Връзка между интегриране и диференциране

На пръв поглед диференцирането и интегрирането отговарят на два несвързани въпроса. Производната дава наклона на кривата в дадена точка, а определеният интеграл – лицето под кривата. Въпреки това двете операции са взаимно обратни, подобно на повдигането на квадрат и извличането на квадратен корен при положителните числа. Тази връзка е изразена в двете основни теореми на анализа и именно благодарение на нея можем да пресметнем повечето интеграли: вместо граница на интегрални суми е достатъчно да намерим функция, чиято производна е подинтегралната функция.

Ето първи пример. Да вземем функцията ${f(t)=t^2}$ и да я интегрираме от $0$ до променлива горна граница $x.$ От дефиницията на интеграла като граница на интегрални суми (вижте „Определени интеграли“) се получава

$$\int_0^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3}.$$

Резултатът е нова функция на $x,$ а производната ѝ е ${\left(\frac{x^3}{3}\right)'=x^2},$ т.е. точно функцията, от която започнахме. Ако интегрираме $f$ и след това диференцираме, отново получаваме $f.$ В останалата част на страницата ще видим, че това не е случайно.

На тази страница: Променлива горна граница · Първа основна теорема · Нулева производна · Примитивни функции · Втора основна теорема · Примери · Свойства от производната · Упражнения

Интеграл с променлива горна граница

Нека функцията $f$ е интегруема в интервала $[a;\ b]$ и $c$ е фиксирана точка от $[a;\ b].$ За всяко $x$ от $[a;\ b]$ полагаме

$$A(x)=\int_c^x f(t)\,dt.$$

Когато ${f\ge0}$ и ${x\gt c},$ числото $A(x)$ е лицето на фигурата под графиката на $f$ между $c$ и $x.$ При промяна на $x$ се променя и лицето, затова $A$ е функция на горната граница. Тя се нарича интеграл с променлива горна граница.

• Буквата $t$ е само променливата на интегриране. Може да се използва всяка друга буква, но не и $x,$ защото с нея вече е означена горната граница.

• ${A(c)=0},$ а при ${x\lt c}$ интегралът означава ${-\int_x^c f(t)\,dt}.$

• При друга начална точка $A$ се променя само с константа: ${\int_{c_1}^x f(t)\,dt}={\int_{c_1}^{c_2}f(t)\,dt}+{\int_{c_2}^x f(t)\,dt},$ а първият интеграл вдясно не зависи от $x.$

Първа основна теорема на анализа

С други думи, ${\frac{d}{dx}\int_c^x f(t)\,dt=f(x)}\text{:}$ производната на интеграла по горната му граница е подинтегралната функция, пресметната в тази граница. Ако $f$ е непрекъсната в целия интервал, това е вярно във всяка вътрешна точка. Същото е в сила и за отворен интервал $I,$ защото всяка точка от $I$ е вътрешна точка на някакъв интервал ${[a;\ b]\subset I},$ който съдържа и $c.$ Следователно всяка функция, непрекъсната в отворен интервал, е производна на някаква функция в този интервал.

Защо теоремата е вярна

Да вземем малко ${h\gt0}.$ Разликата ${A(x+h)-A(x)}$ е лицето от $c$ до ${x+h}$ минус лицето от $c$ до $x,$ т.е. лицето на тясната ивица между $x$ и ${x+h}\text{:}$

$$A(x+h)-A(x)=\int_x^{x+h}f(t)\,dt.$$

Ивицата има ширина $h,$ а когато $h$ е малко, височината ѝ остава близка до $f(x).$ Затова ивицата е почти правоъгълник с лице ${h\,f(x)}$ и

$$\frac{A(x+h)-A(x)}{h}\approx f(x).$$

Колкото по-малко е $h,$ толкова по-добро е приближението. При граничния преход диференчното частно вляво се превръща в производната $A'(x),$ а приближеното равенство – в точното равенство ${A'(x)=f(x)}.$

Ако $f$ е непрекъсната в ${[x;\ x+h]},$ теоремата за средните стойности за интеграли прави това разсъждение точно: лицето на ивицата е ${h\,f(z)}$ за някоя точка $z$ между $x$ и ${x+h}.$ Когато ${h\to0},$ точката $z$ е „притисната“ към $x$ и ${f(z)\to f(x)},$ защото $f$ е непрекъсната.

