Как се решават задачи с граници?

Тази страница е практическо ръководство за намиране на граници на функции. Първото, което винаги опитваме, е заместването. По-нататък е обяснено какво да правим, когато заместването не дава отговор: едностранни граници, неопределености от вида $0/0$ и $\infty/\infty,$ забележителни граници, правилото на Лопитал и другите видове неопределености. Всеки метод е показан с решени примери, а в края има задачи за упражнение с отговори.

Ако границите са нови за вас, започнете с уроците „Граници (интуитивно въведение)“ и „Граници и методи за пресмятане“.

На тази страница: Какво е граница · Свойства на границите · Едностранни граници · Неопределеност 0/0 · Забележителни граници · Граници в безкрайност · Правило на Лопитал · Други неопределености · Обобщение · Задачи

Какво е граница?

Границата на функция в точка $a$ е числото, към което се приближават стойностите на функцията, когато $x$ се приближава все повече до $a.$ Записва се така:

$$\lim_{x\to a}f(x)=L.$$

Чете се „границата на $f(x),$ когато $x$ клони към $a,$ е $L$“. Това означава, че $f(x)$ може да стане колкото искаме близо до $L,$ стига $x$ да е достатъчно близо до $a$ (но ${x\ne a}$).

Значение имат само стойностите близо до $a,$ а не стойността в $a.$ На чертежа функцията има някаква стойност $f(a)$ в самата точка $a,$ но стойностите ѝ близо до $a$ се приближават към $L,$ затова границата е $L.$ Функцията дори не е задължително да е дефинирана в $a.$

Границата може да бъде и безкрайна: ${\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}$ (или $-\infty$) означава, че стойностите растат (или намаляват) неограничено. Освен това $x$ може да клони към $+\infty$ или към $-\infty$ вместо към число. И накрая, границата може изобщо да не съществува, както ще видим при едностранните граници.

Свойства на границите

Ако границите ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ и ${\lim_{x\to a}g(x)=M}$ съществуват (и са числа) и $c$ е константа, то:

Свойство	Формула
Граница на константа	${\lim_{x\to a}c=c}$
Граница на тъждествената функция	${\lim_{x\to a}x=a}$
Изнасяне на константен множител	${\lim_{x\to a}[c\,f(x)]=c\,L}$
Граница на сбор	${\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]}={L+M}$
Граница на разлика	${\lim_{x\to a}[f(x)-g(x)]}={L-M}$
Граница на произведение	${\lim_{x\to a}[f(x)\,g(x)]=L\,M}$
Граница на частно	${\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}},$  ако ${M\ne0}$
Граница на степен	${\lim_{x\to a}[f(x)]^n=L^n},$  ${n=1,2,3,\ldots}$
Граница на корен	${\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}};$ при четно $n$ трябва ${f(x)\ge0}$ близо до $a$

Същите свойства са в сила и за едностранните граници при ${x\to a-0}$ и ${x\to a+0},$ а всички освен границата на тъждествената функция са в сила и при ${x\to\pm\infty}.$ За да се приложат, $L$ и $M$ трябва да са числа, а за частното е нужно и ${M\ne0}.$ Когато това не е изпълнено, използвайте методите по-долу.

Непосредствено заместване

От свойствата следва, че границата на многочлен във всяка точка $a$ е стойността на многочлена в $a.$ Същото е вярно и за дробно-рационална функция, чийто знаменател не е $0$ в $a.$ Функциите $\sin x,$ $\cos x,$ $e^x,$ $\ln x$ и $\sqrt{x}$ се държат по същия начин във всяка вътрешна точка на дефиниционното си множество (те са непрекъснати). За всички такива функции

${\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}\text{:}$ просто заместете ${x=a}.$

Пример 1. Намерете ${\lim_{x\to1}(4x^2-8x^5+x+12)}.$

Първо прилагаме свойствата стъпка по стъпка:

${\lim_{x\to1}(4x^2-8x^5+x+12)}={\lim_{x\to1}4x^2-\lim_{x\to1}8x^5}+{\lim_{x\to1}x+\lim_{x\to1}12}$ граница на сбор и на разлика

$={4\lim_{x\to1}x^2-8\lim_{x\to1}x^5}+{\lim_{x\to1}x+\lim_{x\to1}12}$ изнасяне на константния множител

$={4\cdot1^2-8\cdot1^5+1+12}={9}$ граница на степен, на тъждествената функция и на константа

На практика пропускаме междинните редове и заместваме веднага: ${4\cdot1^2-8\cdot1^5+1+12}={9}.$

Пример 2. Намерете границите.

