Решаване на тригонометрични неравенства - задачи с решения

Решение:
Функцията [tex]\tg x[/tex] има период [tex]\pi[/tex] и расте в [tex]\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex]. Тъй като [tex]\tg 0=0[/tex] и [tex]\tg \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}[/tex], в този интервал
[tex]0\lt\tg x\lt\sqrt{3}\iff 0\lt x\lt\frac{\pi}{3}[/tex]
Като добавим периода: [tex]x\in\left(k\pi; \frac{\pi}{3}+k\pi\right),\ k\in\mathbb{Z}[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x[/tex], неравенството става
[tex]\sin 2x\gt 1[/tex]
Но [tex]\sin 2x\le 1[/tex] за всяко [tex]x[/tex], затова неравенството няма решения.

Решение:
Нека [tex]t=3x-\frac{\pi}{4}[/tex]. Тогава [tex]\sin t\gt\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], което върху единичната окръжност означава
[tex]\frac{\pi}{3}+2k\pi\lt t\lt\frac{2\pi}{3}+2k\pi\iff\frac{7\pi}{12}+2k\pi\lt 3x\lt\frac{11\pi}{12}+2k\pi[/tex]
Като разделим на [tex]3[/tex]: [tex]\frac{7\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}\lt x\lt\frac{11\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z}[/tex].

Решение:
Разлагаме на множители:
[tex]\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)\left(\sin x+\frac{1}{2}\right)\le 0\iff-\frac{1}{2}\le\sin x\le\frac{1}{2}[/tex]
В [tex]\left(0; 2\pi\right)[/tex] условието [tex]\sin x\le\frac{1}{2}[/tex] дава [tex]\left(0; \frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6}; 2\pi\right)[/tex], а [tex]\sin x\ge-\frac{1}{2}[/tex] дава [tex]\left(0; \frac{7\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{11\pi}{6}; 2\pi\right)[/tex]. Отговорът е сечението на двете множества.

Решение:
Тъй като [tex]\cotg \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tg \alpha[/tex], имаме [tex]\cotg \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\tg \left(\frac{\pi}{4}+x\right)[/tex], а
[tex]\tg t\ge\sqrt{3}\iff\frac{\pi}{3}+k\pi\le t\lt\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]
При [tex]t=\frac{\pi}{4}+x[/tex] получаваме [tex]\frac{\pi}{12}+k\pi\le x\lt\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex]. Само [tex]k=-1[/tex] дава точки от [tex]\left[-\pi; 0\right][/tex]: [tex]-\frac{11\pi}{12}\le x\lt-\frac{3\pi}{4}[/tex]. Най-малкото решение е [tex]x=-\frac{11\pi}{12}[/tex].