Задачи за смеси и сплави - много трудни задачи с решения

Решение:
Нека са смесени [tex]x[/tex] литра [tex]40\%[/tex] и [tex]y[/tex] литра [tex]60\%[/tex] разтвор:
[tex]0{,}4x+0{,}6y=0{,}2(x+y+5) \Rightarrow x+2y=5[/tex]
[tex]0{,}4x+0{,}6y+0{,}8\cdot 5=0{,}7(x+y+5) \Rightarrow 3x+y=5[/tex]
[tex]x=1; y=2[/tex]

Решение:
Нека в първата смес има [tex]x[/tex] кг от рудата с [tex]50\%[/tex] и [tex]y[/tex] кг от рудата с [tex]60\%[/tex]: [tex]0{,}5x+0{,}6y=2800[/tex]. Втората смес също тежи [tex]x+y[/tex] и съдържа [tex]2800+500-600=2700[/tex] кг желязо:
[tex]0{,}54(x+y)=2700 \Rightarrow x+y=5000[/tex]
[tex]0{,}5x+0{,}6(5000-x)=2800 \Rightarrow 0{,}1x=200 \Rightarrow x=2000; y=3000[/tex]

Решение:
Във втория съд се доливат [tex]5[/tex] литра от [tex]4\%[/tex] разтвор. Оцетната киселина в него става [tex]0{,}08\cdot 15+0{,}04\cdot 5=1{,}4[/tex] литра в [tex]20[/tex] литра, т.е. [tex]7\%[/tex].
В първия съд са останали [tex]5[/tex] литра [tex]4\%[/tex] разтвор и в него се доливат [tex]15[/tex] литра [tex]7\%[/tex] разтвор: [tex]0{,}04\cdot 5+0{,}07\cdot 15=1{,}25[/tex] литра в [tex]20[/tex] литра, т.е. [tex]6{,}25\%[/tex]. Във втория съд остава [tex]7\%[/tex] разтвор.

Решение:
Във вода цинкът губи [tex]\frac{5}{36}[/tex] от теглото си, а оловото — [tex]\frac{2}{23}[/tex]; сплавта губи [tex]292-261=31[/tex] г. Ако цинкът е [tex]z[/tex] г, а оловото — [tex]l[/tex] г:
[tex]z+l=292; \dfrac{5z}{36}+\dfrac{2l}{23}=31[/tex]
[tex]115z+72l=25\,668; 72z+72l=21\,024[/tex]
[tex]43z=4644 \Rightarrow z=108; l=184[/tex]
Проверка: [tex]\dfrac{5\text{ . }108}{36}+\dfrac{2\text{ . }184}{23}=15+16=31[/tex]

Решение:
Нека всеки път се отливат [tex]x[/tex] литра. След първото отливане във варела има [tex]27-x[/tex] литра спирт, т.е. частта [tex]\frac{27-x}{27}[/tex] от течността. При второто отливане от спирта отново остава същата част:
[tex]27\left(\dfrac{27-x}{27}\right)^2=12 \Rightarrow (27-x)^2=324 \Rightarrow 27-x=18 \Rightarrow x=9[/tex]
Проверка: [tex]27-9=18; 18\cdot \dfrac{18}{27}=12[/tex]

Решение:
Нека разтворът тежи [tex]m[/tex] г:
[tex]\dfrac{40}{m}-\dfrac{40}{m+200}=\dfrac{1}{10}[/tex]
[tex]400(m+200)-400m=m(m+200) \Rightarrow m^2+200m-80\,000=0[/tex]
[tex](m-200)(m+400)=0 \Rightarrow m=200[/tex]
Вода: [tex]200-40=160[/tex] г; концентрация: [tex]\frac{40}{200}=20\%[/tex] (след доливането [tex]\frac{40}{400}=10\%[/tex]).

Решение:
Нека във всяко шише в началото има [tex]V[/tex] разтвор с концентрации [tex]c_1[/tex], [tex]c_2[/tex], [tex]c_3[/tex]. Първите две шишета получават по [tex]\frac{V}{2}[/tex] от третото и стават по [tex]\frac{3V}{2}[/tex]:
[tex]\dfrac{c_1+\frac{c_3}{2}}{\frac{3}{2}}=0{,}8c_1 \Rightarrow c_3=0{,}4c_1[/tex]
[tex]\dfrac{c_2+\frac{c_3}{2}}{\frac{3}{2}}=1{,}1c_2 \Rightarrow c_3=1{,}3c_2[/tex]
[tex]0{,}4c_1=1{,}3c_2 \Rightarrow c_1:c_2=13:4[/tex]

Решение:
Нека концентрациите (в %) са [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex]:
[tex]3a+2b+c=90; b+c+d=72; a+c=20[/tex]
Като извадим от първото уравнение утроеното трето: [tex]2b-2c=30[/tex], т.е. [tex]b-c=15[/tex]. Тогава:
[tex]2b+d=(b+c+d)+(b-c)=72+15=87 \Rightarrow \dfrac{2b+d}{3}=29[/tex]
Четирите концентрации поотделно не могат да се намерят, но търсената смес е [tex]29\%[/tex].