Проценти - трудни задачи с решения

Решение:
Ако страните са били [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], новите страни са [tex]1{,}2a[/tex] и [tex]0{,}9b[/tex]:
[tex]1{,}2a\cdot 0{,}9b=1{,}08ab[/tex]
Лицето става [tex]108\%[/tex] от първоначалното, т.е. се увеличава с [tex]8\%[/tex] (а не с [tex]20\%-10\%=10\%[/tex]).

Решение:
След всяко намаление с [tex]p\%[/tex] цената се умножава по [tex]q=1-\frac{p}{100}[/tex]:
[tex]2000q^2=1280 \Rightarrow q^2=0{,}64 \Rightarrow q=0{,}8 \Rightarrow p=20[/tex]
Всяко намаление е с [tex]20\%[/tex]: [tex]2000\to 1600\to 1280[/tex]. ([tex]36\%[/tex] е общото намаление.)

Решение:
Постъпленията = цена [tex]\text{ . }[/tex] брой зрители. Ако цената е била [tex]p[/tex], а броят — [tex]n[/tex], новият брой [tex]n_1[/tex] удовлетворява:
[tex]0{,}8p\cdot n_1=p\cdot n \Rightarrow n_1=\dfrac{n}{0{,}8}=1{,}25n[/tex]
Броят на зрителите е нараснал с [tex]25\%[/tex].

Решение:
Сухото вещество не се променя. Отначало то е [tex]100\%-97\%=3\%[/tex] от [tex]210[/tex]:
[tex]0{,}03\text{ . }210=6{,}3[/tex]
По-късно то е [tex]9\%[/tex] от новото тегло [tex]x[/tex]:
[tex]0{,}09x=6{,}3 \Rightarrow x=70[/tex]
Изненадващо, теглото е намаляло три пъти!

Решение:
Количеството сол не се променя:
[tex]0{,}05\text{ . }10=0{,}5[/tex]
След добавяне на [tex]x[/tex] литра тя трябва да е [tex]2\%[/tex] от [tex]10+x[/tex]:
[tex]0{,}02(10+x)=0{,}5 \Rightarrow 10+x=25 \Rightarrow x=15[/tex]

Решение:
Нека [tex]A[/tex] струва [tex]x[/tex]; тогава [tex]B[/tex] струва [tex]2x[/tex], а комплектът — [tex]3x[/tex]. Новата цена на комплекта е
[tex]1{,}4x+1{,}25\cdot 2x=1{,}4x+2{,}5x=3{,}9x[/tex]
[tex]\dfrac{3{,}9x}{3x}=1{,}3[/tex]
Комплектът поскъпва с [tex]30\%[/tex]. (Не със средното [tex]32{,}5\%[/tex], защото [tex]B[/tex] е по-голямата част от цената.)

Решение:
Нека задачите са [tex]x[/tex]. След всеки ден остава:
[tex]x\to 0{,}6x\to 0{,}4\cdot 0{,}6x=0{,}24x\to 0{,}7\cdot 0{,}24x=0{,}168x[/tex]
[tex]0{,}168x=21 \Rightarrow x=125[/tex]
Проверка: [tex]125\to 75\to 30\to 21[/tex]

Решение:
Нека Марина е имала [tex]x[/tex]; тогава Лина е имала [tex]200-x[/tex]. На Лина са останали [tex]40\%[/tex], а на Марина — [tex]20\%[/tex] от парите:
[tex]0{,}4(200-x)+0{,}2x=50 \Rightarrow 80-0{,}2x=50 \Rightarrow x=150[/tex]
Проверка: [tex]0{,}4\text{ . }50+0{,}2\text{ . }150=20+30=50[/tex]

Решение:
Нека отначало учениците са [tex]n[/tex], т.е. момичетата са [tex]\frac{2n}{3}[/tex]. След като [tex]4[/tex] момичета напускат:
[tex]\dfrac{2n}{3}-4=0{,}6(n-4)\ \Big|\cdot 15[/tex]
[tex]10n-60=9n-36 \Rightarrow n=24[/tex]
Момичетата са били [tex]16[/tex]; сега са [tex]12[/tex] от [tex]20[/tex] ученици и [tex]\frac{12}{20}=60\%[/tex].

Решение:
Нека страната на [tex]20[/tex]-ъгълника е [tex]a[/tex]; тогава страната на осмоъгълника е [tex]1{,}4a[/tex]. Периметрите са:
[tex]8\cdot 1{,}4a=11{,}2a[/tex], [tex]20a[/tex]
[tex]\dfrac{11{,}2a}{20a}=0{,}56=56\%[/tex]
Периметърът на осмоъгълника е с [tex]100\%-56\%=44\%[/tex] по-малък.

Решение:
Лихвата за една година е [tex]3{,}5\%[/tex] от влога [tex]x[/tex]:
[tex]0{,}035x=245 \Rightarrow x=245:0{,}035=7000[/tex]

Решение:
Всяка година сумата се умножава по [tex]1{,}04[/tex]:
[tex]2500\text{ . }1{,}04=2600[/tex]
[tex]2600\text{ . }1{,}04=2704[/tex]
(При проста лихва щеше да е само [tex]2700[/tex]: през втората година се начислява лихва и върху лихвата от първата година.)

Решение:
Сборът на шестте числа е [tex]6\text{ . }32=192[/tex]. Ако числото е [tex]x[/tex], сборът на останалите пет е [tex]192-x[/tex]:
[tex]x=1{,}4\cdot \dfrac{192-x}{5} \Rightarrow 5x=268{,}8-1{,}4x \Rightarrow 6{,}4x=268{,}8 \Rightarrow x=42[/tex]
Проверка: [tex]\dfrac{192-42}{5}=30[/tex], [tex]1{,}4\text{ . }30=42[/tex]

Решение:
Увеличаване със [tex]150\%[/tex] означава умножаване по [tex]2{,}5[/tex]. Нека трите равни резултата са [tex]t[/tex]:
[tex]2{,}5a=t \Rightarrow a=0{,}4t[/tex], [tex]0{,}75b=t \Rightarrow b=\dfrac{4t}{3}[/tex], [tex]c-5=t \Rightarrow c=t+5[/tex]
[tex]0{,}4t+\dfrac{4t}{3}+t+5=87\ \Big|\cdot 15[/tex]
[tex]6t+20t+15t=1230 \Rightarrow 41t=1230 \Rightarrow t=30[/tex]
[tex]a=12[/tex], [tex]b=40[/tex], [tex]c=35[/tex]

Решение:
[tex]\dfrac{1{,}4a}{1{,}25b}=\dfrac{1{,}4}{1{,}25}\cdot \dfrac{a}{b}=1{,}12\cdot \dfrac{a}{b}[/tex]
Дробта се увеличава с [tex]12\%[/tex].

Решение:
Общата продажна цена е [tex]105\%[/tex] от общата покупна цена:
[tex]210:1{,}05=200[/tex]
Нека първата крава е струвала [tex]x[/tex], а втората — [tex]200-x[/tex]:
[tex]0{,}9x+1{,}1(200-x)=210 \Rightarrow 220-0{,}2x=210 \Rightarrow x=50[/tex]
Проверка: [tex]0{,}9\text{ . }50+1{,}1\text{ . }150=45+165=210[/tex]