Доказателство

Разсъждението с чертежа предполага, че $f$ е непрекъсната в околност на $x,$ а теоремата изисква непрекъснатост само в самата точка $x.$ Ето доказателство, което не използва нищо повече.

Фиксираме точка $x$ от $(a;\ b),$ в която $f$ е непрекъсната, и нека ${h\ne0}$ е толкова малко, че ${x+h}$ също лежи в $[a;\ b].$ Както по-горе, ${A(x+h)-A(x)}={\int_x^{x+h}f(t)\,dt}.$ Числото $f(x)$ е константа, затова ${\int_x^{x+h}f(x)\,dt=h\,f(x)}$ и следователно

${\frac{A(x+h)-A(x)}{h}}-{f(x)}={{\frac{1}{h}\int_x^{x+h}\big(f(t)-f(x)\big)\,dt}.}$

Ще покажем, че дясната страна клони към $0.$ Нека ${\varepsilon\gt0}.$ Тъй като $f$ е непрекъсната в $x,$ съществува ${\delta\gt0},$ такова че ${\lvert f(t)-f(x)\rvert\lt\varepsilon}$ за всяко $t$ от $[a;\ b],$ за което ${\lvert t-x\rvert\lt\delta}.$ Сега нека ${0\lt\lvert h\rvert\lt\delta}.$ Всяко $t$ между $x$ и ${x+h}$ е на разстояние от $x,$ по-малко от $\delta,$ затова подинтегралната функция е по модул по-малка от $\varepsilon$ в интервал с дължина $\lvert h\rvert$ и

${\left\lvert\frac{1}{h}\int_x^{x+h}\big(f(t)-f(x)\big)\,dt\right\rvert}\le{\frac{1}{\lvert h\rvert}\cdot\varepsilon\,\lvert h\rvert}={{\varepsilon}.}$

(При ${h\lt0}$ интегрирането е отдясно наляво, което променя само знака на интеграла, затова оценката е същата.) И така, диференчното частно се различава от $f(x)$ най-много с $\varepsilon,$ когато ${0\lt\lvert h\rvert\lt\delta}.$ Тъй като $\varepsilon$ е произволно,

${A'(x)}={\lim_{h\to0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}}={{f(x)}.}$

Примери

Пример 1. ${\frac{d}{dx}\int_1^x(t^3+1)\,dt}={x^3+1}.$ Долната граница не играе роля: производната е подинтегралната функция, в която $t$ е заменено с $x.$ Можем да проверим това: според втората основна теорема (вижте по-долу) ${\int_1^x(t^3+1)\,dt}={\frac{x^4}{4}+x-\frac{5}{4}},$ а производната на този израз е ${x^3+1}.$

Пример 2. ${\frac{d}{dx}\int_0^x\sin(t^2)\,dt=\sin(x^2)}.$ Интегралът ${\int_0^x\sin(t^2)\,dt}$ не може да се изрази чрез елементарни функции (степени, корени, показателни, логаритмични, тригонометрични и обратни тригонометрични функции и техни комбинации), но производната му е проста. Нещо повече, интегралите с променлива горна граница са начин да се дефинират нови функции, а теоремата веднага дава производните им. Например натуралният логаритъм може да се дефинира като ${\ln x=\int_1^x\frac{dt}{t}}$ при ${x\gt0}$ и тогава веднага ${(\ln x)'=\frac{1}{x}}.$

Пример 3 (променлива долна граница). Ако разменим границите, интегралът сменя знака си: ${\int_x^2e^{t^2}\,dt=-\int_2^xe^{t^2}\,dt}.$ Следователно

$$\frac{d}{dx}\int_x^2e^{t^2}\,dt=-e^{x^2}.$$

Пример 4 (функция в горната граница). Намерете производната на ${F(x)=\int_0^{x^2}\sqrt{1+t^3}\,dt}.$

