Задачи със страни и ъгли на триъгълинк - много трудни задачи с решения

Решение:
Нека [tex]CA=CB[/tex] и ъгълът срещу основата е [tex]\gamma[/tex]; ъглите при основата са [tex]90^\circ-\frac{\gamma}{2}[/tex]. Нека [tex]AH[/tex] е височината към правата [tex]BC[/tex]. В правоъгълния [tex]\triangle ABH[/tex] ъгълът с основата е [tex]\angle BAH=90^\circ-\angle B=\frac{\gamma}{2}[/tex].
Ако [tex]\gamma\lt 90^\circ[/tex], [tex]H[/tex] лежи на страната [tex]BC[/tex] и [tex]\angle CAH=90^\circ-\gamma[/tex]:
[tex]90^\circ-\gamma=\dfrac{\gamma}{2}-12^\circ \Rightarrow \gamma=68^\circ[/tex]
Ако [tex]\gamma\gt 90^\circ[/tex], [tex]H[/tex] лежи на продължението на [tex]BC[/tex] след [tex]C[/tex] и [tex]\angle CAH=\gamma-90^\circ[/tex]:
[tex]\gamma-90^\circ=\dfrac{\gamma}{2}-12^\circ \Rightarrow \gamma=156^\circ[/tex]
(При [tex]\gamma=90^\circ[/tex] височината съвпада с бедрото.) Следователно ъгълът срещу основата е [tex]68^\circ[/tex] или [tex]156^\circ[/tex].

Решение:
Нека [tex]\angle A=\alpha[/tex], [tex]\angle B=\beta[/tex], [tex]\angle C=\gamma[/tex]. От теоремата за външния ъгъл:
[tex]\angle AMC=\beta+\dfrac{\alpha}{2}; \angle BPC=\alpha+\dfrac{\beta}{2}[/tex]
Една права сключва със страна ъгли [tex]75^\circ[/tex] и [tex]105^\circ[/tex], така че всеки от тези ъгли е [tex]75^\circ[/tex] или [tex]105^\circ[/tex]. И двата по [tex]75^\circ[/tex]: като извадим, получаваме [tex]\alpha=\beta[/tex], откъдето [tex]\alpha=\beta=50^\circ[/tex], [tex]\gamma=80^\circ[/tex]. И двата по [tex]105^\circ[/tex]: [tex]\alpha=\beta=70^\circ[/tex], [tex]\gamma=40^\circ[/tex].
Ако [tex]\beta+\frac{\alpha}{2}=75^\circ[/tex] и [tex]\alpha+\frac{\beta}{2}=105^\circ[/tex], като съберем, получаваме [tex]\alpha+\beta=120^\circ[/tex], а като извадим — [tex]\alpha-\beta=60^\circ[/tex], т.е. [tex]\alpha=90^\circ[/tex], [tex]\beta=30^\circ[/tex], [tex]\gamma=60^\circ[/tex]. Обратният случай дава [tex]\alpha=30^\circ[/tex], [tex]\beta=90^\circ[/tex], [tex]\gamma=60^\circ[/tex].

Решение:
Нека [tex]\angle CBD=x[/tex] и [tex]\angle BAC=2x[/tex]. Тогава:
[tex]\angle ADB=140^\circ-2x; \angle C=140^\circ-3x[/tex]
В [tex]\triangle ABD[/tex] страната [tex]BD[/tex] лежи срещу ъгъл [tex]2x[/tex], а [tex]AB[/tex] — срещу [tex]140^\circ-2x[/tex]. В [tex]\triangle BDC[/tex] страната [tex]BD[/tex] лежи срещу [tex]140^\circ-3x[/tex], а [tex]DC[/tex] — срещу [tex]x[/tex]. Ако [tex]x\gt 35^\circ[/tex], то [tex]2x\gt 140^\circ-2x[/tex], т.е. [tex]BD\gt AB[/tex], и [tex]140^\circ-3x\lt x[/tex], т.е. [tex]BD\lt DC=AB[/tex] — противоречие. Ако [tex]x\lt 35^\circ[/tex], двете неравенства се обръщат — пак противоречие. Следователно:
[tex]x=35^\circ[/tex]
Проверка: ъглите на [tex]\triangle ABC[/tex] са [tex]70^\circ[/tex], [tex]75^\circ[/tex] и [tex]35^\circ[/tex], а [tex]AB=BD=DC[/tex].

