Тригонометрични уравнения - много трудни задачи с решения

Решение:
Допустими стойности: [tex]\sin x\ne 0[/tex]. Умножаваме по [tex]\sin ^2 x[/tex]:
[tex]3\cos^2 x+8\sin x\cos x+3\sin ^2 x=0\iff 3+4\sin 2x=0\iff\sin 2x=-\frac{3}{4}[/tex]
Нека [tex]\beta=\arcsin \frac{3}{4}[/tex]. При [tex]x\in\left[0; 2\pi\right][/tex] имаме [tex]2x\in\left[0; 4\pi\right][/tex] и там [tex]\sin 2x=-\frac{3}{4}[/tex] има четири решения:
[tex]2x=\pi+\beta; \ 2\pi-\beta; \ 3\pi+\beta; \ 4\pi-\beta[/tex]
Нито едно от тях не дава [tex]\sin x=0[/tex]. Сборът им е [tex]10\pi[/tex], затова сборът на корените [tex]x[/tex] е [tex]5\pi[/tex].

Решение:
[tex]\cos A=\cos B[/tex] означава [tex]A=\pm B+2k\pi[/tex]. При знак плюс:
[tex]x^2-x+1=x-1+2k\iff x^2-2x+2-2k=0\iff x=1\pm\sqrt{2k-1}[/tex]
([tex]k\ge 1[/tex]). Отрицателен корен изисква [tex]\sqrt{2k-1}\gt 1[/tex], т.е. [tex]k\ge 2[/tex]; най-големият такъв корен е [tex]1-\sqrt{3}\approx-0{,} 73[/tex] (при [tex]k=2[/tex]). При знак минус:
[tex]x^2-x+1=-x+1+2k\iff x^2=2k[/tex]
и най-големият отрицателен корен е [tex]-\sqrt{2}\approx-1{,} 41[/tex]. Тъй като [tex]1-\sqrt{3}\gt-\sqrt{2}[/tex], отговорът е [tex]x=1-\sqrt{3}[/tex].

Решение:
Допустими стойности: [tex]\tg \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 0[/tex], т.е. [tex]-\frac{\pi}{2}+k\pi\lt x-\frac{\pi}{4}\le k\pi[/tex], откъдето [tex]x\in\left(-\frac{\pi}{4}+k\pi; \frac{\pi}{4}+k\pi\right][/tex]. Първият множител е нула при [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex]. За втория множител:
[tex]\sin x+\sin 5x+2\sin 3x=2\sin 3x\cos 2x+2\sin 3x=2\sin 3x(1+\cos 2x)=4\sin 3x\cos^2 x[/tex]
[tex]\cos x=0[/tex] дава [tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], които не са допустими. [tex]\sin 3x=0[/tex] дава [tex]x=\frac{k\pi}{3}[/tex]; тъй като [tex]\frac{\pi}{3}\gt\frac{\pi}{4}[/tex], допустими са само [tex]x=k\pi[/tex].

Решение:
Допустими стойности: [tex]\sin x\ne 0[/tex], [tex]\cos x\ne 0[/tex]. Умножаваме по [tex]\sin x\cos x[/tex]:
[tex]8\sin x\cos^2 x=\sqrt{3}\cos x+\sin x[/tex]
Лявата страна е [tex]4\sin 2x\cos x=2(\sin 3x+\sin x)[/tex]. Следователно
[tex]2\sin 3x=\sqrt{3}\cos x-\sin x=2\sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)[/tex]
От [tex]\sin 3x=\sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)[/tex]: [tex]3x=\frac{\pi}{3}-x+2k\pi[/tex], т.е. [tex]x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}[/tex]; или [tex]3x=\pi-\frac{\pi}{3}+x+2k\pi[/tex], т.е. [tex]x=\frac{\pi}{3}+k\pi[/tex]. И двете серии са допустими.