Нека ${G(u)=\int_0^u\sqrt{1+t^3}\,dt}.$ Тогава ${F(x)=G(x^2)}$ и ${G'(u)=\sqrt{1+u^3}},$ затова по правилото за диференциране на съставна функция

${F'(x)}={G'(x^2)\cdot(x^2)'}={{2x\sqrt{1+x^6}}.}$

Двата случая заедно дават общото правило. Ако $f$ е непрекъсната в интервал, който съдържа всички стойности на $u$ и $v,$ а $u$ и $v$ са диференцируеми, то

За да се убедите в това, разделете интеграла на две части в някоя фиксирана точка $c$ и приложете към тях примери 3 и 4.

Пример 5. Тук ${u(x)=2x}$ и ${v(x)=x^2}\text{:}$

${\frac{d}{dx}\int_{2x}^{x^2}\frac{dt}{1+t^2}}={\frac{1}{1+x^4}\cdot2x}-{\frac{1}{1+4x^2}\cdot2}={{\frac{2x}{1+x^4}-\frac{2}{1+4x^2}}.}$

Когато подинтегралната функция има скок

Условието $f$ да е непрекъсната в точката $x$ не може да се пропусне. Нека ${f(t)=1}$ при ${t\lt0}$ и ${f(t)=2}$ при ${t\ge0},$ а ${A(x)=\int_0^x f(t)\,dt}.$ Тогава ${A(x)=x}$ при ${x\le0}$ и ${A(x)=2x}$ при ${x\ge0}.$

Функцията $A$ е непрекъсната навсякъде и ${A'(x)=f(x)}$ при всяко ${x\ne0}.$ При ${x=0},$ където $f$ прави скок, графиката на $A$ има чупка: наклонът ѝ е $1$ отляво и $2$ отдясно, затова $A'(0)$ не съществува. Интегрирането прави функцията по-гладка: там, където $f$ има скок, $A$ има само чупка.

Теорема за нулевата производна

Ако една функция е постоянна в даден интервал, производната ѝ там е $0,$ защото всяко диференчно частно ${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ е равно на $0.$ Вярно е и обратното и именно то е ключът към втората основна теорема.

Доказателство. Да вземем две произволни точки ${x_1\lt x_2}$ от $I.$ Функцията $f$ е диференцируема, а следователно и непрекъсната, в ${[x_1;\ x_2]}.$ Според теоремата на Лагранж (за крайните нараствания) съществува точка $\xi$ между $x_1$ и $x_2,$ такава че

${f(x_2)-f(x_1)}={f'(\xi)\,(x_2-x_1)}={{0}.}$

Следователно ${f(x_1)=f(x_2)}$ за всеки две точки от $I,$ т.е. $f$ е постоянна.

Думата интервал е съществена. Функцията ${g(x)=\frac{\lvert x\rvert}{x}}$ е дефинирана при ${x\ne0}$ и ${g'(x)=0}$ навсякъде, където е дефинирана, но $g$ не е постоянна: тя е равна на $-1$ при ${x\lt0}$ и на $1$ при ${x\gt0}.$ Дефиниционното ѝ множество се състои от два интервала и теоремата твърди само, че $g$ е постоянна във всеки от тях.

