Тригонометрични изрази и тъждества - много трудни задачи с решения

Решение:
[tex]\sin x\sin (60^{\circ}-x)\sin (60^{\circ}+x)=\sin x\left(\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}\sin 3x[/tex]
Аналогично
[tex]\cos x\cos(60^{\circ}-x)\cos(60^{\circ}+x)=\frac{1}{4}\cos 3x[/tex]
Следователно [tex]\tg x\tg (60^{\circ}-x)\tg (60^{\circ}+x)=\tg 3x[/tex]. При [tex]x=20^{\circ}[/tex]: [tex]\tg 20^{\circ}\tg 40^{\circ}\tg 80^{\circ}=\tg 60^{\circ}=\sqrt{3}[/tex]. Търсеното произведение е [tex]\sqrt{3}\cdot \tg 60^{\circ}=3[/tex].

Решение:
[tex]\tg x+\tg (90^{\circ}-x)=\tg x+\cotg x=\frac{2}{\sin 2x}[/tex]
Следователно [tex]\tg 9^{\circ}+\tg 81^{\circ}=\frac{2}{\sin 18^{\circ}}[/tex] и [tex]\tg 27^{\circ}+\tg 63^{\circ}=\frac{2}{\sin 54^{\circ}}[/tex]. Тъй като [tex]\sin 54^{\circ}-\sin 18^{\circ}=2\cos 36^{\circ}\sin 18^{\circ}[/tex] и [tex]\sin 54^{\circ}=\cos 36^{\circ}[/tex], изразът е равен на
[tex]\frac{2}{\sin 18^{\circ}}-\frac{2}{\sin 54^{\circ}}=\frac{2(\sin 54^{\circ}-\sin 18^{\circ})}{\sin 18^{\circ}\sin 54^{\circ}}=\frac{4\cos 36^{\circ}\sin 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ}\cos 36^{\circ}}=4[/tex]

Решение:
Тъй като [tex]-\cos\frac{2\pi}{7}=\cos\frac{5\pi}{7}[/tex], сборът е [tex]S=\cos\frac{\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7}[/tex]. Умножаваме по [tex]2\sin \frac{\pi}{7}[/tex] и използваме [tex]2\sin x\cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)[/tex]:
[tex]2\sin \frac{\pi}{7}\cdot S=\sin \frac{2\pi}{7}+\left(\sin \frac{4\pi}{7}-\sin \frac{2\pi}{7}\right)+\left(\sin \frac{6\pi}{7}-\sin \frac{4\pi}{7}\right)=\sin \frac{6\pi}{7}[/tex]
Тъй като [tex]\sin \frac{6\pi}{7}=\sin \frac{\pi}{7}\ne 0[/tex], получаваме [tex]S=\frac{1}{2}[/tex].

Решение:
От формулите за тройния ъгъл:
[tex]\cos^3\alpha=\frac{\cos 3\alpha+3\cos\alpha}{4}; \quad\sin ^3\alpha=\frac{3\sin \alpha-\sin 3\alpha}{4}[/tex]
Лявата страна става
[tex]\frac{1}{4}\left(\cos^2 3\alpha-\sin ^2 3\alpha+3(\cos 3\alpha\cos\alpha+\sin 3\alpha\sin \alpha)\right)=\frac{1}{4}(\cos 6\alpha+3\cos 2\alpha)[/tex]
От [tex]\cos 6\alpha=4\cos^3 2\alpha-3\cos 2\alpha[/tex] това е равно на [tex]\cos^3 2\alpha[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]\cos 84^{\circ}=-\cos 96^{\circ}[/tex], умножаваме [tex]\cos 12^{\circ}\cos 24^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 96^{\circ}[/tex] по [tex]16\sin 12^{\circ}[/tex] и четири пъти използваме [tex]2\sin x\cos x=\sin 2x[/tex]:
[tex]16\sin 12^{\circ}\cos 12^{\circ}\cos 24^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 96^{\circ}=\sin 192^{\circ}=-\sin 12^{\circ}[/tex]
Следователно [tex]\cos 12^{\circ}\cos 24^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 84^{\circ}=\frac{1}{16}[/tex]. Аналогично [tex]4\sin 36^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}=\sin 144^{\circ}=\sin 36^{\circ}[/tex], т.е. [tex]\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}=\frac{1}{4}[/tex]. Като вземем предвид [tex]\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}[/tex], произведението е
[tex]\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{128}[/tex]