а) ${\lim_{x\to4}(6x^4+5x^3-4x+16)}={6\cdot4^4+5\cdot4^3}-{4\cdot4+16}={1536+320-16+16}={{1856};}$

б) ${\lim_{x\to2}(12x^5+2\sin x+15x-4)}={12\cdot2^5+2\sin2}+{15\cdot2-4}={410+2\sin2}\approx{411{,}82}$  (ъгълът $2$ е в радиани);

в) ${\lim_{x\to2}\frac{x^2+1}{x+3}}={\frac{2^2+1}{2+3}}={1},$  защото знаменателят не е $0$ при ${x=2}.$

Видове граници: едностранни и двустранни

В точка $a$ има три основни вида граници:

• лява граница: $x$ се приближава към $a$ отляво (${x\lt a}$);
• дясна граница: $x$ се приближава към $a$ отдясно (${x\gt a}$);
• двустранна граница: $x$ се приближава към $a$ от двете страни.

1. Лява граница

${\lim_{x\to a-0}f(x)=L}$ означава, че $f(x)$ се приближава към $L,$ когато $x$ се приближава към $a,$ като приема стойности, по-малки от $a.$ Записът $a-0$ само показва страната; той не означава, че от $a$ се изважда нещо.

2. Дясна граница

${\lim_{x\to a+0}f(x)=L}$ означава, че $f(x)$ се приближава към $L,$ когато $x$ се приближава към $a,$ като приема стойности, по-големи от $a.$ Записът $a+0$ също само показва страната.

3. Двустранна граница

Обикновената граница ${\lim_{x\to a}f(x)}$ е двустранната граница. Тя съществува само когато двете едностранни граници съществуват и са равни:

${\lim_{x\to a}f(x)=L}$  тогава и само тогава, когато  ${\lim_{x\to a-0}f(x)=L}$ и ${\lim_{x\to a+0}f(x)=L}.$

За функциите от предишния раздел и двете едностранни граници са равни на $f(a),$ затова и трите граници се намират чрез заместване. Например ${\lim_{x\to4-0}(6x^4+5x^3-4x+16)}={1856},$ колкото е и двустранната граница в пример 2 а). Едностранните граници са важни там, където функцията се държи различно от двете страни на $a\text{:}$ при функции, зададени с различни формули в отделни интервали, при изрази с модул и при дроби, чийто знаменател става $0$ в $a.$

Пример 3. Намерете едностранните граници и границата на $f$ в точката ${x=1},$ ако

$$f(x)=\begin{cases}x^2+1, & x\lt1,\\ 4-x, & x\ge1.\end{cases}$$

Вляво от $1$ функцията е равна на ${x^2+1},$ а вдясно – на ${4-x}\text{:}$

${\lim_{x\to1-0}f(x)}={\lim_{x\to1-0}(x^2+1)}={{2},}$   ${\lim_{x\to1+0}f(x)}={\lim_{x\to1+0}(4-x)}={{3}.}$

Едностранните граници са различни, затова ${\lim_{x\to1}f(x)}$ не съществува: при ${x=1}$ графиката прави „скок“. Стойността ${f(1)=3}$ не променя това. Във всяка друга точка границата се намира чрез заместване във формулата, която е в сила близо до тази точка, например ${\lim_{x\to3}f(x)=4-3=1}.$

Изрази с модул

Пример 4. Намерете ${\lim_{x\to+0}\frac{\lvert\sin x\rvert}{\sin x}}$ и ${\lim_{x\to-0}\frac{\lvert\sin x\rvert}{\sin x}}.$

При ${0\lt x\lt\pi}$ имаме ${\sin x\gt0},$ затова ${\lvert\sin x\rvert=\sin x}$ и дробта е равна на $1.$ При ${-\pi\lt x\lt0}$ имаме ${\sin x\lt0},$ затова ${\lvert\sin x\rvert=-\sin x}$ и дробта е равна на $-1.$ Следователно

${\lim_{x\to+0}\frac{\lvert\sin x\rvert}{\sin x}=1},$   ${\lim_{x\to-0}\frac{\lvert\sin x\rvert}{\sin x}=-1},$

а двустранната граница в $0$ не съществува.