Примитивна функция и втора основна теорема на анализа

Дефиниция на примитивна функция

Например $\sin x$ е примитивна на $\cos x$ върху цялата числова ос, защото ${(\sin x)'=\cos x}.$ Функцията ${\frac{x^3}{3}}$ е примитивна на $x^2,$ но такива са и ${\frac{x^3}{3}+5},$ и ${\frac{x^3}{3}-\sqrt{2}}\text{:}$ прибавянето на константа не променя производната. Затова казваме една примитивна, а не примитивната. Прибавянето на константа е и единствената свобода при избора на примитивна:

Доказателство. ${(P+C)'=P'=f},$ затова всяка функция ${P+C}$ е примитивна на $f.$ Обратно, ако $Q$ е произволна примитивна на $f$ в $I,$ то ${(Q-P)'=f-f=0}$ в $I$ и според теоремата за нулевата производна ${Q-P}$ е някаква константа $C.$

Геометрично графиките на примитивните на $f$ са копия на една графика, преместени нагоре или надолу. Над всяка точка $x$ всички те имат един и същ наклон $f(x).$ На чертежа ${f(x)=x^2-1}$ и всяка от кривите има наклон ${f(1{,}5)=1{,}25}$ при ${x=1{,}5}.$

Множеството от всички примитивни на $f$ се записва със знака за интеграл без граници, ${\int f(x)\,dx=P(x)+C},$ и се нарича неопределен интеграл на $f.$ Повече за този запис има във втората част, а дълъг списък с формули – в „Неопределени интеграли“.

Има ли всяка функция примитивна? Всяка непрекъсната функция има: според първата основна теорема ${A(x)=\int_c^x f(t)\,dt}$ е една нейна примитивна. Но не всяка функция има примитивна. Функцията със скок от примера по-горе няма примитивна върху цялата числова ос. Според теоремата за нулевата производна такава примитивна би имала вида ${x+C_1}$ при ${x\lt0}$ и ${2x+C_2}$ при ${x\gt0}.$ Тя трябва да е непрекъсната в $0,$ затова ${C_1=C_2},$ но тогава в $0$ тя има чупка и няма производна в тази точка.

Втора основна теорема на анализа

Доказателство. Нека ${A(x)=\int_c^x f(t)\,dt}.$ Тъй като $f$ е непрекъсната във всяка точка от $I,$ първата основна теорема дава ${A'(x)=f(x)}$ в $I,$ т.е. $A$ е примитивна на $f.$ Две примитивни на една и съща функция се различават с константа, затова ${A(x)=P(x)+k}$ за някое число $k.$ При ${x=c}$ получаваме ${0=A(c)=P(c)+k},$ откъдето ${k=-P(c)}$ и ${A(x)=P(x)-P(c)}.$

При ${c=a}$ и ${x=b}$ това е формулата, с която се пресмятат определените интеграли – формулата на Нютон–Лайбниц. Ако $f$ е непрекъсната в отворен интервал, който съдържа ${[a;\ b]},$ и $P$ е примитивна на $f$ в него, то

Записът ${\Bigl[P(x)\Bigr]_a^b},$ който се среща и като ${P(x)\Big\vert_a^b},$ е съкратено означение на ${P(b)-P(a)}.$ Всяка примитивна дава един и същ резултат, защото константата се съкращава: ${\big(P(b)+C\big)}-{\big(P(a)+C\big)}={P(b)-P(a)}.$

Теоремата свежда една трудна задача до много по-лесна. Вместо граница на интегрални суми ни трябва функция с дадена производна, а всяка формула за диференциране, прочетена отдясно наляво, дава такава функция.

Непрекъснатостта е съществена. Подинтегралната функция трябва да е непрекъсната в целия интервал на интегриране. Например ${\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^2}},$ но формулата би дала ${\int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}}={\Bigl[-\frac{1}{x}\Bigr]_{-1}^1}={-2},$ т.е. отрицателно число като интеграл от положителна функция. Тук формулата не е приложима: функцията ${\frac{1}{x^2}}$ дори не е дефинирана при ${x=0},$ а тази точка лежи в ${[-1;\ 1]}.$ (Това е несобствен интеграл, и то разходящ се.)