Решение:
Използваме [tex]\tg \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}[/tex] при [tex]x=15^{\circ}[/tex], където [tex]\cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex] и [tex]\sin 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex]:
[tex]\tg 7^{\circ}30'=\frac{4-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{\left(4-\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{4}=\frac{4\sqrt{6}+4\sqrt{2}-8-4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-2[/tex]
Следователно числото е равно на [tex]-2[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]\tg (x+120^{\circ})=\tg (x-60^{\circ})[/tex]:
[tex]\tg (x+60^{\circ})+\tg (x-60^{\circ})=\frac{\sin 2x}{\cos(x+60^{\circ})\cos(x-60^{\circ})}=\frac{\sin 2x}{\cos^2 x-\frac{3}{4}}=\frac{8\sin x\cos x}{4\cos^2 x-3}[/tex]
Добавяме [tex]\tg x[/tex]:
[tex]\frac{\sin x\left(4\cos^2 x-3\right)+8\sin x\cos^2 x}{\cos x\left(4\cos^2 x-3\right)}=\frac{3\sin x\left(4\cos^2 x-1\right)}{\cos 3x}=\frac{3\sin 3x}{\cos 3x}=3\tg 3x[/tex]
защото [tex]\cos 3x=\cos x\left(4\cos^2 x-3\right)[/tex] и [tex]\sin 3x=\sin x\left(3-4\sin ^2 x\right)=\sin x\left(4\cos^2 x-1\right)[/tex].

Решение:
При [tex]t=\tg x[/tex] имаме [tex]\tg 3x=\frac{3t-t^3}{1-3t^2}[/tex]. За [tex]x=10^{\circ}[/tex], [tex]x=-50^{\circ}[/tex] и [tex]x=70^{\circ}[/tex] получаваме [tex]\tg 3x=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex], затова [tex]\tg 10^{\circ}[/tex], [tex]-\tg 50^{\circ}[/tex] и [tex]\tg 70^{\circ}[/tex] са трите различни корена на
[tex]\sqrt{3}\left(3t-t^3\right)=1-3t^2\iff t^3-\sqrt{3}t^2-3t+\frac{1}{\sqrt{3}}=0[/tex]
От формулите на Виет [tex]t_1+t_2+t_3=\sqrt{3}[/tex] и [tex]t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1=-3[/tex], затова
[tex]t_1^2+t_2^2+t_3^2=\left(\sqrt{3}\right)^2-2\cdot (-3)=9[/tex]

Решение:
Нека [tex]u=\cos(x+y)[/tex] и [tex]v=\cos(x-y)[/tex]. Тогава
[tex]\sin ^2 x+\sin ^2 y=1-\frac{\cos 2x+\cos 2y}{2}=1-uv=\frac{3}{2}[/tex]
т.е. [tex]uv=-\frac{1}{2}[/tex]. Изразът е равен на
[tex]\left(1-u^2\right)v+\left(1-v^2\right)u=(u+v)(1-uv)=\frac{3}{2}(u+v)[/tex]
От [tex]uv=-\frac{1}{2}[/tex], [tex]|u|\le 1[/tex] и [tex]|v|\le 1[/tex] следва [tex]\frac{1}{2}\le|u|\le 1[/tex] и [tex]u+v=u-\frac{1}{2u}[/tex]. Тази функция расте в [tex]\left[-1; -\frac{1}{2}\right][/tex] и в [tex]\left[\frac{1}{2}; 1\right][/tex], затова [tex]u+v\le\frac{1}{2}[/tex]. Максимумът [tex]\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}[/tex] се достига например при [tex]x=60^{\circ}[/tex], [tex]y=-60^{\circ}[/tex].