Когато в израза има модул, намерете къде изразът под модула сменя знака си, и разкрийте модула поотделно от всяка страна на тази точка.

Число, различно от нула, делено на нула

Ако при заместване се получи ${\frac{c}{0}},$ където ${c\ne0},$ модулът на дробта расте неограничено, а едностранните граници са $+\infty$ или $-\infty.$ Коя от двете възможности е налице, определя знакът на дробта от всяка страна на $a$ (когато знаменателят е многочлен, този знак е постоянен от всяка страна, достатъчно близо до $a$).

Пример 5. Намерете ${\lim_{x\to3-0}\frac{x+2}{x-3}},$ ${\lim_{x\to3+0}\frac{x+2}{x-3}}$ и ${\lim_{x\to3}\frac{x+2}{(x-3)^2}}.$

Числителят клони към $5,$ а знаменателите клонят към $0.$ Когато $x$ е малко по-малко от $3,$ ${x-3}$ е отрицателно число, близко до нула, а когато $x$ е малко по-голямо от $3,$ разликата е малко положително число:

${\lim_{x\to3-0}\frac{x+2}{x-3}=-\infty},$   ${\lim_{x\to3+0}\frac{x+2}{x-3}=+\infty}.$

Квадратът ${(x-3)^2}$ е положителен и от двете страни, затова ${\lim_{x\to3}\frac{x+2}{(x-3)^2}=+\infty}.$

Неопределеност от вида $0/0\text{:}$ първо опростете

Ако при заместване се получи ${\frac{0}{0}},$ изразът няма стойност в $a,$ но границата все пак може да съществува. Записът ${\frac{0}{0}}$ се нарича неопределеност: той не казва каква е границата, а само показва, че трябва да продължим. Преобразувайте израза така, че заместването да даде резултат. Можете да съкращавате множители, които са равни на $0$ в $a,$ защото границата зависи само от стойностите при ${x\ne a}.$

Разлагане на множители и съкращаване

Пример 6. Намерете ${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}.$

При заместване получаваме ${\frac{16-16}{8-8}=\frac{0}{0}}.$ Двата многочлена имат общ множител ${x-2}\text{:}$

${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}={\lim_{x\to2}\frac{4x(x-2)}{4(x-2)}}={\lim_{x\to2}x}={{2}.}$

Пример 7. Намерете ${\lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}}.$

${\lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}}={\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}}={\lim_{x\to-1}\frac{x^2-x+1}{x-1}}={\frac{3}{-2}}={{-\frac{3}{2}}.}$

Ако два многочлена са равни на $0$ при ${x=a},$ и двата се делят на ${x-a},$ затова този множител винаги може да се съкрати (частните се намират бързо със схемата на Хорнер). Ако отново се получи ${\frac{0}{0}},$ съкратете още веднъж.

Умножаване по спрегнатия израз

Пример 8. Намерете ${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}}.$

Отново получаваме ${\frac{0}{0}}.$ Умножаваме числителя и знаменателя по спрегнатия израз ${\sqrt{x+4}+2}.$ Тъй като ${(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}={x+4-4}={{x},}$

${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}}={\lim_{x\to0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}}={\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}}={{\frac{1}{4}}.}$

Забележителни граници

Някои граници не могат да се намерят само с алгебрични преобразувания: първите пет от таблицата по-долу са неопределености от вида ${\frac{0}{0}},$ а последната е от вида $1^\infty.$ Те се доказват веднъж и след това се използват като известни резултати (ъглите са в радиани):