Решение:
Нека [tex]CA=CB[/tex], ъглите при основата са [tex]\alpha[/tex], а ъгълът срещу основата е [tex]\gamma=180^\circ-2\alpha[/tex]. Правата през [tex]A[/tex] пресича [tex]BC[/tex] в [tex]D[/tex]; нека [tex]\angle BAD=x[/tex], [tex]0\lt x\lt \alpha[/tex]. Ъглите на [tex]\triangle ABD[/tex] са [tex]x; \alpha; 180^\circ-\alpha-x[/tex], а на [tex]\triangle ADC[/tex] — [tex]\alpha-x; \gamma; \alpha+x[/tex].
[tex]\triangle ABD[/tex] е равнобедрен, когато [tex]180^\circ-\alpha-x=\alpha[/tex], т.е. [tex]x=\gamma[/tex], или когато [tex]x=180^\circ-\alpha-x[/tex], т.е. [tex]x=90^\circ-\frac{\alpha}{2}[/tex]. [tex]\triangle ADC[/tex] е равнобедрен, когато [tex]\alpha-x=\gamma[/tex] или [tex]\alpha+x=\gamma[/tex].
[tex]x=\gamma[/tex] и [tex]\alpha-x=\gamma[/tex]: [tex]\alpha=2\gamma[/tex], откъдето [tex]\gamma=36^\circ[/tex], [tex]\alpha=72^\circ[/tex]. [tex]x=\gamma[/tex] и [tex]\alpha+x=\gamma[/tex]: [tex]\alpha=0[/tex], невъзможно.
[tex]x=90^\circ-\frac{\alpha}{2}[/tex] и [tex]\alpha-x=\gamma[/tex]: [tex]\frac{3\alpha}{2}-90^\circ=180^\circ-2\alpha[/tex], откъдето [tex]\alpha=\frac{540^\circ}{7}[/tex], [tex]\gamma=\frac{180^\circ}{7}[/tex] (и [tex]x=\frac{360^\circ}{7}\lt \alpha[/tex]). [tex]x=90^\circ-\frac{\alpha}{2}[/tex] и [tex]\alpha+x=\gamma[/tex]: [tex]\alpha=36^\circ[/tex], но тогава [tex]x=72^\circ\gt \alpha[/tex], невъзможно.

Решение:
Триъгълникът [tex]ADC[/tex] е правоъгълен с ъгъл [tex]45^\circ[/tex], така че [tex]AD=CD[/tex]. Тъй като [tex]D[/tex] лежи на ъглополовящата на [tex]\angle AMB[/tex], тя е на равни разстояния от [tex]MA[/tex] и [tex]MB[/tex]: ако [tex]DP\perp AM[/tex] и [tex]DQ\perp BC[/tex], то [tex]DP=DQ[/tex].
Правоъгълните [tex]\triangle ADP[/tex] и [tex]\triangle CDQ[/tex] имат равни хипотенузи ([tex]AD=CD[/tex]) и равни катети ([tex]DP=DQ[/tex]), следователно са еднакви и [tex]\angle DAP=\angle DCQ[/tex]:
[tex]\angle BAM=\angle DCB=90^\circ-\angle B[/tex]
[tex]\angle AMB=180^\circ-\angle B-(90^\circ-\angle B)=90^\circ[/tex]
Значи [tex]AM[/tex] е височината през [tex]A[/tex].

Решение:
[tex]\angle BAD=60^\circ-45^\circ=15^\circ[/tex] (външен ъгъл на [tex]\triangle ABD[/tex]). Спускаме [tex]CK\perp AD[/tex]. В правоъгълния [tex]\triangle DKC[/tex] [tex]\angle DCK=30^\circ[/tex], така че [tex]DK=\frac{DC}{2}=BD[/tex]. Тъй като [tex]AD\gt BD[/tex] (в [tex]\triangle ABD[/tex] [tex]45^\circ\gt 15^\circ[/tex]), [tex]K[/tex] лежи на отсечката [tex]AD[/tex].
[tex]\triangle BDK[/tex] е равнобедрен с [tex]\angle BDK=120^\circ[/tex], така че [tex]\angle DBK=\angle DKB=30^\circ[/tex]. Тогава [tex]\angle KBC=30^\circ=\angle KCB[/tex], т.е. [tex]KB=KC[/tex]. Също [tex]\angle ABK=45^\circ-30^\circ=15^\circ=\angle BAK[/tex], т.е. [tex]KA=KB[/tex]. Следователно [tex]KA=KC[/tex], правоъгълният [tex]\triangle AKC[/tex] е равнобедрен и [tex]\angle KCA=45^\circ[/tex]:
[tex]\angle ACB=30^\circ+45^\circ=75^\circ[/tex]

