Задачи от степенуване - много трудни задачи с решения

Решение:
[tex]5^{2n+3}=5^3\text{ . }(5^2)^n=125\text{ . }25^n[/tex]
[tex]5\text{ . }25^{n+1}=5\text{ . }25\text{ . }25^n=125\text{ . }25^n[/tex]
[tex]3^{n+3}\text{ . }2^n=27\text{ . }3^n\text{ . }2^n=27\text{ . }6^n[/tex]
[tex]B=125\text{ . }25^n+27\text{ . }6^n-125\text{ . }25^n-27\text{ . }6^n=0[/tex]

Решение:
[tex]5^{n+1}+3\text{ . }5^n=5^n(5+3)=8\text{ . }5^n[/tex]
[tex](5^2)^{n+1}-3^2\text{ . }(5^2)^n=25^n(25-9)=16\text{ . }25^n=16\text{ . }5^{2n}[/tex]
[tex]A=\frac{8^4\text{ . }5^{4n}}{16^2\text{ . }5^{4n}}=\frac{2^{12}}{2^8}=2^4=16[/tex]

Решение:
Записваме всяко [tex]6[/tex] като [tex]5+1[/tex]:
[tex]\frac{6}{5^k}=\frac{5+1}{5^k}=\frac{1}{5^{k-1}}+\frac{1}{5^k}[/tex]
[tex]\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}\right)-\left(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}\right)+\left(\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}\right)-\ldots+\left(\frac{1}{5^{99}}+\frac{1}{5^{100}}\right)-\frac{1}{5^{100}}[/tex]
Всички събираеми без първото се унищожават по двойки:
[tex]=\frac{1}{5}[/tex]

Решение:
[tex]A=2^{2013}(2^2-2-1)=2^{2013}[/tex]
Забелязваме, че [tex]2013=3\text{ . }671[/tex] и [tex]1342=2\text{ . }671[/tex]:
[tex]A=(2^3)^{671}=8^{671}[/tex], [tex]B=(3^2)^{671}=9^{671}[/tex]
[tex]8^{671}\lt 9^{671} \Rightarrow A\lt B[/tex]