${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}}$

${\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e}$

Функцията ${\frac{\sin x}{x}}$ от първата забележителна граница не е дефинирана в $0,$ затова графиката ѝ е „пробита“ в точката $(0;\ 1)\text{:}$ границата ѝ в $0$ е $1.$ Във всяка формула от таблицата $x$ може да се замени навсякъде, където се среща, с произволен израз, който клони към $0$ (и не е равен на $0$ близо до точката). Например ${\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{5x}=1},$ защото ${u=5x}$ клони към $0$ заедно с $x.$

Пример 9. Намерете ${\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{2x}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{2x}}={\lim_{x\to0}\left(\frac{5}{2}\cdot\frac{\sin5x}{5x}\right)}={\frac{5}{2}\cdot1}={{\frac{5}{2}}.}$

Пример 10. Намерете ${\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{\sin x}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{\sin x}}={\lim_{x\to0}\left(3\cdot\frac{e^{3x}-1}{3x}\cdot\frac{x}{\sin x}\right)}={3\cdot1\cdot1}={{3}.}$

Граници в безкрайност

Когато ${x\to+\infty}$ или ${x\to-\infty},$ многочленът се държи като члена си от най-висока степен. При частно на многочлени заместването дава ${\frac{\infty}{\infty}},$ т.е. още една неопределеност. Разделете числителя и знаменателя на най-високата степен на $x$ в знаменателя.

Пример 11. Намерете ${\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-2x}{1-4x^3}}.$

${\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-2x}{1-4x^3}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{5-2/x^2}{1/x^3-4}}={\frac{5-0}{0-4}}={{-\frac{5}{4}}.}$

Пример 12. Намерете ${\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)}.$

Тук заместването дава ${\infty-\infty}.$ Умножаваме и делим със спрегнатия израз ${\sqrt{x^2+3x}+x},$ след което делим числителя и знаменателя на $x$ (при ${x\gt0}$ имаме ${\sqrt{x^2+3x}=x\sqrt{1+3/x}}$):

${\sqrt{x^2+3x}-x}={\frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}}={\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}}={{\frac{3}{\sqrt{1+3/x}+1}}.}$

Когато ${x\to+\infty},$ този израз клони към ${\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}}.$ Следователно границата е ${\frac{3}{2}},$ въпреки че „${\infty-\infty}$“ може да подскаже $0.$ Още примери има в раздела „Граници в безкрайност“ на урока за пресмятане на граници.

Пресмятане на граници с правилото на Лопитал

Правилото на Лопитал (на френски L’Hôpital, в по-стари текстове L’Hospital) заменя граница от вида ${\frac{0}{0}}$ или ${\frac{\infty}{\infty}}$ с границата на частното на производните. За да го използвате, трябва да можете да намирате производни.

Диференцирайте числителя и знаменателя поотделно. Това не е правилото за производна на частно: самата дроб ${\frac{f(x)}{g(x)}}$ не се диференцира.

Защо е вярно в най-простия случай: ако ${f(a)=g(a)=0},$ $f'$ и $g'$ са непрекъснати в $a$ и ${g'(a)\ne0},$ то при ${x\ne a}$

${\frac{f(x)}{g(x)}}={\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}={{\frac{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}},}$

а двете диференчни частни клонят към $f'(a)$ и $g'(a).$ Следователно границата е ${\frac{f'(a)}{g'(a)}},$ а това е ${\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}},$ защото $f'$ и $g'$ са непрекъснати.

Пример 13. Намерете ${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}$ с правилото на Лопитал.

При ${x=2}$ и ${4x^2-8x},$ и ${4x-8}$ са равни на $0,$ следователно имаме неопределеност от вида ${\frac{0}{0}}.$ Производните са ${(4x^2-8x)'=8x-8}$ и ${(4x-8)'=4},$ затова

${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}={\lim_{x\to2}\frac{8x-8}{4}}={\frac{16-8}{4}}={{2},}$

т.е. получаваме същия отговор като при разлагането на множители в пример 6.