Решение:
[tex]D[/tex] лежи на ъглополовящата на [tex]\angle B[/tex], така че е на равни разстояния от правите [tex]BA[/tex] и [tex]BC[/tex]. [tex]D[/tex] лежи на ъглополовящата на [tex]\angle AKC[/tex], така че е на равни разстояния от правите [tex]KA[/tex] и [tex]KC[/tex], а правата [tex]KC[/tex] е правата [tex]BC[/tex]. Следователно [tex]D[/tex] е на равни разстояния от правите [tex]AB[/tex] и [tex]AK[/tex], така че правата [tex]AD[/tex], т.е. [tex]AC[/tex], е ъглополовяща на един от ъглите между тези две прави.
[tex]AC[/tex] е извън [tex]\angle BAK[/tex], така че разполовява ъгъла между [tex]AK[/tex] и продължението [tex]AB'[/tex] на [tex]BA[/tex] след [tex]A[/tex]: [tex]\angle KAC=\angle CAB'[/tex]:
[tex]\dfrac{\angle BAC}{2}=180^\circ-\angle BAC \Rightarrow \angle BAC=120^\circ[/tex]

Решение:
Ъглите при основата са [tex]50^\circ[/tex]. Нека [tex]H[/tex] е средата на [tex]AB[/tex]; [tex]CH[/tex] е оста на симетрия на триъгълника. Нека правата [tex]BM[/tex] пресича [tex]CH[/tex] в [tex]N[/tex] ([tex]M[/tex] е между [tex]B[/tex] и [tex]N[/tex]). Тъй като [tex]NA=NB[/tex], [tex]\angle NAB=30^\circ[/tex], така че [tex]\angle NAM=20^\circ[/tex] и [tex]\angle NAC=50^\circ-30^\circ=20^\circ[/tex].
[tex]\angle ANB=120^\circ[/tex] и [tex]\angle ANH=60^\circ[/tex], така че [tex]\angle ANC=120^\circ=\angle ANM[/tex]. Триъгълниците [tex]ANC[/tex] и [tex]ANM[/tex] имат обща страна [tex]AN[/tex] и равни прилежащи ъгли, следователно са еднакви и [tex]AM=AC[/tex]. В равнобедрения [tex]\triangle ACM[/tex] [tex]\angle CAM=50^\circ-10^\circ=40^\circ[/tex]:
[tex]\angle AMC=\dfrac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ[/tex]

Решение:
Нека [tex]\angle A=\alpha[/tex] и [tex]\angle B=\beta[/tex]. Тъй като [tex]\alpha\lt \beta[/tex], точките върху [tex]AB[/tex] са в реда [tex]A[/tex], [tex]M[/tex], [tex]H[/tex], [tex]B[/tex]. Нанасяме върху лъча [tex]HB[/tex] след [tex]B[/tex] точка [tex]D[/tex] с [tex]BD=BC[/tex]. Тогава [tex]HD=HB+BC=MH[/tex], така че [tex]CH[/tex] е симетрала на [tex]MD[/tex] и [tex]CD=CM[/tex].
[tex]\triangle BCD[/tex] е равнобедрен и външният му ъгъл при [tex]B[/tex] е [tex]\angle ABC=\beta[/tex], така че [tex]\angle BDC=\frac{\beta}{2}[/tex]. Тъй като [tex]CM=CD[/tex], [tex]\angle CMB=\angle CDM=\frac{\beta}{2}[/tex]. От друга страна, [tex]MA=MC[/tex] (медиана към хипотенузата), така че външният ъгъл [tex]CMB[/tex] на [tex]\triangle AMC[/tex] е [tex]2\alpha[/tex]:
[tex]2\alpha=\dfrac{\beta}{2} \Rightarrow \beta=4\alpha; \alpha+4\alpha=90^\circ \Rightarrow \alpha=18^\circ[/tex]