Текстови задачи - трудни задачи с решения

Решение:
[tex]34+x=4(10+x) \Rightarrow 34+x=40+4x \Rightarrow 3x=-6 \Rightarrow x=-2[/tex]
Отрицателният отговор означава, че това е било преди [tex]2[/tex] години: бащата е бил на [tex]32[/tex], а синът — на [tex]8[/tex]. Оттук нататък отношението на годините им само намалява, така че това няма да се случи отново.

Решение:
Връщаме се назад. Ако след продажба от [tex]x[/tex] коня остават [tex]y[/tex], то [tex]y=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}[/tex], т.е. [tex]x=2y+1[/tex]:
[tex]5\to 2\text{ . }5+1=11\to 2\text{ . }11+1=23\to 2\text{ . }23+1=47[/tex]
Проверка: [tex]47-24=23[/tex], [tex]23-12=11[/tex], [tex]11-6=5[/tex].

Решение:
След първия ден остават [tex]\frac{4}{9}[/tex] от книгата. Втория ден е прочел [tex]\frac{3}{8}\cdot \frac{4}{9}=\frac{1}{6}[/tex] от книгата. Последната част е:
[tex]\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{8-3}{18}=\dfrac{5}{18}[/tex]
[tex]\dfrac{5}{18}x=40 \Rightarrow x=144[/tex]

Решение:
Нека аз съм на [tex]h[/tex], а жена ми — на [tex]w[/tex] години. Аз съм бил на [tex]w[/tex] години преди [tex]h-w[/tex] години; тогава тя е била на [tex]w-(h-w)=2w-h[/tex]:
[tex]h=2(2w-h) \Rightarrow 3h=4w[/tex]
[tex]h+w=63 \Rightarrow \dfrac{4w}{3}+w=63 \Rightarrow w=27; h=36[/tex]
Проверка: преди [tex]9[/tex] години аз съм бил на [tex]27[/tex], а тя — на [tex]18[/tex], и [tex]36=2\text{ . }18[/tex].

Решение:
[tex]\overline{ab}+63=\overline{ba} \Rightarrow 10a+b+63=10b+a \Rightarrow 9(b-a)=63 \Rightarrow b-a=7[/tex]
Заедно с [tex]a+b=11[/tex] получаваме [tex]a=2[/tex], [tex]b=9[/tex]. Числото е [tex]29[/tex] (проверка: [tex]29+63=92[/tex]).

Решение:
Нека монетите от [tex]1[/tex] са [tex]x[/tex], а тези от [tex]0{,}1[/tex] са [tex]51-x[/tex]:
[tex]x+0{,}1(51-x)=33 \Rightarrow 0{,}9x=27{,}9 \Rightarrow x=31[/tex]
Проверка: [tex]31+0{,}1\text{ . }20=31+2=33[/tex]

Решение:
Нека по-дебелата свещ е с дължина [tex]L[/tex]; по-тънката е [tex]L-4[/tex]. За [tex]2[/tex] часа по-дебелата изгаря [tex]\frac{2}{5}[/tex] от дължината си, а по-тънката — [tex]\frac{2}{3}[/tex], така че остатъците са [tex]\frac{3}{5}L[/tex] и [tex]\frac{1}{3}(L-4)[/tex]:
[tex]\dfrac{3}{5}L=2\cdot \dfrac{L-4}{3} \Rightarrow 9L=10L-40 \Rightarrow L=40[/tex]
Свещите са дълги [tex]40[/tex] и [tex]36[/tex] см.

Решение:
Страниците от [tex]1[/tex] до [tex]9[/tex] използват [tex]9[/tex] цифри, а страниците от [tex]10[/tex] до [tex]99[/tex] — [tex]90\text{ . }2=180[/tex] цифри, общо [tex]189[/tex]. Останалите цифри са за трицифрени номера:
[tex](2322-189):3=2133:3=711[/tex]
[tex]99+711=810[/tex]

Решение:
Ако учениците са [tex]n[/tex], всеки дава по [tex]n-1[/tex] снимки:
[tex]n(n-1)=992=32\text{ . }31 \Rightarrow n=32[/tex]

Решение:
Мачовете са [tex]\frac{4\text{ . }3}{2}=6[/tex]. Мач с победител носи общо [tex]3[/tex] точки, а равен мач — [tex]2[/tex]. Ако равните мачове са [tex]x[/tex]:
[tex]3(6-x)+2x=16 \Rightarrow 18-x=16 \Rightarrow x=2[/tex]

Решение:
Нека мъжете са [tex]m[/tex], жените — [tex]w[/tex], а децата — [tex]c[/tex]:
[tex]m+w+c=13; 2m+\dfrac{w}{2}+\dfrac{c}{4}=13[/tex]
Умножаваме второто уравнение по [tex]4[/tex] и изваждаме първото:
[tex]8m+2w+c=52 \Rightarrow 7m+w=39 \Rightarrow w=39-7m[/tex]
От [tex]w\ge 0[/tex] следва [tex]m\le 5[/tex], а от [tex]m+w=39-6m\le 13[/tex] следва [tex]m\ge 5[/tex]. Значи [tex]m=5[/tex], [tex]w=4[/tex], [tex]c=4[/tex].
Проверка: [tex]5\text{ . }2+4\text{ . }0{,}5+4\text{ . }0{,}25=10+2+1=13[/tex]

Решение:
Нека числата са [tex]n; n+1; \dots; n+8[/tex]. Сборът им е [tex]9n+36[/tex], следователно изтритото число е [tex]9n+36-166=9n-130[/tex]. То е едно от деветте числа:
[tex]n\le 9n-130\le n+8 \Rightarrow 130\le 8n\le 138 \Rightarrow n=17[/tex]
[tex]9\text{ . }17-130=23[/tex]

Решение:
Нека средната възраст на [tex]10[/tex]-те играчи е [tex]a[/tex] (сборът от годините им е [tex]10a[/tex]), а капитанът е на [tex]c[/tex] години:
[tex]\dfrac{10a+c}{11}=a+1 \Rightarrow 10a+c=11a+11 \Rightarrow c=a+11[/tex]
Средната възраст на отбора е [tex]a+1[/tex], така че капитанът е по-възрастен от нея с [tex](a+11)-(a+1)=10[/tex] години.

Решение:
В сбора [tex]43+48+44[/tex] всеки ученик с две отлични оценки е преброен два пъти, а всеки с три — три пъти. Като извадим двойките, учениците с три отлични оценки изчезват напълно, затова ги добавяме обратно веднъж:
[tex]43+48+44-14-17-15+6=135-46+6=95[/tex]

Решение:
По часовника от [tex]21{:}25[/tex] ч до [tex]6{:}31[/tex] ч минават [tex]9[/tex] ч [tex]6[/tex] мин, т.е. [tex]546[/tex] мин. За всеки истински час ([tex]60[/tex] мин) часовникът отчита [tex]63[/tex] мин, така че действително изминалото време е:
[tex]546\cdot \dfrac{60}{63}=520[/tex]
[tex]520[/tex] мин [tex]=8[/tex] ч [tex]40[/tex] мин, така че часовникът звъни в [tex]6{:}05[/tex] ч действително време. Иво може да се излежава [tex]26[/tex] минути.