Решени примери

Пример 1. Функцията ${\frac{x^3}{3}}$ е примитивна на $x^2,$ затова

${\int_0^1x^2\,dx}={\Bigl[\frac{x^3}{3}\Bigr]_0^1}={\frac{1}{3}-0}={{\frac{1}{3}}.}$

Пример 2. ${x^3-2x^2+5x}$ е примитивна на ${3x^2-4x+5},$ затова

${\int_1^2(3x^2-4x+5)\,dx}={\Bigl[x^3-2x^2+5x\Bigr]_1^2}={(8-8+10)}-{(1-2+5)}={{6}.}$

Пример 3. Записваме корена като степен с отрицателен степенен показател:

${\int_1^4\frac{dx}{\sqrt{x}}}={\int_1^4x^{-1/2}\,dx}={\Bigl[2\sqrt{x}\Bigr]_1^4}={4-2}={{2}.}$

Пример 4. Тъй като ${(-\cos x)'=\sin x},$

${\int_0^\pi\sin x\,dx}={\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^\pi}={-\cos\pi+\cos0}={1+1}={{2}.}$

Лицето под една „дъга“ на синусоидата е точно $2.$

Пример 5. Тъй като ${(\arctg x)'=\frac{1}{1+x^2}},$

${\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}}={\Bigl[\arctg x\Bigr]_0^1}={\frac{\pi}{4}-0}={{\frac{\pi}{4}}.}$

Пример 6. Тъй като ${(\ln x)'=\frac{1}{x}}$ при ${x\gt0},$

${\int_1^e\frac{dx}{x}}={\Bigl[\ln x\Bigr]_1^e}={1-0}={{1}.}$

Пример 7 (подинтегрална функция, зададена с две формули). Намерете ${\int_{-1}^2\lvert x\rvert\,dx}.$ При ${x\lt0}$ имаме ${\lvert x\rvert=-x},$ а при ${x\ge0}$ имаме ${\lvert x\rvert=x},$ затова разделяме интеграла в точката $0\text{:}$

${\int_{-1}^0(-x)\,dx+\int_0^2x\,dx}={\Bigl[-\frac{x^2}{2}\Bigr]_{-1}^0}+{\Bigl[\frac{x^2}{2}\Bigr]_0^2}={\frac{1}{2}+2}={{\frac{5}{2}}.}$

Друг начин: ${P(x)=\frac{x\lvert x\rvert}{2}}$ е примитивна на ${\lvert x\rvert}$ върху цялата числова ос (проверете производната поотделно при ${x\gt0},$ при ${x\lt0}$ и, по дефиницията на производна, при ${x=0}$) и ${P(2)-P(-1)}={2-\left(-\frac{1}{2}\right)}={\frac{5}{2}}.$

Основни примитивни функции

Всеки ред на тази таблица е формула за производна, прочетена отзад напред. Можете да проверите всеки ред, като диференцирате функцията от дясната колона.

Функция $f(x)$	Примитивна $P(x)$
$x^n,$ ${n\ne-1}$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert$
$e^x$	$e^x$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$
$\frac{1}{\cos^2x}$	$\tg x$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\arctg x$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x$

Всяка формула е вярна във всеки отворен интервал, в който $f$ е непрекъсната: например за ${\frac{1}{x}}$ – в ${(0;\ +\infty)}$ или в ${(-\infty;\ 0)},$ но не и в интервал, който съдържа $0.$ При нецяло $n$ степента $x^n$ се разглежда при ${x\gt0}.$ Следователно при ${0\lt a\lt b}$

${\int_a^bx^n\,dx=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}}$  за всяко ${n\ne-1},$   и   ${\int_a^b\frac{dx}{x}=\ln\frac{b}{a}}.$

Свойства на функция, изведени от производната ѝ

Ако $f$ има непрекъсната производна в отворения интервал $I,$ то $f$ е примитивна на $f'$ и втората основна теорема дава за всички $c$ и $x$ от $I$

$$f(x)=f(c)+\int_c^x f'(t)\,dt.$$

Стойността на функцията в $x$ е стойността ѝ в $c$ плюс изменението, натрупано между $c$ и $x.$ Във физиката: ако $s(t)$ е положението на движещо се тяло, а ${v(t)=s'(t)}$ е скоростта му, то ${s(t)}={s(0)+\int_0^t v(\tau)\,d\tau},$ т.е. преместването е интегралът от скоростта. Формулата ни позволява да съдим за свойствата на $f$ по свойствата на $f'.$