Решение:
[tex]\frac{\sin 1^{\circ}}{\sin k^{\circ}\sin (k+1)^{\circ}}=\frac{\sin \left((k+1)^{\circ}-k^{\circ}\right)}{\sin k^{\circ}\sin (k+1)^{\circ}}=\cotg k^{\circ}-\cotg (k+1)^{\circ}[/tex]
За [tex]k=91; 93; \dots; 133[/tex] използваме [tex]\sin x=\sin (180^{\circ}-x)[/tex]: събираемото е равно на [tex]\frac{1}{\sin (179-k)^{\circ}\sin (180-k)^{\circ}}[/tex], т.е. това са събираемите с [tex]m=46; 48; \dots; 88[/tex]. Следователно сумата съдържа [tex]\frac{1}{\sin m^{\circ}\sin (m+1)^{\circ}}[/tex] за всяко [tex]m[/tex] от [tex]45[/tex] до [tex]89[/tex] и се „телескопира“:
[tex]\frac{1}{\sin 1^{\circ}}\left(\cotg 45^{\circ}-\cotg 90^{\circ}\right)=\frac{1}{\sin 1^{\circ}}[/tex]
Следователно [tex]\sin n^{\circ}=\sin 1^{\circ}[/tex] и най-малкото такова [tex]n[/tex] е [tex]1[/tex].

Решение:
Всички тангенси съществуват, затова няма прав ъгъл, а при [tex]\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}[/tex] е изпълнено
[tex]\tg \alpha+\tg \beta+\tg \gamma=\tg \alpha\tg \beta\tg \gamma[/tex]
Нека тангенсите са ненулевите цели числа [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex]. Най-много един ъгъл е тъп. Ако [tex]c\lt 0[/tex], то [tex]\alpha+\beta\lt 90^{\circ}[/tex] и [tex]\tg (\alpha+\beta)=\frac{a+b}{1-ab}\gt 0[/tex] дава [tex]ab\lt 1[/tex], което е невъзможно за положителни цели числа. Следователно [tex]1\le a\le b\le c[/tex] и [tex]abc=a+b+c\le 3c[/tex], откъдето [tex]ab\le 3[/tex]. Случаят [tex]a=b=1[/tex] дава [tex]c+2=c[/tex] (невъзможно); [tex]a=1[/tex], [tex]b=2[/tex] дава [tex]c=3[/tex]; [tex]a=1[/tex], [tex]b=3[/tex] дава [tex]c=2\lt b[/tex]. И така, тангенсите са [tex]1; 2; 3[/tex] и сборът им е [tex]6[/tex].

Решение:
Полагаме [tex]a=\tg \alpha[/tex], [tex]b=\tg \beta[/tex], [tex]c=\tg \gamma[/tex], където [tex]\alpha; \beta; \gamma\in\left(0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex]. Тогава
[tex]\tg (\alpha+\beta+\gamma)=\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca}=0[/tex]
(знаменателят не е [tex]0[/tex], защото [tex]ab+bc+ca\ge\frac{9abc}{a+b+c}=9[/tex]), следователно [tex]\alpha+\beta+\gamma=\pi[/tex]. Освен това [tex]\frac{1}{1+a^2}=\cos^2\alpha[/tex], а коренът в последното събираемо е [tex]\frac{1}{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}[/tex]. Изразът е [tex]\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma[/tex]. Сега
[tex]\cos^2\alpha+\cos^2\beta=1+\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=1-\cos\gamma\cos(\alpha-\beta)[/tex]
[tex]\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=\cos\gamma\left(-\cos(\alpha+\beta)+2\cos\alpha\cos\beta\right)=\cos\gamma\cos(\alpha-\beta)[/tex]
Следователно изразът е равен на [tex]1[/tex].