$

16. Намерете ${\int\arcsin x\,dx}$ при ${-1\lt x\lt1}.$

${u=\arcsin x},$ ${dv=dx}\text{:}$ ${x\arcsin x-\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx};$ със смяната ${w=1-x^2}$ последният интеграл е ${-\sqrt{1-x^2}+C}.$ Отговор: ${x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C}.$

17. Пресметнете с рекурентната формула ${\int_0^{\pi/2}\sin^5x\,dx}.$

${\int_0^{\pi/2}\sin^5x\,dx}={\frac{4}{5}\int_0^{\pi/2}\sin^3x\,dx}={\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}}.$ Отговор: ${\frac{8}{15}}.$

Смесени задачи

18. Намерете ${\int\sin\sqrt{x}\,dx}$ при ${x\gt0}.$

Полагаме ${t=\sqrt{x}},$ ${dt=\frac{dx}{2\sqrt{x}}},$ откъдето ${dx=2\sqrt{x}\,dt=2t\,dt}\text{:}$ ${2\int t\sin t\,dt}={2(\sin t-t\cos t)+C}$ (упражнение 11). Отговор: ${2\sin\sqrt{x}-2\sqrt{x}\cos\sqrt{x}+C}.$

19. Намерете ${\int x^3e^{x^2}\,dx}.$

Полагаме ${u=x^2},$ ${du=2x\,dx}\text{:}$ ${\frac{1}{2}\int ue^u\,du}={\frac{1}{2}(u-1)e^u+C}$ (пример 2 от раздела за интегриране по части). Отговор: ${\frac{(x^2-1)e^{x^2}}{2}+C}.$

20. Намерете ${\int x\arctg x\,dx}.$

${u=\arctg x},$ ${dv=x\,dx},$ като избираме ${v=\frac{x^2+1}{2}}$ (може да се вземе коя да е примитивна на $x$): ${\frac{x^2+1}{2}\arctg x}-{\int\frac{x^2+1}{2}\cdot\frac{1}{1+x^2}\,dx}.$ Отговор: ${\frac{x^2+1}{2}\arctg x-\frac{x}{2}+C}.$

21. Пресметнете ${\int_1^e(\ln x)^2\,dx}.$

${u=(\ln x)^2},$ ${dv=dx}\text{:}$ ${\Bigl[x(\ln x)^2\Bigr]_1^e}-{2\int_1^e\ln x\,dx}={e-2\Bigl[x\ln x-x\Bigr]_1^e}={e-2\cdot1}$ (пример 3 от раздела за интегриране по части). Отговор: ${e-2}.$

Вижте също: Интеграли (част 1) · Определени интеграли · Неопределени интеграли · Програма за решаване на интеграли стъпка по стъпка