1. Знакът на производната. Ако ${f'(t)\ge0}$ в $I,$ то при ${x\gt c}$ интегралът ${\int_c^x f'(t)\,dt}$ е неотрицателен, затова ${f(x)\ge f(c)}\text{:}$ функцията е ненамаляваща в $I,$ т.е. никъде не намалява. Ако ${f'(t)\gt0}$ в $I,$ интегралът е положителен и $f$ е строго растяща. По същия начин от ${f'\le0}$ следва, че $f$ е ненарастваща.

Например функцията ${f(x)=x+\sin x}$ има производна ${f'(x)=1+\cos x\ge0},$ затова е ненамаляваща върху цялата числова ос. Нещо повече, тя е строго растяща. Ако ${f(x)=f(c)}$ за някое ${x\gt c},$ ненамаляващата функция $f$ би била постоянна в ${[c;\ x]}$ и тогава ${f'=0}$ в целия интервал ${[c;\ x]}.$ Но ${1+\cos t=0}$ само в изолираните точки ${t=\pi+2k\pi}.$

2. Оценка на производната дава оценка на изменението. Ако ${\lvert f'(t)\rvert\le M}$ в $I,$ то

${\lvert f(x)-f(c)\rvert}={\left\lvert\int_c^x f'(t)\,dt\right\rvert}\le{{M\,\lvert x-c\rvert}.}$

Например от ${\lvert\cos t\rvert\le1}$ следва ${\lvert\sin x-\sin c\rvert\le\lvert x-c\rvert}$ за всички реални $x$ и $c.$

3. Ненамаляваща производна прави функцията изпъкнала. Ако $f'$ е ненамаляваща в $I,$ то $f$ е изпъкнала в $I\text{:}$ графиката ѝ се огъва нагоре. Да вземем три точки ${x_1\lt x_2\lt x_3}$ от $I.$ Наклонът на хордата над ${[x_1;\ x_2]}$ е

${\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}={{\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}f'(t)\,dt},}$

т.е. средната стойност на $f'$ в ${[x_1;\ x_2]}.$ Тъй като $f'$ е ненамаляваща, тази средна стойност е най-много ${f'(x_2)},$ а средната стойност в ${[x_2;\ x_3]}$ е поне ${f'(x_2)}.$ Следователно хордата над ${[x_1;\ x_2]}$ никога не е по-стръмна от хордата над ${[x_2;\ x_3]}.$ Това означава, че точката ${(x_2;\ f(x_2))}$ лежи върху хордата, която свързва ${(x_1;\ f(x_1))}$ и ${(x_3;\ f(x_3))},$ или под нея, а това е дефиницията на изпъкналост. По същия начин ненарастваща $f'$ прави $f$ вдлъбната. Например производната на $e^x$ е $e^x,$ която е растяща, затова $e^x$ е изпъкнала.

Упражнения

1. Намерете примитивна на ${f(x)=6x^2-4x+3}$ и с нейна помощ пресметнете ${\int_0^2f(x)\,dx}.$

${P(x)=2x^3-2x^2+3x}$ е примитивна, защото ${P'(x)=6x^2-4x+3}.$ Тогава ${\int_0^2f(x)\,dx}={P(2)-P(0)}={16-8+6}={{14}.}$ Отговор: $14.$

2. Пресметнете ${\int_1^8\sqrt[3]{x}\,dx}.$

${\sqrt[3]{x}=x^{1/3}},$ а една примитивна е ${\frac{3}{4}x^{4/3}}.$ Тъй като ${8^{4/3}=16},$ интегралът е ${\frac{3}{4}(16-1)}={\frac{45}{4}}.$ Отговор: $\frac{45}{4}.$

