Тригонометрични уравнения - трудни задачи с решения

Решение:
Допустими стойности: [tex]\cos x\ne 0[/tex] (тогава и [tex]\sin x\ne-1[/tex]). Привеждаме под общ знаменател:
[tex]\tg x+\frac{\cos x}{1+\sin x}=\frac{\sin x(1+\sin x)+\cos^2 x}{\cos x(1+\sin x)}=\frac{1+\sin x}{\cos x(1+\sin x)}=\frac{1}{\cos x}[/tex]
Следователно [tex]\frac{1}{\cos x}=2[/tex], [tex]\cos x=\frac{1}{2}[/tex] и [tex]x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi[/tex]. Тези стойности са допустими.

Решение:
Записваме [tex]\sin x=\sin x\left(\sin ^2 x+\cos^2 x\right)[/tex]. Уравнението става хомогенно от трета степен:
[tex]3\cos^3 x-\sin ^2 x\cos x-\sin ^3 x-\sin x\cos^2 x=0[/tex]
Ако [tex]\cos x=0[/tex], то [tex]\sin ^3 x=0[/tex], което е невъзможно, затова делим на [tex]\cos^3 x[/tex]. При [tex]t=\tg x[/tex]:
[tex]t^3+t^2+t-3=0\iff(t-1)\left(t^2+2t+3\right)=0[/tex]
Квадратният множител няма реални корени, затова [tex]\tg x=1[/tex] и [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex].

Решение:
Делим на [tex]2[/tex]:
[tex]\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\iff 2x=\pm\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+2k\pi[/tex]
При знак плюс: [tex]x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex]. При знак минус: [tex]3x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex], откъдето [tex]x=\frac{\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}[/tex].

Решение:
Нека [tex]t=\cos x-\sin x[/tex], [tex]|t|\le\sqrt{2}[/tex]. Тогава [tex]t^2=1-\sin 2x[/tex], т.е. [tex]\sin 2x=1-t^2[/tex], и уравнението става
[tex]t^2-6t+5=0[/tex]
с корени [tex]t=1[/tex] и [tex]t=5[/tex]; коренът [tex]t=5[/tex] е невъзможен. От
[tex]\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\iff x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex]
получаваме [tex]x=2k\pi[/tex] или [tex]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex].

Решение:
Нека [tex]t=\cos 2x[/tex]. Тогава [tex]\sin ^2 x=\frac{1-t}{2}[/tex], т.е. [tex]16\sin ^6 x=2(1-t)^3[/tex], и [tex]\cos 4x=2t^2-1[/tex]. Лявата страна е
[tex]2\left(1-3t+3t^2-t^3\right)+6t-6t^2+3=5-2t^3[/tex]
Следователно [tex]5-2t^3=\frac{19}{4}[/tex], [tex]t^3=\frac{1}{8}[/tex] и [tex]t=\frac{1}{2}[/tex]. От [tex]\cos 2x=\frac{1}{2}[/tex]: [tex]2x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi[/tex], [tex]x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi[/tex].

Решение:
Използваме [tex]\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x[/tex] и [tex]\sin 3x=3\sin x-4\sin ^3 x[/tex]. Членовете [tex]\pm 4\sin ^3 x\cos^3 x[/tex] се унищожават и лявата страна става
[tex]3\sin x\cos^3 x-3\sin ^3 x\cos x=3\sin x\cos x\left(\cos^2 x-\sin ^2 x\right)=\frac{3}{2}\sin 2x\cos 2x=\frac{3}{4}\sin 4x[/tex]
Следователно [tex]\sin 4x=1[/tex], [tex]4x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] и [tex]x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}[/tex].

Решение:
Записваме [tex]\sin x\sin 3x=\frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 4x)[/tex] и [tex]\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x[/tex]. Уравнението става
[tex]\frac{1}{2}\sin 2x(\cos 2x-\cos 4x)=\frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x\iff\sin 2x\cos 4x=0[/tex]
[tex]\sin 2x=0[/tex] дава [tex]x=\frac{k\pi}{2}[/tex]; [tex]\cos 4x=0[/tex] дава [tex]4x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], [tex]x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}[/tex]. Не делете на [tex]\sin 2x[/tex]: така се губят корени.

Решение:
Лявата страна е неотрицателна, затова трябва [tex]\cos x\le 0[/tex]. Повдигаме на квадрат:
[tex]1+\sin x=\cos^2 x=1-\sin ^2 x\iff\sin x(\sin x+1)=0[/tex]
Ако [tex]\sin x=0[/tex], то [tex]\cos x=\pm 1[/tex], а условието [tex]\cos x\le 0[/tex] оставя само [tex]\cos x=-1[/tex]: [tex]x=\pi+2k\pi[/tex]. Ако [tex]\sin x=-1[/tex], то [tex]\cos x=0[/tex], което е допустимо: [tex]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]. Стойностите [tex]x=2k\pi[/tex] са странични корени.

Решение:
Записваме [tex]3\cos^2 x-2=1-3\sin ^2 x[/tex].
Случай [tex]0\le x\le\frac{\pi}{2}[/tex]: [tex]\sin x\ge 0[/tex], затова [tex]\sin ^2 x=1-3\sin ^2 x[/tex], [tex]\sin ^2 x=\frac{1}{4}[/tex], [tex]\sin x=\frac{1}{2}[/tex] и [tex]x=\frac{\pi}{6}[/tex]. Случай [tex]-\frac{\pi}{2}\le x\lt 0[/tex]: [tex]\sin x\lt 0[/tex], затова [tex]-\sin ^2 x=1-3\sin ^2 x[/tex], [tex]\sin ^2 x=\frac{1}{2}[/tex], [tex]\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] и [tex]x=-\frac{\pi}{4}[/tex].