Решение:
Допустими стойности: [tex]\cos 2x\ne 0[/tex], [tex]\cos 3x\ne 0[/tex]. Умножаваме по [tex]\cos^2 2x\cos 3x[/tex]:
[tex]\sin ^2 2x\cos 3x+2\sin 2x\cos 2x\sin 3x-\cos^2 2x\cos 3x=0\iff\sin 4x\sin 3x-\cos 4x\cos 3x=0\iff\cos 7x=0[/tex]
Тогава [tex]x=\frac{(2k+1)\pi}{14}[/tex] и в [tex]\left[0; \pi\right][/tex] получаваме [tex]k=0; 1; \dots; 6[/tex] (седем стойности). При [tex]x=\frac{7\pi}{14}=\frac{\pi}{2}[/tex] имаме [tex]\cos 3x=0[/tex], затова тя отпада; за всички стойности [tex]\cos 2x\ne 0[/tex]. Следователно корените са [tex]6[/tex].

Решение:
Нека [tex]t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex], [tex]|t|\le\sqrt{2}[/tex]. Тогава [tex]\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}[/tex] и
[tex]\sin ^3 x+\cos^3 x=t(1-\sin x\cos x)=\frac{t\left(3-t^2\right)}{2}[/tex]
Уравнението става
[tex]2+3t-t^3=3t^2-3\iff t^3+3t^2-3t-5=0\iff(t+1)\left(t^2+2t-5\right)=0[/tex]
Корените [tex]t=-1\pm\sqrt{6}[/tex] отпадат, защото [tex]\sqrt{6}-1\approx 1{,} 45\gt\sqrt{2}[/tex] и [tex]-1-\sqrt{6}\lt-\sqrt{2}[/tex]. Следователно [tex]\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]: [tex]x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex] или [tex]x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2k\pi[/tex], т.е. [tex]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] или [tex]x=\pi+2k\pi[/tex].

Решение:
Допустими стойности: [tex]\sin x\cos x\ne 0[/tex]. Лявата страна е [tex]2\sin \left(7x+\frac{\pi}{4}\right)\in\left[-2; 2\right][/tex]. Дясната страна е [tex]t+\frac{1}{t}[/tex] при [tex]t=\tg x[/tex], затова [tex]|\tg x+\cotg x|\ge 2[/tex], с равенство само при [tex]\tg x=\pm 1[/tex]. Случай [tex]\tg x=1[/tex]: [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex], дясната страна е [tex]2[/tex], но [tex]7x+\frac{\pi}{4}=2\pi+7k\pi[/tex] и лявата страна е [tex]0[/tex]; няма корени. Случай [tex]\tg x=-1[/tex]: [tex]x=-\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex], дясната страна е [tex]-2[/tex] и трябва
[tex]\sin \left(7x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(-\frac{3\pi}{2}+7k\pi\right)=-1[/tex]
Това е изпълнено точно при нечетно [tex]k=2m+1[/tex], затова [tex]x=-\frac{\pi}{4}+(2m+1)\pi=\frac{3\pi}{4}+2m\pi[/tex].

Решение:
Допустими стойности: [tex]x\ge 0[/tex]. Лявата страна е поне [tex]1[/tex], а дясната е най-много [tex]1[/tex], затова и двете са равни на [tex]1[/tex]: [tex]\cos x=1[/tex] и [tex]\sin \sqrt{2x}=0[/tex]. Тогава [tex]x=2k\pi[/tex] с цяло [tex]k\ge 0[/tex] и [tex]\sqrt{2x}=n\pi[/tex], т.е. [tex]x=\frac{n^2\pi^2}{2}[/tex] с цяло [tex]n\ge 0[/tex]. Следователно [tex]2k\pi=\frac{n^2\pi^2}{2}[/tex], т.е. [tex]4k=n^2\pi[/tex]. Ако [tex]n\ne 0[/tex], то [tex]\pi=\frac{4k}{n^2}[/tex] би било рационално число, което не е вярно. Затова [tex]n=k=0[/tex] и единственият корен е [tex]x=0[/tex].

