Задачи за съвместна работа - трудни задачи с решения

Решение:
Нека са работили заедно [tex]x[/tex] дни:
[tex]x\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{12}\right)+\dfrac{3}{8}=1 \Rightarrow \dfrac{5x}{24}=\dfrac{5}{8} \Rightarrow x=3[/tex]
[tex]3+3=6[/tex]

Решение:
Всеки поотделно би работил [tex]10[/tex] часа, т.е. изпълнява [tex]\frac{1}{10}[/tex] от поръчката за час. Новите производителности са [tex]\frac{1}{10}[/tex] и [tex]1{,}4\cdot \frac{1}{10}=\frac{7}{50}[/tex]:
[tex]\dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{50}=\dfrac{12}{50}=\dfrac{6}{25}[/tex]
[tex]\frac{25}{6}=4\frac{1}{6}[/tex] ч = [tex]4[/tex] ч [tex]10[/tex] мин

Решение:
Нека е работил [tex]t[/tex] часа с нормалната скорост ([tex]\frac{1}{8}[/tex] от нормата за час) и [tex]t[/tex] часа с двойна скорост:
[tex]\dfrac{t}{8}+\dfrac{2t}{8}=1 \Rightarrow t=\dfrac{8}{3}=2\dfrac{2}{3}[/tex]
Работил е [tex]2t=5\frac{1}{3}[/tex] ч = [tex]5[/tex] ч [tex]20[/tex] мин, така че е излязъл [tex]2[/tex] ч [tex]40[/tex] мин по-рано.

Решение:
Работата е [tex]6\text{ . }45=270[/tex] човекочаса. Ако е отнела [tex]T[/tex] часа:
[tex]6T+3\cdot \dfrac{T}{2}=270 \Rightarrow 7{,}5T=270 \Rightarrow T=36[/tex]

Решение:
Работата е [tex]30\text{ . }10=300[/tex] човекодни. За първите [tex]3[/tex] дни са свършени [tex]90[/tex] и остават [tex]210[/tex]. Останалите [tex]25[/tex] работници вършат по [tex]1{,}4[/tex] единици на ден, т.е. общо [tex]35[/tex]:
[tex]210:35=6; 3+6=9[/tex]
Работата е завършена на [tex]9[/tex]-ия ден, с един ден по-рано от срока.

Решение:
Том боядисва [tex]\frac{0{,}75}{2}=\frac{3}{8}[/tex] от оградата за час, а Хъкълбери — [tex]\frac{0{,}6}{2}=\frac{3}{10}[/tex]. Самостоятелните [tex]10\%[/tex] на Том са отнели:
[tex]0{,}1:\dfrac{3}{8}=\dfrac{4}{15}[/tex]
т.е. [tex]16[/tex] мин. Заедно боядисват [tex]\frac{3}{8}+\frac{3}{10}=\frac{27}{40}[/tex] за час, така че останалите [tex]90\%[/tex] отнемат [tex]0{,}9:\frac{27}{40}=\frac{4}{3}[/tex] ч = [tex]1[/tex] ч [tex]20[/tex] мин. Общо: [tex]1[/tex] ч [tex]36[/tex] мин.

Решение:
Нека тръбите пълнят [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] от басейна за час. Събираме трите условия:
[tex]2(a+b+c)=\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{35}=\dfrac{7+5+4}{140}=\dfrac{16}{140}[/tex]
[tex]a+b+c=\dfrac{8}{140}=\dfrac{2}{35}[/tex]
[tex]\frac{35}{2}=17\frac{1}{2}[/tex] ч = [tex]17[/tex] ч [tex]30[/tex] мин

Решение:
Нека след [tex]6{:}00[/tex] ч са минали [tex]t[/tex] часа. Неизораните части са [tex]1-\frac{t}{8}[/tex] и [tex]1-\frac{t-1}{10}[/tex]:
[tex]\dfrac{11-t}{10}=2\cdot \dfrac{8-t}{8} \Rightarrow 4(11-t)=10(8-t) \Rightarrow 6t=36 \Rightarrow t=6[/tex]
В [tex]12{:}00[/tex] ч неизораните части са [tex]\frac{1}{4}[/tex] и [tex]\frac{1}{2}[/tex].

Решение:
Нека ровът е [tex]V[/tex] кубични метра. [tex]3[/tex] ч [tex]20[/tex] мин [tex]=\frac{10}{3}[/tex] ч, така че за час багерите изкопават [tex]\frac{V}{2}[/tex] и [tex]V:\frac{10}{3}=\frac{3V}{10}[/tex]:
[tex]\dfrac{V}{2}-\dfrac{3V}{10}=24 \Rightarrow \dfrac{V}{5}=24 \Rightarrow V=120[/tex]

Решение:
Нека първата тръба е била отворена [tex]t[/tex] часа; втората е била отворена [tex]t-1[/tex] часа:
[tex]\dfrac{t}{9}-\dfrac{t-1}{15}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow 10t-6(t-1)=45 \Rightarrow 4t=39 \Rightarrow t=9\dfrac{3}{4}[/tex]
Първата тръба е била отворена [tex]9[/tex] ч [tex]45[/tex] мин (а втората — [tex]8[/tex] ч [tex]45[/tex] мин).

Решение:
За [tex]2[/tex] часа заедно набират [tex]\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/tex] от текста, така че за [tex]10[/tex] часа първата е набрала [tex]\frac{2}{3}[/tex]; сама тя би се справила за [tex]10:\frac{2}{3}=15[/tex] ч. Втората набира за час:
[tex]\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{5-2}{30}=\dfrac{1}{10}[/tex]
Първата: [tex]15[/tex] ч; втората: [tex]10[/tex] ч.

Решение:
Нека работниците са [tex]x[/tex], а дните — [tex]y[/tex]. Работата е [tex]xy[/tex] човекодни:
[tex]xy=(x+3)(y-2)=(x+12)(y-5)[/tex]
[tex]3y-2x-6=0; 12y-5x-60=0[/tex]
[tex]4(2x+6)=5x+60 \Rightarrow x=12; y=10[/tex]
Проверка: [tex]12\text{ . }10=15\text{ . }8=24\text{ . }5=120[/tex]

Решение:
Нека крановете пълнят басейна сами за [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] часа:
[tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{12}; \dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}=25 \Rightarrow a+b=50[/tex]
[tex]\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{1}{12} \Rightarrow ab=600[/tex]
Значи [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са корените на [tex]z^2-50z+600=0[/tex], т.е. [tex]20[/tex] и [tex]30[/tex] часа.

Решение:
Нека на първата бригада са нужни [tex]x[/tex] дни, а на втората — [tex]x+3[/tex]. Първата е работила [tex]10[/tex] дни, а втората — [tex]6[/tex]:
[tex]\dfrac{10}{x}+\dfrac{6}{x+3}=1 \Rightarrow x^2-13x-30=0 \Rightarrow (x-15)(x+2)=0 \Rightarrow x=15[/tex]
Проверка: [tex]\dfrac{10}{15}+\dfrac{6}{18}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1[/tex]

Решение:
[tex]3[/tex] ч [tex]44[/tex] мин [tex]=3\frac{44}{60}=\frac{56}{15}[/tex] ч. Нека времената са [tex]x[/tex] и [tex]x+1[/tex] часа:
[tex]\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{15}{56} \Rightarrow 15x^2-97x-56=0 \Rightarrow (x-7)(15x+8)=0 \Rightarrow x=7[/tex]
Проверка: [tex]\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{15}{56}[/tex]