Пример 14 (правилото, приложено два пъти). Намерете ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}={\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}}={\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}}={{\frac{1}{2}}.}$

След първата стъпка все още имаме неопределеност от вида ${\frac{0}{0}},$ затова прилагаме правилото отново. (Във втората стъпка може да се използва и забележителната граница ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}.$)

Пример 15 (неопределеност от вида ${\frac{\infty}{\infty}}$). Намерете границите.

а) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}}={{0};}$

б) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^x}}={{0}.}$

Като приложим правилото $n$ пъти, получаваме ${\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0}$ за всяко $n.$ Значи $e^x$ расте по-бързо от всяка степен на $x,$ а от подточка а) следва, че $\ln x$ расте по-бавно от $x.$

Други видове неопределености

Освен ${\frac{0}{0}}$ и ${\frac{\infty}{\infty}},$ неопределености са още ${0\cdot\infty},$ ${\infty-\infty},$ $1^\infty,$ $0^0$ и $\infty^0.$ Преобразувайте ги в дроб и след това опростете или приложете правилото на Лопитал:

Вид	Как се преобразува
${0\cdot\infty}$	${f\cdot g=\frac{f}{1/g}}$  или  ${\frac{g}{1/f}}$
${\infty-\infty}$	общ знаменател или спрегнат израз
$1^\infty,$ $0^0,$ $\infty^0$	${f^g=e^{g\ln f}}$ (при ${f\gt0}$): намерете границата $K$ на ${g\ln f};$ отговорът е $e^K$

Пример 16 (${0\cdot\infty}$). Намерете ${\lim_{x\to+0}x\ln x}.$

При ${x\to+0}$ имаме ${\ln x\to-\infty}.$ Записваме произведението като дроб, която е неопределеност от вида ${\frac{\infty}{\infty}}$ (тук ${\frac{-\infty}{+\infty}}$):

${\lim_{x\to+0}x\ln x}={\lim_{x\to+0}\frac{\ln x}{1/x}}={\lim_{x\to+0}\frac{1/x}{-1/x^2}}={\lim_{x\to+0}(-x)}={{0}.}$

Пример 17 (${\infty-\infty}$). Намерете ${\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)}.$

Привеждаме дробите под общ знаменател. Получава се неопределеност от вида ${\frac{0}{0}},$ затова прилагаме правилото на Лопитал два пъти:

${\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)}={\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}}={\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{e^x-1+xe^x}}={\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2e^x+xe^x}}={{\frac{1}{2}}.}$

Пример 18 ($1^\infty$). Намерете ${\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x}.$

Основата клони към $1,$ а показателят расте неограничено. Записваме ${\left(1+\frac{3}{x}\right)^x=e^{x\ln(1+3/x)}}$ и търсим границата на показателя. Тя е неопределеност от вида ${0\cdot\infty}.$ Ако запишем показателя като дробта ${\frac{\ln(1+3/x)}{1/x}},$ получаваме неопределеност от вида ${\frac{0}{0}}.$

Производната на числителя ${\ln(1+3/x)}$ е ${\frac{-3/x^2}{1+3/x}=-\frac{3}{x^2+3x}},$ а производната на знаменателя ${1/x}$ е ${-1/x^2}.$ Следователно

${\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)}={\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+3/x)}{1/x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{-3/(x^2+3x)}{-1/x^2}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{x^2+3x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{3x}{x+3}}={{3}.}$

Показателят клони към $3,$ затова ${\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x=e^3}.$

Пример 19 ($0^0$). Намерете ${\lim_{x\to+0}x^x}.$

Имаме ${x^x=e^{x\ln x}},$ а ${x\ln x\to0}$ според пример 16. Следователно границата е ${e^0=1}.$

Обобщение: как се решава задача с граница

Заместете ${x=a}$ (при ${x\to\pm\infty}$ разгледайте старшите членове) и действайте според това, което сте получили:

