Задачи от движение - път, скорост, време - трудни задачи с решения

Решение:
Нека разстоянието е [tex]d[/tex], скоростта на лодката в спокойна вода е [tex]v[/tex], а скоростта на течението е [tex]c[/tex]:
[tex]v+c=\dfrac{d}{2}[/tex], [tex]v-c=\dfrac{d}{3}[/tex]
[tex]2c=\dfrac{d}{2}-\dfrac{d}{3}=\dfrac{d}{6} \Rightarrow c=\dfrac{d}{12}[/tex]
Салът се движи със скоростта на течението, така че му трябват [tex]d:\frac{d}{12}=12[/tex] часа.

Решение:
Поясът плава с течението; за [tex]5[/tex] часа изминава [tex]10[/tex], така че скоростта на течението е [tex]c=2[/tex]. Ако [tex]d[/tex] е разстоянието, а [tex]v[/tex] — собствената скорост на лодката:
[tex]\dfrac{d}{5}-\dfrac{d}{10}=(v+c)-(v-c)=2c=4[/tex]
[tex]\dfrac{d}{10}=4 \Rightarrow d=40[/tex]

Решение:
Да разгледаме движението спрямо водата (като че ли водата е неподвижна). Тогава шапката стои на място, а лодката се отдалечава от нея [tex]10[/tex] минути и се връща със същата скорост [tex]12[/tex], т.е. също за [tex]10[/tex] минути. Значи шапката е настигната [tex]20[/tex] минути след падането. През това време тя е плавала с течението:
[tex]3\cdot \dfrac{20}{60}=1[/tex]

Решение:
Нека [tex]L[/tex] е дължината, [tex]e[/tex] — скоростта на ескалатора, а [tex]u[/tex] — собствената скорост на човека:
[tex]L=30(e+u)=20(e+3u)[/tex]
[tex]30e+30u=20e+60u \Rightarrow 10e=30u \Rightarrow e=3u[/tex]
[tex]L=30(3u+u)=120u[/tex], [tex]\dfrac{L}{e}=\dfrac{120u}{3u}=40[/tex]

Решение:
Нека [tex]AB=d[/tex]. До първата среща двата автомобила заедно изминават едно разстояние [tex]d[/tex], а до втората — три разстояния [tex]3d[/tex]. При постоянни скорости всеки от тях до втората среща изминава [tex]3[/tex] пъти повече, отколкото до първата. Автомобилът от A до първата среща е изминал [tex]70[/tex], така че до втората е изминал [tex]3\text{ . }70=210[/tex], което е [tex]d+40[/tex]:
[tex]d+40=210 \Rightarrow d=170[/tex]

Решение:
Нека скоростите са [tex]a[/tex] (колата) и [tex]b[/tex] (камиона), а [tex]AB=D[/tex]; положенията мерим от A. След [tex]1[/tex] час колата е в [tex]a[/tex], а камионът — в [tex]D-b[/tex]:
[tex]a=\dfrac{0+(D-b)}{2} \Rightarrow D=2a+b[/tex]
След [tex]t[/tex] часа колата е в [tex]at[/tex], камионът — в [tex]D-bt[/tex], а средата между камиона и B е в [tex]\frac{(D-bt)+D}{2}=D-\frac{bt}{2}[/tex]:
[tex]at=D-\dfrac{bt}{2} \Rightarrow t\left(a+\dfrac{b}{2}\right)=2a+b \Rightarrow t=2[/tex]
Значи това става в [tex]14{:}00[/tex] ч.

Решение:
Движейки се в противоположни посоки, те се срещат всеки път, когато заедно изминат една пълна обиколка:
[tex]400:(10+15)=16[/tex]
[tex]7\text{ . }16=112[/tex]

Решение:
Всеки ден Петкан се отдалечава напред с [tex]33-23=10[/tex]. Те отново са заедно, когато той изпревари Робинзон с цяла обиколка ([tex]100[/tex]), т.е. след [tex]10[/tex] дни. Дотогава Робинзон е изминал
[tex]23\text{ . }10=230=2\text{ . }100+30[/tex]
т.е. две пълни обиколки и още [tex]30[/tex]. Срещат се на [tex]30[/tex] km от лодката.

Решение:
Нека минава покрай C [tex]T[/tex] часа след [tex]10{:}30[/tex] ч. През първия ден [tex]AC=8T[/tex]. През втория ден е тръгнал [tex]2{,}5[/tex] часа по-късно в деня, така че [tex]BC=10(T-2{,}5)[/tex]:
[tex]8T+10(T-2{,}5)=38 \Rightarrow 18T=63 \Rightarrow T=3{,}5[/tex]
Минал е покрай C в [tex]10{:}30[/tex] + [tex]3[/tex] h [tex]30[/tex] min = [tex]14{:}00[/tex] ч. (Проверка: [tex]AC=28[/tex], [tex]BC=10[/tex].)

Решение:
Мотоциклетистът се движи с [tex]2{,}5\text{ . }20=50[/tex] и му трябват [tex]60:50=1{,}2[/tex] h. За тези последни [tex]1{,}2[/tex] h велосипедистът изминава [tex]20\text{ . }1{,}2=24[/tex], така че когато мотоциклетистът е тръгнал, велосипедистът е бил на
[tex]60-24=36[/tex]
km от A.

Решение:
До застигането Петър е пробягал от [tex]1200[/tex] m до [tex]4800[/tex] m, т.е. [tex]3600[/tex] m, за което са му трябвали [tex]3600:180=20[/tex] min. За тези [tex]20[/tex] min Иван е пробягал [tex]4800[/tex] m:
[tex]4800:20=240[/tex]
Иван пробягва последните [tex]200[/tex] m за [tex]\frac{200}{240}=\frac{5}{6}[/tex] min; междувременно Петър пробягва [tex]180\cdot \frac{5}{6}=150[/tex] m и е на [tex]200-150=50[/tex] m от финала.

Решение:
Нека собствената му скорост е [tex]u[/tex], а скоростта на течението — [tex]c[/tex] (за минута). Срещу течението се е придвижил назад:
[tex]4(c-u)=80 \Rightarrow c=u+20[/tex]
След обръщането [tex]3[/tex] минути се е носил с течението и [tex]2[/tex] минути е гребал по течението:
[tex]3c+2(u+c)=240 \Rightarrow 5c+2u=240[/tex]
[tex]5(u+20)+2u=240 \Rightarrow 7u=140 \Rightarrow u=20[/tex]

Решение:
Нека разстоянията са [tex]x[/tex], [tex]45x[/tex], [tex]4x[/tex], а времената — [tex]4y[/tex], [tex]20y[/tex], [tex]y[/tex]:
[tex]\dfrac{x+45x+4x}{4y+20y+y}=\dfrac{50x}{25y}=\dfrac{2x}{y}=32 \Rightarrow \dfrac{x}{y}=16[/tex]
Скоростта пеша е:
[tex]\dfrac{x}{4y}=\dfrac{16}{4}=4[/tex]

Решение:
Да мерим всичко в миши крачки. Котката е на [tex]5\text{ . }10=50[/tex] крачки зад мишката. За един скок котката изминава [tex]10[/tex], а мишката — [tex]3[/tex], така че котката наваксва по [tex]7[/tex] крачки на скок и ѝ трябват [tex]\frac{50}{7}=7\frac{1}{7}[/tex] скока, за да я настигне.
Мишката стига до дупката за времето на [tex]\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}[/tex] скока, т.е. по-рано. Мишката ще се спаси.