3. Пресметнете ${\int_1^4\left(1+\sqrt{x}\right)^2dx}.$

${\left(1+\sqrt{x}\right)^2=1+2x^{1/2}+x},$ а една примитивна е ${x+\frac{4}{3}x^{3/2}+\frac{x^2}{2}}.$ Стойността ѝ при $4$ е ${4+\frac{32}{3}+8=\frac{68}{3}},$ при $1$ е ${1+\frac{4}{3}+\frac{1}{2}=\frac{17}{6}}$ и ${\frac{68}{3}-\frac{17}{6}=\frac{119}{6}}.$ Отговор: $\frac{119}{6}.$

4. Пресметнете ${\int_1^2\frac{x^3+x-3}{x^3}\,dx}.$

Делим почленно: ${\frac{x^3+x-3}{x^3}}={1+x^{-2}-3x^{-3}}.$ Една примитивна е ${x-\frac{1}{x}+\frac{3}{2x^2}}.$ Стойността ѝ при $2$ е ${2-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}=\frac{15}{8}},$ при $1$ е ${\frac{3}{2}}$ и ${\frac{15}{8}-\frac{3}{2}=\frac{3}{8}}.$ Отговор: $\frac{3}{8}.$

5. Пресметнете ${\int_0^{\pi/2}(3\sin x+2\cos x)\,dx}.$

${\Bigl[-3\cos x+2\sin x\Bigr]_0^{\pi/2}}={(0+2)-(-3+0)}={{5}.}$ Отговор: $5.$

6. Пресметнете ${\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2x}}.$

${\Bigl[\tg x\Bigr]_0^{\pi/4}}={1-0}={1}.$ Отговор: $1.$

7. Пресметнете ${\int_{-1}^3\lvert x-1\rvert\,dx}.$

Разделяме интеграла в точката ${x=1}\text{:}$ ${\int_{-1}^1(1-x)\,dx}={\Bigl[x-\frac{x^2}{2}\Bigr]_{-1}^1}={\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)}={2}$ и ${\int_1^3(x-1)\,dx}={\Bigl[\frac{x^2}{2}-x\Bigr]_1^3}={\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)}={2}.$ Отговор: $4$ (лицето на два триъгълника с основа $2$ и височина $2$).

8. Намерете $F'(x),$ ако ${F(x)=\int_2^x\sqrt{1+t^4}\,dt}.$

Според първата основна теорема ${F'(x)=\sqrt{1+x^4}}.$

9. Намерете $F'(x),$ ако ${F(x)=\int_0^{x^3}\cos(t^2)\,dt}.$

По правилото за диференциране на съставна функция ${F'(x)}={\cos\big((x^3)^2\big)\cdot3x^2}={3x^2\cos(x^6)}.$

10. Намерете $F'(x),$ ако ${F(x)=\int_x^{3x}e^{-t^2}\,dt}.$

По общото правило за интеграл с променливи граници${F'(x)}={e^{-9x^2}\cdot3-e^{-x^2}\cdot1}={3e^{-9x^2}-e^{-x^2}}.$

11. Намерете непрекъсната функция $f$ и всички константи $c,$ за които ${\int_c^x f(t)\,dt=x^2-4}$ за всяко $x.$

Като диференцираме двете страни, получаваме ${f(x)=2x}.$ При ${x=c}$ лявата страна е $0,$ затова ${c^2-4=0}.$ Отговор: ${f(x)=2x}$ и ${c=2}$ или ${c=-2}.$

12. Непрекъсната функция $f$ удовлетворява равенството ${\int_0^x f(t)\,dt=x^2\sin\pi x}$ за всяко $x.$ Намерете ${f\left(\frac{1}{2}\right)}$ и ${f'\left(\frac{1}{2}\right)}.$

Диференцираме: ${f(x)}={{2x\sin\pi x+\pi x^2\cos\pi x},}$ затова ${f\left(\frac{1}{2}\right)=1+0=1}.$ Диференцираме отново: ${f'(x)}={2\sin\pi x}+{4\pi x\cos\pi x-\pi^2x^2\sin\pi x},$ затова ${f'\left(\frac{1}{2}\right)=2-\frac{\pi^2}{4}}.$