Получавате	Какво да направите
число, като от двете страни на $a$ е в сила една и съща формула	Това е границата (многочлени, дробно-рационални функции, корени, $\sin x,$ $\cos x,$ $e^x,$ $\ln x$ в дефиниционните им множества).
функция, зададена с няколко формули, или модул: различни формули от двете страни на $a$	Намерете лявата и дясната граница; границата съществува само ако те са равни.
${\frac{c}{0}},$ ${c\ne0}$	Едностранните граници са безкрайни: $+\infty$ или $-\infty$ според знака от всяка страна.
${\frac{0}{0}}$	Разложете и съкратете, умножете по спрегнатия израз, използвайте забележителна граница или правилото на Лопитал.
${\frac{\infty}{\infty}}$	Разделете на най-високата степен на $x$ или използвайте правилото на Лопитал.
${0\cdot\infty},$ ${\infty-\infty}$	Преобразувайте в една дроб.
$1^\infty,$ $0^0,$ $\infty^0$	Използвайте ${f^g=e^{g\ln f}}.$

Задачи за упражнение

1. Намерете ${\lim_{x\to2}(3x^3-x+5)}.$

Отговор

Чрез заместване: ${3\cdot2^3-2+5}={24-2+5}={{27}.}$

2. Нека ${f(x)=2x+1}$ при ${x\lt1}$ и ${f(x)=x^2+3}$ при ${x\ge1}.$ Намерете ${\lim_{x\to1-0}f(x)}$ и ${\lim_{x\to1+0}f(x)}.$ Съществува ли ${\lim_{x\to1}f(x)}?$

Отговор

${\lim_{x\to1-0}(2x+1)=3}$ и ${\lim_{x\to1+0}(x^2+3)=4}.$ Те са различни, затова границата в точката $1$ не съществува.

3. Намерете ${\lim_{x\to-2}\frac{x^2-4}{x^2+5x+6}}.$

Отговор

Заместването дава ${\frac{0}{0}}.$ Разлагаме на множители: ${\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)}=\frac{x-2}{x+3}},$ затова границата е ${\frac{-4}{1}=-4}.$

4. Намерете ${\lim_{x\to9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}}.$

Отговор

Тъй като ${x-9=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)},$ дробта е равна на ${\frac{1}{\sqrt{x}+3}},$ а границата е ${\frac{1}{6}}.$

5. Намерете ${\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\sin7x}}.$

Отговор

Записваме ${\frac{\sin3x}{\sin7x}}={\frac{3}{7}\cdot\frac{\sin3x}{3x}\cdot\frac{7x}{\sin7x}},$ следователно границата е ${\frac{3}{7}}.$

6. Намерете ${\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}}.$

Отговор

Прилагаме правилото на Лопитал три пъти: ${\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}}={\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2}}={\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{6x}}={\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{6}}={{\frac{1}{6}}.}$

7. Намерете ${\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}}.$

Отговор

Неопределеност от вида ${\frac{\infty}{\infty}};$ прилагаме правилото на Лопитал два пъти: ${\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}}={{0}.}$

8. Намерете ${\lim_{x\to+0}x^2\ln x}.$

Отговор

Записваме ${x^2\ln x=\frac{\ln x}{1/x^2}}$ (неопределеност от вида ${\frac{\infty}{\infty}}$), затова ${\lim_{x\to+0}\frac{\ln x}{1/x^2}}={\lim_{x\to+0}\frac{1/x}{-2/x^3}}={\lim_{x\to+0}\left(-\frac{x^2}{2}\right)}={{0}.}$

9. Намерете ${\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)}.$

Отговор

Умножаваме и делим със спрегнатия израз: ${\sqrt{x^2+x}-x}={\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}}={{\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}},}$ което клони към ${\frac{1}{2}}.$

10. Намерете ${\lim_{x\to0}(1+2x)^{1/x}}.$

Отговор

Имаме ${(1+2x)^{1/x}=e^{\ln(1+2x)/x}}$ и ${\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2x)}{x}}={\lim_{x\to0}\frac{2}{1+2x}}={2}$ (по правилото на Лопитал), затова границата е $e^2.$

Вижте също:„Граници (интуитивно въведение)“, „Граници и методи за пресмятане“, „Граница на редица“, „Свойства на непрекъснатите функции“ и програмата за намиране на производни.