Текстови задачи - много трудни задачи с решения

Решение:
Нека е ял по [tex]n[/tex] бонбона на ден в продължение на [tex]d[/tex] дни; в кутията е имало [tex]nd[/tex] бонбона:
[tex](n-1)(d+9)=nd \Rightarrow 9n-d=9[/tex]
[tex](n+1)(d-6)=nd \Rightarrow d-6n=6[/tex]
[tex]3n=15 \Rightarrow n=5; d=36[/tex]
Проверка: [tex]5\text{ . }36=4\text{ . }45=6\text{ . }30=180[/tex]

Решение:
Нека една крава изяжда [tex]1[/tex] единица трева на ден, в началото на ливадата има [tex]G[/tex] единици, а всеки ден израстват [tex]r[/tex] единици:
[tex]G+24r=70\text{ . }24=1680; G+60r=30\text{ . }60=1800[/tex]
[tex]36r=120 \Rightarrow r=\dfrac{10}{3}; G=1680-80=1600[/tex]
За [tex]96[/tex] дни и [tex]x[/tex] крави:
[tex]96x=G+96r=1600+320=1920 \Rightarrow x=20[/tex]

Решение:
Нека в групата има [tex]n[/tex] деца със средна възраст [tex]a[/tex], т.е. сборът от годините им е [tex]na[/tex]:
[tex]\dfrac{na-45}{n-5}=a+1 \Rightarrow na-45=na-5a+n-5 \Rightarrow 5a-n=40[/tex]
[tex]\dfrac{na+85}{n+5}=a+1 \Rightarrow na+85=na+5a+n+5 \Rightarrow 5a+n=80[/tex]
[tex]10a=120 \Rightarrow a=12; n=20[/tex]
Проверка: [tex]\dfrac{240-45}{15}=\dfrac{240+85}{25}=13[/tex]

Решение:
Нека първият е продал [tex]x[/tex] кг на цена [tex]p[/tex], а вторият — [tex]100-x[/tex] кг на цена [tex]q[/tex]. Тогава [tex]p(100-x)=72[/tex], [tex]qx=32[/tex], а равните суми дават [tex]px=q(100-x)[/tex]:
[tex]\dfrac{72x}{100-x}=\dfrac{32(100-x)}{x} \Rightarrow 9x^2=4(100-x)^2[/tex]
И двете страни са квадрати на положителни числа, затова:
[tex]3x=2(100-x) \Rightarrow 5x=200 \Rightarrow x=40[/tex]
Братята са продали [tex]40[/tex] и [tex]60[/tex] кг. Проверка: [tex]p=1{,}2[/tex], [tex]q=0{,}8[/tex] и [tex]40\cdot 1{,}2=60\cdot 0{,}8=48[/tex].

Решение:
Общото тегло е [tex]46\text{ . }106=4876[/tex] кг. Ако [tex]k[/tex] щангисти тежат над [tex]125[/tex] кг, а останалите — поне [tex]82[/tex] кг:
[tex]4876\gt 125k+82(46-k)=3772+43k \Rightarrow 43k\lt 1104 \Rightarrow k\le 25[/tex]
[tex]25[/tex] е възможно: например [tex]25[/tex] щангисти по [tex]126[/tex] кг, [tex]20[/tex] по [tex]82[/tex] кг и един с [tex]86[/tex] кг.

Решение:
Нека на влизане е имал [tex]x[/tex] евро и [tex]y[/tex] цента ([tex]y\lt 100[/tex]), т.е. [tex]100x+y[/tex] цента. На излизане е имал [tex]\frac{y}{2}[/tex] евро и [tex]x[/tex] цента, т.е. [tex]50y+x[/tex] цента:
[tex]50y+x=\dfrac{100x+y}{2} \Rightarrow 100y+2x=100x+y \Rightarrow 99y=98x[/tex]
Тъй като [tex]98[/tex] и [tex]99[/tex] нямат общ делител, по-голям от [tex]1[/tex], [tex]y[/tex] се дели на [tex]98[/tex]. От [tex]0\lt y\lt 100[/tex] получаваме [tex]y=98[/tex] и [tex]x=99[/tex].
Проверка: [tex]99{,}98:2=49{,}99[/tex]

Решение:
Нека гъбите от първия вид са [tex]A[/tex], от втория — [tex]B[/tex], а гъбарите са [tex]n[/tex]. Всеки е получил [tex]\frac{A}{7}+\frac{B}{9}[/tex] гъби:
[tex]n\left(\dfrac{A}{7}+\dfrac{B}{9}\right)=A+B[/tex]
Ако [tex]n\le 7[/tex], лявата страна е най-много [tex]A+\frac{7B}{9}\lt A+B[/tex]. Ако [tex]n\ge 9[/tex], тя е поне [tex]\frac{9A}{7}+B\gt A+B[/tex]. Следователно [tex]n=8[/tex] (например [tex]A=7[/tex], [tex]B=9[/tex] и всеки получава по [tex]2[/tex] гъби).

Решение:
Нека [tex]n[/tex] рибари са уловили [tex]F[/tex] риби. Останалите [tex]n-2[/tex] рибари са уловили [tex]F-\frac{F}{5}-\frac{F}{7}=\frac{23F}{35}[/tex] риби, като всеки от тях — повече от [tex]\frac{F}{7}[/tex] и по-малко от [tex]\frac{F}{5}[/tex]:
[tex](n-2)\cdot \dfrac{F}{7}\lt \dfrac{23F}{35}\lt (n-2)\cdot \dfrac{F}{5}[/tex]
[tex]5(n-2)\lt 23\lt 7(n-2) \Rightarrow \dfrac{23}{7}\lt n-2\lt \dfrac{23}{5} \Rightarrow n-2=4[/tex]
Рибарите са [tex]6[/tex] (например [tex]140[/tex] риби: [tex]28[/tex], [tex]20[/tex] и четири улова по [tex]23[/tex]).