Решение:
Групираме:
[tex]2\sin x(\cos x+1)+(\cos x+1)=(\cos x+1)(2\sin x+1)=0[/tex]
[tex]\cos x=-1[/tex] дава [tex]x=\pi+2k\pi[/tex]; в [tex]\left(0; 5\right)[/tex] е само [tex]x=\pi\approx 3{,} 14[/tex]. [tex]\sin x=-\frac{1}{2}[/tex] дава [tex]x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi[/tex] или [tex]x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/tex]; в [tex]\left(0; 5\right)[/tex] е само [tex]\frac{7\pi}{6}\approx 3{,} 67[/tex], защото [tex]\frac{11\pi}{6}\approx 5{,} 76\gt 5[/tex]. Следователно корените са [tex]2[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]2\cos^2 3x-1=\cos 6x[/tex], уравнението е
[tex]\cos 6x-\cos 4x=0\iff-2\sin 5x\sin x=0[/tex]
[tex]\sin x=0[/tex] дава [tex]x=k\pi[/tex], а [tex]\sin 5x=0[/tex] дава [tex]x=\frac{k\pi}{5}[/tex]; първата серия се съдържа във втората. В [tex]\left[0; \frac{\pi}{2}\right][/tex] корените са [tex]0; \frac{\pi}{5}; \frac{2\pi}{5}[/tex] (следващият, [tex]\frac{3\pi}{5}[/tex], е твърде голям). Следователно корените са [tex]3[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]-1\le\cos 4x\le 1[/tex], лявата страна удовлетворява [tex]5\le 8-3\cos 4x\le 11[/tex]. Тъй като [tex]1\le 3-2\sin x\le 5[/tex], дясната страна удовлетворява [tex]1\le\frac{5}{3-2\sin x}\le 5[/tex]. Равенство е възможно само когато двете страни са равни на [tex]5[/tex]:
[tex]\cos 4x=1; \quad 3-2\sin x=1\iff\sin x=1[/tex]
Тогава [tex]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex], а за тези стойности [tex]4x=2\pi+8k\pi[/tex], т.е. [tex]\cos 4x=1[/tex] е изпълнено.

Решение:
Допустими стойности: [tex]\cos x\ne 0[/tex], [tex]\cos 2x\ne 0[/tex], [tex]\cos 3x\ne 0[/tex]. От [tex]\tg a+\tg b=\frac{\sin (a+b)}{\cos a\cos b}[/tex]:
[tex]\frac{\sin 3x}{\cos x\cos 2x}-\frac{\sin 3x}{\cos 3x}=\sin 3x\cdot \frac{\cos 3x-\cos x\cos 2x}{\cos x\cos 2x\cos 3x}=\frac{-\sin 3x\sin x\sin 2x}{\cos x\cos 2x\cos 3x}[/tex]
Следователно [tex]\sin 3x\sin 2x\sin x=0[/tex]. [tex]\sin 3x=0[/tex] дава [tex]x=\frac{k\pi}{3}[/tex] и всички тези стойности са допустими. [tex]\sin x=0[/tex] дава [tex]x=k\pi[/tex], които вече са включени. [tex]\sin 2x=0[/tex] добавя [tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], но там [tex]\cos x=0[/tex], затова тези стойности отпадат.

Решение:
Допустими стойности: [tex]\sin x\ne 0[/tex] (тогава и [tex]\cos x\ne 1[/tex]). Умножаваме по [tex]\sin ^2 x(1-\cos x)[/tex]:
[tex]\cos^2 x-\cos^3 x=\sin ^2 x-\sin ^3 x[/tex]
[tex]\left(\cos^2 x-\sin ^2 x\right)-\left(\cos^3 x-\sin ^3 x\right)=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x-1-\sin x\cos x)=-(\cos x-\sin x)(1-\sin x)(1-\cos x)=0[/tex]
[tex]\cos x=\sin x[/tex] дава [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex]; [tex]\sin x=1[/tex] дава [tex]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]; [tex]\cos x=1[/tex] означава [tex]\sin x=0[/tex] и отпада.

Решение:
Уравнение [tex]p\cos x+q\sin x=r[/tex] при [tex]p^2+q^2\gt 0[/tex] има решение точно когато [tex]r^2\le p^2+q^2[/tex] (делим на [tex]\sqrt{p^2+q^2}[/tex] и въвеждаме спомагателен ъгъл). Тук
[tex]p^2+q^2=(a-1)^2+(a+1)^2=2a^2+2\gt 0[/tex]
Условието е [tex]4a^2\le 2a^2+2[/tex], т.е. [tex]a^2\le 1[/tex] и [tex]-1\le a\le 1[/tex].

Решение:
Допустими стойности: [tex]\cos x\ne 0[/tex], [tex]\cos 2x\ne 0[/tex], [tex]\cos 3x\ne 0[/tex], [tex]\cos 4x\ne 0[/tex]. От
[tex]\tg 3x=\frac{\tg x+\tg 2x}{1-\tg x\tg 2x}[/tex]
(тук [tex]1-\tg x\tg 2x=\frac{\cos 3x}{\cos x\cos 2x}\ne 0[/tex]) получаваме [tex]\tg x+\tg 2x+\tg x\tg 2x\tg 3x=\tg 3x[/tex]. Уравнението става [tex]\tg 4x=0[/tex], т.е. [tex]x=\frac{k\pi}{4}[/tex]. При нечетно [tex]k[/tex] имаме [tex]\cos 2x=0[/tex], а при [tex]x=\frac{m\pi}{2}[/tex] с нечетно [tex]m[/tex] имаме [tex]\cos x=0[/tex]. Остават само [tex]x=k\pi[/tex] и те удовлетворяват всички условия.