Неравенства - много трудни задачи с решения

Решение:
Куб: [tex]S_1=6a^2[/tex]. Паралелепипед с измерения [tex]a+4[/tex], [tex]a-2[/tex], [tex]a-1[/tex]:
[tex]S_2=2\big[(a+4)(a-2)+(a+4)(a-1)+(a-2)(a-1)\big][/tex]
[tex]=2(a^2+2a-8+a^2+3a-4+a^2-3a+2)=6a^2+4a-20[/tex]
[tex]6a^2+4a-20\lt 6a^2 \Rightarrow 4a\lt 20 \Rightarrow a\lt 5[/tex]
Широчината трябва да е положителна: [tex]a-2>0 \Rightarrow a>2[/tex]. Следователно [tex]2\lt a\lt 5[/tex].

Решение:
Скоростите са [tex]65[/tex] и [tex]75[/tex] км/ч, затова влаковете се приближават с [tex]140[/tex] км/ч. След [tex]t[/tex] часа разстоянието между тях е [tex]|420-140t|[/tex] (след срещата те се отдалечават).
[tex]|420-140t|\lt 28 \Rightarrow -28\lt 420-140t\lt 28[/tex]
[tex]392\lt 140t\lt 448 \Rightarrow 2{,} 8\lt t\lt 3{,} 2[/tex]
Т.е. от [tex]2[/tex] ч [tex]48[/tex] мин до [tex]3[/tex] ч [tex]12[/tex] мин след тръгването.

Решение:
Случай 1: [tex]x\le -2[/tex]. Тогава [tex]f(x)=x+3\le 1[/tex] и [tex]f(f(x))=x+6>1 \Rightarrow x>-5[/tex]. Решения: [tex]-5\lt x\le -2[/tex].
Случай 2: [tex]-2\lt x\le 1[/tex]. Тогава [tex]f(x)=x+3>1[/tex] и [tex]f(f(x))=1-2(x+3)=-2x-5>1 \Rightarrow x\lt -3[/tex] – в този случай няма решения.
Случай 3: [tex]x>1[/tex]. Тогава [tex]f(x)=1-2x\lt -1\le 1[/tex] и [tex]f(f(x))=(1-2x)+3=4-2x>1 \Rightarrow x\lt \frac{3}{2}[/tex]. Решения: [tex]1\lt x\lt \frac{3}{2}[/tex].
Отговор: [tex]x\in(-5; -2]\cup\left(1; \frac{3}{2}\right)[/tex]

Решение:
Нека в автобусите пътуват [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] души ([tex]a\ge 5[/tex], [tex]b\ge 15[/tex] – цели числа):
[tex]a+b>24[/tex], [tex]2(b-15)\lt a[/tex], [tex]7(a-5)\lt b[/tex]
От третото неравенство [tex]b>7a-35[/tex]; заместваме във второто: [tex]a>2b-30>2(7a-35)-30=14a-100[/tex], т.е. [tex]13a\lt 100[/tex] и [tex]a\le 7[/tex].
От второто неравенство [tex]b\lt \frac{a+30}{2}[/tex], а от първото [tex]b>24-a[/tex]. Проверяваме [tex]a\in\{5; 6; 7\}[/tex]:
[tex]a=5:\ 19\lt b\lt 17{,} 5[/tex] – невъзможно
[tex]a=6:\ 18\lt b\lt 18[/tex] – невъзможно
[tex]a=7:\ 17\lt b\lt 18{,} 5 \Rightarrow b=18[/tex]
Проверка: [tex]7+18=25>24[/tex], [tex]2\text{ . }3=6\lt 7[/tex], [tex]7\text{ . }2=14\lt 18[/tex]