Решаване на тригонометрични неравенства - много трудни задачи с решения

Решение:
Нека [tex]s=\sin x[/tex]. Тъй като [tex]\cos 2x=1-2s^2[/tex], неравенството е [tex]7-4s^2\le 3\left|2s-1\right|[/tex].
Ако [tex]s\ge\frac{1}{2}[/tex]: [tex]7-4s^2\le 6s-3\iff(s-1)(2s+5)\ge 0[/tex], откъдето [tex]s\ge 1[/tex], т.е. [tex]s=1[/tex]. Ако [tex]s\lt\frac{1}{2}[/tex]: [tex]7-4s^2\le 3-6s\iff(s-2)(2s+1)\ge 0[/tex], откъдето [tex]s\le-\frac{1}{2}[/tex].
Накрая, [tex]\sin x=1\iff x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex], а [tex]\sin x\le-\frac{1}{2}\iff x\in\left[\frac{7\pi}{6}+2k\pi; \frac{11\pi}{6}+2k\pi\right][/tex].

Решение:
Преобразуваме произведенията в суми:
[tex]\sin x\sin 3x=\frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 4x); \quad\sin 5x\sin 7x=\frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 12x)[/tex]
Неравенството става [tex]\cos 12x\gt\cos 4x[/tex], т.е.
[tex]\cos 4x-\cos 12x=2\sin 8x\sin 4x=4\sin ^2 4x\cos 4x\lt 0[/tex]
Следователно [tex]\cos 4x\lt 0[/tex] и [tex]\sin 4x\ne 0[/tex]: [tex]\frac{\pi}{2}+2k\pi\lt 4x\lt\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/tex] и [tex]4x\ne\pi+2k\pi[/tex]. Като разделим на [tex]4[/tex]: [tex]\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\lt x\lt\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}[/tex] и [tex]x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/tex].

Решение:
Всички страни трябва да са положителни. [tex]\sin x\gt 0[/tex] и [tex]\sin 2x\gt 0[/tex] дават [tex]x\in\left(2k\pi; \frac{\pi}{2}+2k\pi\right)[/tex]; тогава [tex]\sin 3x\gt 0[/tex] дава [tex]x\in\left(2k\pi; \frac{\pi}{3}+2k\pi\right)[/tex]. Нека [tex]0\lt x\lt\frac{\pi}{3}[/tex] (добавянето на [tex]2k\pi[/tex] не променя нищо) и проверим неравенствата на триъгълника:
[tex]\sin x+\sin 2x-\sin 3x=2\sin x(\cos x-\cos 2x)\gt 0[/tex]
[tex]\sin x+\sin 3x-\sin 2x=\sin 2x(2\cos x-1)\gt 0[/tex]
[tex]\sin 2x+\sin 3x-\sin x=4\sin x\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}\gt 0[/tex]
Първото е вярно, защото [tex]0\lt x\lt 2x\lt\pi[/tex], второто – защото [tex]\cos x\gt\frac{1}{2}[/tex], третото – защото [tex]\frac{3x}{2}\lt\frac{\pi}{2}[/tex]. Следователно [tex]x\in\left(2k\pi; \frac{\pi}{3}+2k\pi\right),\ k\in\mathbb{Z}[/tex].

Решение:
Нека [tex]t=\left|\cos x\right|[/tex], т.е. [tex]0\le t\le 1[/tex] и [tex]\cos 2x=2t^2-1[/tex]. Ако [tex]t\ge\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], лявата страна е поне [tex]t\ge\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Ако [tex]0\le t\lt\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], то [tex]2t^2-1\lt 0[/tex] и лявата страна е равна на
[tex]f(t)=t+1-2t^2[/tex]
Графиката на [tex]f[/tex] е парабола с клони надолу, затова в [tex]\left[0; \frac{\sqrt{2}}{2}\right][/tex] минимумът се достига в един от краищата: [tex]f(0)=1[/tex] и [tex]f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Следователно лявата страна винаги е поне [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Равенство има при [tex]x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/tex].

Решение:
Коренът изисква [tex]\pi^2-4x^2\ge 0[/tex], т.е. [tex]-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}[/tex]. Освен това [tex]\tg x[/tex] и [tex]\cotg x[/tex] трябва да съществуват, затова [tex]x\in\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)\cup\left(0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex]. За [tex]x\in\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)[/tex] лявата страна е отрицателна, а дясната – положителна, затова там няма решения. За [tex]x\in\left(0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] от неравенството между средно аритметично и средно геометрично
[tex]\tg x+2\cotg x\ge 2\sqrt{2\tg x\cotg x}=2\sqrt{2}\gt 2[/tex]
Дясната страна е най-много [tex]\sqrt[6]{\pi^2}=\sqrt[3]{\pi}\lt\sqrt[3]{8}=2[/tex]. Следователно всяко [tex]x\in\left(0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] е решение.

Решение:
Нека [tex]t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)[/tex], т.е. [tex]-\sqrt{2}\le t\le\sqrt{2}[/tex]. Тъй като [tex]t^2=1-\sin 2x[/tex], имаме [tex]\sin 2x=1-t^2[/tex]. Неравенството става
[tex]t-t^3\ge\sqrt{2}\iff t^3-t+\sqrt{2}\le 0\iff\left(t+\sqrt{2}\right)\left(t^2-\sqrt{2}t+1\right)\le 0[/tex]
Вторият множител е положителен за всяко [tex]t[/tex] (отрицателна дискриминанта), затова [tex]t\le-\sqrt{2}[/tex]; заедно с [tex]t\ge-\sqrt{2}[/tex] получаваме [tex]t=-\sqrt{2}[/tex]. Тогава [tex]\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1[/tex], откъдето [tex]x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex], т.е. [tex]x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]x-\frac{\pi}{3}=\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{2}[/tex], имаме [tex]\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)[/tex]. При [tex]t=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)[/tex]:
[tex]2t^2-3t+1\ge 0\iff(2t-1)(t-1)\ge 0[/tex]
т.е. [tex]t\le\frac{1}{2}[/tex] или [tex]t\ge 1[/tex]. Случаят [tex]t\ge 1[/tex] означава [tex]t=1[/tex]: [tex]x+\frac{\pi}{6}=2k\pi[/tex], [tex]x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex]. Случаят [tex]t\le\frac{1}{2}[/tex]:
[tex]\frac{\pi}{3}+2k\pi\le x+\frac{\pi}{6}\le\frac{5\pi}{3}+2k\pi\iff\frac{\pi}{6}+2k\pi\le x\le\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/tex]
Не забравяйте изолираните точки [tex]x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex].