Задачи за съвместна работа - много трудни задачи с решения

Решение:
Нека тръбите пълнят басейна за [tex]x[/tex] и [tex]x+4[/tex] часа. Първата пълни половината за [tex]\frac{x}{2}[/tex] часа:
[tex]\dfrac{x}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+4}\right)=\dfrac{10}{x+4}[/tex]
[tex](x+4)+x=20 \Rightarrow x=8[/tex]
Проверка: [tex]4\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{12}\right)=\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}[/tex]

Решение:
[tex]2[/tex] ч [tex]24[/tex] мин [tex]=\frac{12}{5}[/tex] ч, така че заедно машините асфалтират [tex]\frac{2}{3}:\frac{12}{5}=\frac{5}{18}[/tex] от улицата за час. При [tex]b=\frac{2}{3}a[/tex]:
[tex]a+\dfrac{2}{3}a=\dfrac{5}{18} \Rightarrow a=\dfrac{1}{6}; b=\dfrac{1}{9}[/tex]
Първата машина асфалтира половината улица за [tex]3[/tex] часа, т.е. до [tex]11{:}00[/tex] ч. [tex]t[/tex] часа след това:
[tex]\dfrac{1}{2}+\dfrac{t}{6}=6\cdot \dfrac{t}{9} \Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{t}{2} \Rightarrow t=1[/tex]
В [tex]12{:}00[/tex] ч (улицата още не е завършена: [tex]\frac{2}{3}+\frac{1}{9}=\frac{7}{9}[/tex]).

Решение:
За час тръбите пълнят [tex]\frac{1}{5}=0{,}2[/tex] и [tex]\frac{1}{12{,}5}=0{,}08[/tex] от басейна, а третата изпразва [tex]1:\frac{20}{3}=0{,}15[/tex]. Ако първите две са работили заедно [tex]t[/tex] часа:
[tex]0{,}28t+5\cdot 0{,}08=0{,}68 \Rightarrow 0{,}28t=0{,}28 \Rightarrow t=1[/tex]
Изпразването от [tex]68\%[/tex] до [tex]50\%[/tex] отнема [tex]0{,}18:0{,}15=1{,}2[/tex] ч. Общо: [tex]1+5+1{,}2=7{,}2[/tex] ч = [tex]432[/tex] мин.

Решение:
Нека един матрос изпомпва [tex]p[/tex] за час, през пробойната влизат [tex]w[/tex] за час, а в началото водата е [tex]V[/tex]:
[tex]V+6w=60p; V+4w=56p \Rightarrow w=2p; V=48p[/tex]
[tex]48p+2pt=18pt \Rightarrow 16t=48 \Rightarrow t=3[/tex]

Решение:
Нека на по-бавната бригада са нужни [tex]a[/tex] дни, а на по-бързата — [tex]b[/tex] дни. Тъй като [tex]\frac{75}{7}\%=\frac{3}{28}[/tex]:
[tex]\dfrac{3}{28}a=\dfrac{3}{7}b-6 \Rightarrow a=4b-56[/tex]
[tex]\dfrac{1}{4b-56}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{12} \Rightarrow b^2-29b+168=0 \Rightarrow (b-21)(b-8)=0[/tex]
[tex]b=8[/tex] дава [tex]a\lt 0[/tex], значи [tex]b=21[/tex] и [tex]a=28[/tex]: на по-бавната бригада са нужни [tex]28[/tex] дни, а на по-бързата — [tex]21[/tex] дни.

Решение:
Нека [tex]T[/tex] е действителното време в минути, а [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex] — производителностите (детайли за минута):
[tex]2p(T-12)=12; 2q(T+20)=12; (p+q)T=12[/tex]
[tex]\dfrac{6T}{T-12}+\dfrac{6T}{T+20}=12 \Rightarrow 2T^2+8T=2T^2+16T-480 \Rightarrow T=60[/tex]
[tex]p=\frac{6}{48}=\frac{1}{8}[/tex] и [tex]q=\frac{6}{80}=\frac{3}{40}[/tex] детайла за минута. За [tex]480[/tex] минути: [tex]60[/tex] и [tex]36[/tex] детайла.

Решение:
Нека косачите са [tex]n[/tex] и всеки окосява една единица площ за ден. Голямата ливада е:
[tex]n\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{3n}{4}[/tex]
Значи малката ливада е [tex]\frac{3n}{8}[/tex], а от нея са окосени [tex]\frac{n}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{n}{4}[/tex]:
[tex]\dfrac{3n}{8}-\dfrac{n}{4}=\dfrac{n}{8}=1 \Rightarrow n=8[/tex]

Решение:
Нека работниците са [tex]n[/tex] и всеки върши [tex]p[/tex] от работата за ден, т.е. [tex]24np=1[/tex]. Времената на работа образуват аритметична прогресия от [tex]T[/tex] (за първия) до [tex]\frac{T}{5}[/tex] (за последния); средното им е [tex]\frac{1}{2}\left(T+\frac{T}{5}\right)=\frac{3T}{5}[/tex]:
[tex]np\cdot \dfrac{3T}{5}=1=24np \Rightarrow \dfrac{3T}{5}=24 \Rightarrow T=40[/tex]
Работата е продължила колкото е работил първият: [tex]40[/tex] дни.