Тригонометрични изрази и тъждества - задачи с решения

Решение:
Тъй като [tex]\sin ^2 2\alpha=4\sin ^2\alpha\cos^2\alpha[/tex], изразът е равен на
[tex]2\sin ^4\alpha+4\sin ^2\alpha\cos^2\alpha+2\cos^4\alpha=2\left(\sin ^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2=2[/tex]
Следователно стойността е [tex]2[/tex] за всяко [tex]\alpha[/tex].

Решение:
Разкриваме скобите:
[tex](\sin \alpha\sin \beta+\cos\alpha\cos\beta)-(\sin \alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin \beta)=\cos(\alpha-\beta)-\sin (\alpha+\beta)[/tex]
Следователно стойността е [tex]0{,} 3-0{,} 8=-0{,} 5=-\frac{1}{2}[/tex].

Решение:
Разкриваме двете страни:
[tex]\cos A\cos B+\sin A\sin B=3\cos A\cos B-3\sin A\sin B\iff 4\sin A\sin B=2\cos A\cos B[/tex]
Делим на [tex]2\sin A\sin B\ne 0[/tex]: [tex]\cotg A\cdot \cotg B=2[/tex].

Решение:
[tex]\frac{\cos 2\alpha}{1-\sin 2\alpha}=\frac{(\cos\alpha-\sin \alpha)(\cos\alpha+\sin \alpha)}{(\cos\alpha-\sin \alpha)^2}=\frac{\cos\alpha+\sin \alpha}{\cos\alpha-\sin \alpha}=\frac{1+\tg \alpha}{1-\tg \alpha}[/tex]
Заместваме [tex]\tg \alpha=\frac{3}{4}[/tex]:
[tex]\frac{1+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}=\frac{\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}}=7[/tex]

Решение:
[tex]\tg x+\cotg x=\frac{\sin ^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}[/tex]
При [tex]x=15^{\circ}[/tex]: [tex]\tg 15^{\circ}+\cotg 15^{\circ}=\frac{2}{\sin 30^{\circ}}=4[/tex]. Тъй като [tex]\tg x\cdot \cotg x=1[/tex]:
[tex]\tg ^2 15^{\circ}+\cotg ^2 15^{\circ}=\left(\tg 15^{\circ}+\cotg 15^{\circ}\right)^2-2=16-2=14[/tex]

Решение:
От [tex]2\sin x\cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)[/tex] при [tex]x+y=\alpha[/tex] и [tex]x-y=-30^{\circ}[/tex]:
[tex]2\sin \left(\frac{\alpha}{2}-15^{\circ}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}+15^{\circ}\right)=\sin \alpha-\sin 30^{\circ}=\sin \alpha-\frac{1}{2}[/tex]
Следователно изразът е равен на [tex]\sin \alpha-\sin \alpha+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos\alpha[/tex]:
[tex]\frac{2\sin \alpha(1-\cos\alpha)}{2\sin \alpha(1+\cos\alpha)}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{2\sin ^2\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}=\tg ^2\frac{\alpha}{2}[/tex]

Решение:
Нека [tex]\cos\alpha=\frac{3}{5}[/tex] и [tex]\cos\beta=\frac{5}{13}[/tex]. Двата ъгъла са остри, затова [tex]\sin \alpha=\frac{4}{5}[/tex] и [tex]\sin \beta=\frac{12}{13}[/tex]. Третият ъгъл е [tex]\gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)[/tex], затова
[tex]\sin \gamma=\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin \beta=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}=\frac{56}{65}[/tex]

Решение:
От [tex]\cos u\cos v=\frac{1}{2}\left[\cos(u+v)+\cos(u-v)\right][/tex] при [tex]u+v=2x[/tex] и [tex]u-v=60^{\circ}[/tex]:
[tex]\cos(x+30^{\circ})\cos(x-30^{\circ})=\frac{1}{2}\left(\cos 2x+\cos 60^{\circ}\right)=\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{5}+\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{20}[/tex]

Решение:
Тъй като [tex]\tg 77^{\circ}=\cotg 13^{\circ}[/tex] и [tex]\tg 58^{\circ}=\cotg 32^{\circ}[/tex], изразът е
[tex]\frac{\cotg 32^{\circ}\cotg 13^{\circ}-1}{\cotg 32^{\circ}+\cotg 13^{\circ}}=\cotg \left(32^{\circ}+13^{\circ}\right)=\cotg 45^{\circ}=1[/tex]
(използвахме формулата [tex]\cotg (x+y)=\frac{\cotg x\cotg y-1}{\cotg x+\cotg y}[/tex]).

Решение:
Повдигаме условието на квадрат: [tex]1-2\sin \alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}[/tex], откъдето [tex]\sin \alpha\cos\alpha=\frac{3}{8}[/tex]. Тогава
[tex]\sin ^4\alpha+\cos^4\alpha=\left(\sin ^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2-2\sin ^2\alpha\cos^2\alpha=1-2\cdot \frac{9}{64}=\frac{23}{32}[/tex]

Решение:
В четвърти квадрант [tex]\cos\alpha\gt 0[/tex], затова [tex]\cos\alpha=\sqrt{1-0{,} 64}=0{,} 6[/tex] и [tex]\tg \alpha=-\frac{4}{3}[/tex]. Тъй като [tex]\frac{\alpha}{2}\in\left(135^{\circ}; 180^{\circ}\right)[/tex], имаме [tex]\sin \frac{\alpha}{2}\gt 0[/tex] и
[tex]\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{0{,} 2}=\frac{1}{\sqrt{5}}[/tex]
Стойността е
[tex]\sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}+3\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)=1-4=-3[/tex]

Решение:
[tex]\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}=\frac{2}{1-\sin ^2 x}=\frac{2}{\cos^2 x}=6[/tex]
Следователно [tex]\cos^2 x=\frac{1}{3}[/tex], [tex]\sin ^2 x=\frac{2}{3}[/tex], [tex]\tg ^2 x=2[/tex] и [tex]\tg x=\pm\sqrt{2}[/tex]. И двата знака са възможни, защото условието не определя квадранта.