Задачи от движение - път, скорост, време - много трудни задачи с решения

Решение:
Колата е тръгнала от завода в обичайното време и по обичайния път, но се е върнала от мястото на срещата. Спестените [tex]12[/tex] минути са пътят от мястото на срещата до спирката и обратно, т.е. по [tex]6[/tex] минути в посока. Значи колата е срещнала директора [tex]6[/tex] минути преди да стигне спирката в [tex]8{:}00[/tex] ч, т.е. в [tex]7{:}54[/tex] ч.

Решение:
Нека скоростта на човека е [tex]u[/tex], на трактора — [tex]v[/tex], а дължината е [tex]L[/tex]. Напред човекът се движи спрямо тръбата със скорост [tex]u-v[/tex] за време [tex]\frac{150}{u}[/tex], а назад — със скорост [tex]u+v[/tex] за време [tex]\frac{20}{u}[/tex]:
[tex]L=(u-v)\cdot \dfrac{150}{u}=(u+v)\cdot \dfrac{20}{u}[/tex]
[tex]150(u-v)=20(u+v) \Rightarrow 130u=170v \Rightarrow v=\dfrac{13}{17}u[/tex]
[tex]L=150\left(1-\dfrac{13}{17}\right)=150\cdot \dfrac{4}{17}=\dfrac{600}{17}=35\dfrac{5}{17}[/tex]

Решение:
Велосипедът може да превози общо най-много [tex]12[/tex] km, така че единият от двамата се вози най-много [tex]6[/tex] km и върви пеша поне [tex]6[/tex] km. На него му трябват поне
[tex]\dfrac{6}{20}+\dfrac{6}{5}=0{,}3+1{,}2=1{,}5[/tex]
часа, т.е. [tex]90[/tex] минути. Това време е постижимо: първият се вози [tex]6[/tex] km, оставя велосипеда и продължава пеша; вторият върви [tex]6[/tex] km (за [tex]1{,}2[/tex] h, когато велосипедът вече е там) и се вози останалата част. И двамата пристигат след [tex]90[/tex] минути.

Решение:
Да наблюдаваме движението от камиона A (като че ли A стои на място). Тогава B и C се движат напред с някакви скорости [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex] спрямо A. Отначало двата са на [tex]18[/tex] зад A. Докато C изминава тези [tex]18[/tex], B изминава само [tex]18-13{,}5=4{,}5[/tex], следователно
[tex]\dfrac{b}{c}=\dfrac{4{,}5}{18}=\dfrac{1}{4}[/tex]
B стига до A, след като измине [tex]18[/tex]; за същото време C изминава [tex]4\text{ . }18=72[/tex], т.е. е на [tex]72-18=54[/tex] km пред A.

Решение:
Нека скоростта на камиона е [tex]v[/tex]. Мотоциклетистът настига камиона [tex]t[/tex] часа след тръгването си:
[tex]50t=v\left(t+\dfrac{1}{2}\right) \Rightarrow t=\dfrac{v}{2(50-v)}[/tex]
Обратно изминава същото разстояние за същото време [tex]t[/tex], така че се връща в A [tex]\frac{1}{2}+2t[/tex] часа след тръгването на камиона, което е времето за пътуване на камиона:
[tex]\dfrac{1}{2}+\dfrac{v}{50-v}=\dfrac{180}{v}\ \Big|\cdot 2v(50-v)[/tex]
[tex]v(50-v)+2v^2=360(50-v) \Rightarrow v^2+410v-18000=0[/tex]
[tex](v-40)(v+450)=0 \Rightarrow v=40[/tex]
Проверка: мотоциклетистът настига камиона след [tex]2[/tex] h на [tex]100[/tex] km от A и се връща в A [tex]4{,}5[/tex] h след тръгването на камиона; на камиона му трябват [tex]180:40=4{,}5[/tex] h.

Решение:
Нека слънцето е изгряло [tex]x[/tex] часа преди обяд, а скоростите са [tex]a[/tex] (от A) и [tex]b[/tex] (от B). Частта от пътя, която първата жена е изминала преди обяд, втората изминава след обяд за [tex]9[/tex] часа, и обратно (за [tex]4[/tex] часа):
[tex]ax=9b[/tex], [tex]bx=4a[/tex]
[tex]ab\cdot x^2=36ab \Rightarrow x^2=36 \Rightarrow x=6[/tex]
Слънцето е изгряло в [tex]6{:}00[/tex] ч.

Решение:
Нека скоростите са [tex]a[/tex] (мотоциклетист) и [tex]b[/tex] (велосипедист). До срещата, за [tex]\frac{7}{6}[/tex] h:
[tex]\dfrac{7}{6}(a+b)=84 \Rightarrow a+b=72[/tex]
След срещата мотоциклетистът изминава частта на велосипедиста [tex]\frac{7}{6}b[/tex] до B, почива [tex]\frac{1}{3}[/tex] h и се връща през остатъка от часа. Един час след срещата двамата са в една и съща точка; разстоянието ѝ от B е:
[tex]a\left(1-\dfrac{1}{3}\right)-\dfrac{7}{6}b=\dfrac{7}{6}b+b \Rightarrow \dfrac{2}{3}a=\dfrac{10}{3}b \Rightarrow a=5b[/tex]
[tex]6b=72 \Rightarrow b=12[/tex], [tex]a=60[/tex]

Решение:
Нека [tex]L[/tex] е дължината, а [tex]v[/tex] — скоростта на влаковете. При настигане влакът минава покрай него с относителна скорост [tex]v-5[/tex], а при насрещно движение — с [tex]v+5[/tex]:
[tex]L=9(v-5)=7(v+5)[/tex]
[tex]9v-45=7v+35 \Rightarrow v=40[/tex], [tex]L=9\text{ . }35=315[/tex]