Задачи от делимост на 2, 3, 4, 5, 9 - много трудни задачи с решения

Решение:
[tex]28=4\text{ . }7[/tex], затова числото трябва да се дели на [tex]4[/tex] и на [tex]7[/tex].
Делимост на [tex]4[/tex]: [tex]\overline{4b}[/tex] се дели на [tex]4[/tex], следователно [tex]b\in\{0; 4; 8\}[/tex].
[tex]\overline{ab}+1=10a+b+1=9a+(a+b+1)[/tex], затова [tex]a+b+1[/tex] се дели на [tex]9[/tex]: [tex]a+b=8[/tex] или [tex]a+b=17[/tex].
[tex]b=0 \Rightarrow a=8[/tex]: [tex]63840[/tex]
[tex]b=4 \Rightarrow a=4[/tex]: [tex]63444[/tex]
[tex]b=8 \Rightarrow a=0[/tex] или [tex]a=9[/tex]: [tex]63048[/tex], [tex]63948[/tex]
Делимост на [tex]7[/tex]:
[tex]63840=7\text{ . }9120[/tex]
[tex]63444=7\text{ . }9063+3[/tex]
[tex]63048=7\text{ . }9006+6[/tex]
[tex]63948=7\text{ . }9135+3[/tex]
Отговор: [tex]63840[/tex]

Решение:
Числото [tex]10^{2007}+5=100\ldots 005[/tex] има сбор от цифрите [tex]1+5=6[/tex], затова се дели на [tex]3[/tex].
Вторият множител има [tex]2008[/tex] събираеми (четен брой), затова ги групираме по двойки:
[tex](2+2^2)+(2^3+2^4)+\ldots+(2^{2007}+2^{2008})=2(1+2)+2^3(1+2)+\ldots+2^{2007}(1+2)=3(2+2^3+\ldots+2^{2007})[/tex]
Следователно и вторият множител се дели на [tex]3[/tex]. Произведението на две числа, всяко от които се дели на [tex]3[/tex], се дели на [tex]3\text{ . }3=9[/tex].

Решение:
Едно число и сборът от цифрите му дават един и същ остатък при деление на [tex]9[/tex]. Тъй като [tex]N[/tex] се дели на [tex]9[/tex], на [tex]9[/tex] се делят и [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex] (и те са положителни).
Всяка от [tex]1998[/tex]-те цифри е най-много [tex]9[/tex], затова [tex]a\le 9\text{ . }1998=17982[/tex].
Следователно [tex]a[/tex] има най-много пет цифри, а ако са пет, първата е [tex]1[/tex]. Затова [tex]b\le 1+9+9+9+9=37[/tex].
[tex]b[/tex] е кратно на [tex]9[/tex], не по-голямо от [tex]37[/tex], т.е. [tex]b\in\{9; 18; 27; 36\}[/tex], и във всеки случай [tex]c=9[/tex].

Решение:
За всяко естествено число [tex]x[/tex] разликата [tex]x-S(x)[/tex] се дели на [tex]9[/tex]. Наистина, ако [tex]x=\overline{d_k\ldots d_1d_0}[/tex], то
[tex]x-S(x)=d_k(10^k-1)+\ldots+d_2(100-1)+d_1(10-1)[/tex]
а всяко число [tex]10^m-1=99\ldots 9[/tex] се дели на [tex]9[/tex].
Тогава [tex]a-S(a)[/tex] и [tex]2a-S(2a)[/tex] се делят на [tex]9[/tex], а значи и разликата им:
[tex](2a-S(2a))-(a-S(a))=a-(S(2a)-S(a))=a-0=a[/tex]
Следователно [tex]a[/tex] се дели на [tex]9[/tex].