13. Непрекъсната функция $f$ удовлетворява равенството ${\int_0^{f(x)}t^2\,dt=x^3+7x}$ за всяко ${x\ge0}.$ Намерете $f(1).$

Лявата страна е равна на ${\frac{f(x)^3}{3}},$ затова ${f(x)^3=3x^3+21x}.$ При ${x=1}\text{:}$ ${f(1)^3=24}.$ Отговор: ${f(1)=\sqrt[3]{24}=2\sqrt[3]{3}}.$

14. Материална точка се движи по права със скорост ${v(t)=t^2-4t+3}$ (в м/с). Намерете преместването ѝ от ${t=0}$ до ${t=3}$ и целия път, който тя изминава за това време.

Преместването е ${\int_0^3v(t)\,dt}={\Bigl[\frac{t^3}{3}-2t^2+3t\Bigr]_0^3}={9-18+9}={{0}\text{:}}$ точката се връща в началното си положение. Тъй като ${v(t)=(t-1)(t-3)},$ тя се движи напред при ${0\lt t\lt1}$ и назад при ${1\lt t\lt3}\text{:}$ ${\int_0^1v(t)\,dt=\frac{4}{3}}$ и ${\int_1^3v(t)\,dt=-\frac{4}{3}}.$ Отговор: преместването е $0,$ а изминатият път е ${\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}}$ м.

15. Нека ${f(x)=2+\int_0^x\frac{e^t}{1+t^2}\,dt}.$ Без да пресмятате интеграла, намерете квадратния многочлен ${p(x)=a+bx+cx^2},$ за който ${p(0)=f(0)},$ ${p'(0)=f'(0)}$ и ${p''(0)=f''(0)}.$

${f(0)=2}.$ ${f'(x)=\frac{e^x}{1+x^2}},$ затова ${f'(0)=1}.$ ${f''(x)}={\frac{e^x(1+x^2)-e^x\cdot2x}{(1+x^2)^2}}={\frac{e^x(x-1)^2}{(1+x^2)^2}},$ затова ${f''(0)=1}.$ Тъй като ${p(0)=a},$ ${p'(0)=b}$ и ${p''(0)=2c},$ получаваме ${a=2},$ ${b=1},$ ${c=\frac{1}{2}}.$ Отговор: ${p(x)=2+x+\frac{x^2}{2}}.$

16. Докажете, че ${\ln(1+x)\le x}$ за всяко ${x\ge0}.$

Нека ${g(x)=x-\ln(1+x)}.$ Тогава ${g(0)=0}$ и ${g'(t)}={1-\frac{1}{1+t}}={\frac{t}{1+t}}\ge{0}$ при ${t\ge0},$ затова ${g(x)}={g(0)+\int_0^xg'(t)\,dt}\ge{0}$ при ${x\ge0},$ а това е търсеното неравенство.

17. Докажете, че никой многочлен не е примитивна на ${\frac{1}{x}}$ в ${(0;\ +\infty)}.$

Да допуснем, че ${p'(x)=\frac{1}{x}}$ за всяко ${x\gt0},$ където $p$ е някакъв многочлен. Тогава ${x\,p'(x)-1=0}$ за всяко ${x\gt0}.$ Лявата страна е многочлен с безброй много корени, следователно е нулевият многочлен и ${x\,p'(x)=1}$ за всяко $x.$ Но при ${x=0}$ лявата страна е $0$ – противоречие.

18. Съществува ли функция $f$ с непрекъсната втора производна, такава че ${f''(x)\gt0}$ за всяко $x,$ ${f'(0)=1}$ и ${f'(1)=0}?$

Не. Според втората основна теорема, приложена към $f',$ ${f'(1)-f'(0)}={\int_0^1f''(t)\,dt}\gt{0},$ затова ${f'(1)\gt f'(0)=1}$ и $f'(1)$ не може да е $0.$

Вижте също: Интеграли (част 2) · Определени интеграли · Неопределени интеграли · Програма за решаване на интеграли стъпка по стъпка