Решение:
Лявата страна е [tex]\ge 0[/tex], а дясната е [tex]\le 0[/tex], затова и двете трябва да са [tex]0[/tex]:
[tex]\cos 6x=1; \quad\sin (x-a)=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Първото условие дава [tex]x=\frac{k\pi}{3}[/tex]. Второто дава [tex]x-a=-\frac{\pi}{3}+2n\pi[/tex] или [tex]x-a=-\frac{2\pi}{3}+2n\pi[/tex]. Следователно [tex]a=\frac{(k+1)\pi}{3}-2n\pi[/tex] или [tex]a=\frac{(k+2)\pi}{3}-2n\pi[/tex]: [tex]a[/tex] трябва да е цяло кратно на [tex]\frac{\pi}{3}[/tex], и всяко такова кратно е подходящо. В [tex]\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] това са [tex]-\frac{\pi}{3}; 0; \frac{\pi}{3}[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]\sin 2x+\cos 2x-1=2\sin x\cos x-2\sin ^2 x[/tex], уравнението е
[tex]\sin x(2\cos x-2\sin x-a)=0[/tex]
[tex]\sin x=0[/tex] дава корените [tex]0[/tex] и [tex]\pi[/tex]. Трябва точно още един корен на [tex]g(x)=\cos x-\sin x=\frac{a}{2}[/tex], различен от [tex]0[/tex] и [tex]\pi[/tex]. Тъй като [tex]g(x)=\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex], в [tex]\left[0; \frac{3\pi}{4}\right][/tex] тя намалява от [tex]1[/tex] до [tex]-\sqrt{2}[/tex], а в [tex]\left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right][/tex] расте от [tex]-\sqrt{2}[/tex] до [tex]-1[/tex].
При [tex]-1\lt\frac{a}{2}\lt 1[/tex] има един нов корен. При [tex]\frac{a}{2}=-1[/tex] корените на [tex]g[/tex] са [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] и [tex]\pi[/tex], т.е. отново един нов корен. При [tex]\frac{a}{2}=-\sqrt{2}[/tex] единственият нов корен е [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]. При [tex]-\sqrt{2}\lt\frac{a}{2}\lt-1[/tex] има два нови корена, при [tex]\frac{a}{2}=1[/tex] – само [tex]x=0[/tex], а в останалите случаи – нито един. Следователно [tex]a\in\left\{-2\sqrt{2}\right\}\cup\left[-2; 2\right)[/tex].

Решение:
Нека [tex]S[/tex] е лявата страна ([tex]1010[/tex] събираеми). Ако [tex]\sin x=0[/tex], всички събираеми са равни на [tex]1[/tex] или всички са равни на [tex]-1[/tex], затова [tex]S=\pm 1010\ne 0[/tex]. Ако [tex]\sin x\ne 0[/tex], умножаваме по [tex]2\sin x[/tex] и използваме
[tex]2\sin x\cos(2j-1)x=\sin 2jx-\sin (2j-2)x[/tex]
Сумата се „телескопира“:
[tex]2\sin x\cdot S=\sin 2020x[/tex]
Следователно [tex]S=0[/tex] точно когато [tex]\sin 2020x=0[/tex] и [tex]\sin x\ne 0[/tex], т.е. [tex]x=\frac{k\pi}{2020}[/tex], където [tex]k[/tex] не се дели на [tex]2020[/tex].

Решение:
В този интервал [tex]\cos x\ne 0[/tex]. Тъй като
[tex]\tg 3x-\tg x=\frac{\sin 2x}{\cos 3x\cos x}=\frac{2\sin x}{\cos 3x}[/tex]
имаме [tex]\frac{\sin x}{\cos 3x}=\frac{1}{2}(\tg 3x-\tg x)[/tex]. Аналогично [tex]\frac{\sin 3x}{\cos 9x}=\frac{1}{2}(\tg 9x-\tg 3x)[/tex] и [tex]\frac{\sin 9x}{\cos 27x}=\frac{1}{2}(\tg 27x-\tg 9x)[/tex]. Сборът е
[tex]\frac{1}{2}(\tg 27x-\tg x)=\frac{\sin 26x}{2\cos x\cos 27x}[/tex]
Следователно [tex]\sin 26x=0[/tex], [tex]x=\frac{k\pi}{26}[/tex], а интервалът дава [tex]k=-12; \dots; 12[/tex]. За тези [tex]k[/tex] знаменателите [tex]\cos 3x[/tex], [tex]\cos 9x[/tex], [tex]\cos 27x[/tex] не са нула: [tex]\cos 3^m x=0[/tex] би изисквало [tex]3^m k=13(2j+1)[/tex], което е невъзможно при [tex]|k|\lt 13[/tex]. Значи всичките [tex]25[/tex] стойности са корени.