Примерни задачи за кандидатстване след 8 клас

1. Да се реши уравнението:

2. Да се реши неравенството:
а) |x² + 5x| < 6;
б) (1 + x)² < |1 - x²|.

3. Даден е квадратният тричлен ƒ(x) = (a - 1)x² + 2ax + 3a - 2. Да се намерят всички стойности на параметъра a, за които:
а) уравнението ƒ(x) = 0 има два равни корена;
б) квадратният тричлен е точен квадрат.

4. Дадено е уравнението (x - 2)(x - 4) = (a - 2)(a - 4). Да се намери за кои стойности на реалния параметър a:
а) уравнението има реални корени;
б) единият корен е два пъти по-голям от другия.

5. Да се реши системата:
а)
|x² + 1/16 ≥ x/2
|x² + 1/16 ≤ x/2

б)
|2x² + x - 1 > 0
| 9x² + 1 > 0
| (2x - 1)/x + 2 < 1

6. Да се реши неравенството с параметър a:
а) x² - 2ax + 8a² < 0;
б) -a(ax + 3) > 0

7. Трамвайна линия има дължиня 15км. Ако трамвай увеличи скоростта си с 3км/ч той ще измине разстоянието от единия край до другия и обратно за време, с 1/2 часа по-малко от времето, за което изминава това разсточние, без да е увеличил скоростта си. Да се намери:
а) времето, за което трамваят, движейки се с увеличената скорост, изминава разстоянието от единия край до другия и обратно.
б) увеличената скорост на трамвая.

8. В съд имало 20л чист спирт. Част от този спирт отлели и допълнили със същото количество вода. След това отново отлели толкова литра, колкото и първия път, и отново долели същото количество вода, след което се оказало, че в съда чистият спирт е три пъти по-малко от водата.
а) Колко литра чист спирт е останало в съда?
б) Колко литра спирт са отлели първия път?

9. Обиколката на задното колело на една каруца е два пъти по-голяма от обиколката на предното. Ако обиколката на задното колело беше с 1 метър по-малка, а обиколката на предното 1 метър по-голяма, то на разстояние от 60м задното колело щеше да направи 30 оборота повече от предното. Да се определят обиколките на двете колела.

10. В ремонт на едно училище участвали бригада мазачи и бригада бояджии. И двете бригади получили за извършената от тях работа една и съща сума. Мазачите били с двама по-малко от бояджиите и поради това всеки мазач получил по 500лв. повече от всеки бояджия. Да се намери колко са били мазачите и колко бояджиите, ако е известно, че изплатената сума на всички работници е с 39 946лв. повече от утроеното число на работниците.

11. Даден е успоредникът ABCD. Ъглополовящата на острия ъгъл BAD пресича страната BC в точката K, а правата DC - в точката L. Точката O е център на описаната около триъгълника KLC окръжност.
Да се докаже, че:
а) триъгълниците OKC и OCL са еднакви;
б) точките D, B, C и O лежат на една окръжност.

12. Даден е триъгълникът ABC. Нека s е симетралата на страната AB, l е правата, върху която лежи ъглополовящата на външния ъгъл при върха C, и D е пресечната точка на l и s.
Да се докаже, че:
а) точката D лежи на описаната около триъгълника ABC окръжност;
б) ако CD = BC, правата l сключва равни ъгли с правите s и BQ, където Q е пресечна точка на s с описаната около ABC окръжност.

13. Дадена е окръжност с център S. Нека AB е хорда, не минаваща през S, а точката C е вътрешна за хордата AB. Окръжността, описана около триъгълника ASC, пресича повторно дадената окръжност в точката D.
Да се докаже, че:
а) ъгъл ASD = 2ABD;
б) CD = BC.

14. Нека F е средата на дъгата AB от окръжността, описана около триъгълника ABC, която не съдържа точката C. Да се докаже, че разстоянията от F до:
а) центъра на вписаната в триъгълника окръжност и до върховете A и B са равни;
б) центъра на външно вписаната окръжност, допираща се до страната AB и до върховете A и B са равни.

15. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност и продълженията на срещъположните му страни AB и CD се пресичат в точката E, а срещуположните страни AD и BC - в точката F. Ъглополовящите FQ (Q лежи на AB) и ET (T лежи на BC) се пресичат в точката O, а FQ пресича DC в точката S. Да се докаже, че:
а) ъгъл CSF = EQF
б) ET перпендикулярна на FQ

Втора група задачи за кандидатстване след 8 клас

Решения(упътвания) на задачите

1. Отговор.
а) x = -1; б) x = - 2; в) x₁ = 1, x₂ = 0; г) x₁ = -4, x₂ = 0, x₃ = 2.

2. Отговор. а) x (-6,-3) (-2,1); б) x (-∞,-1) (-1,0).

3. Отговор. а) a = 2, a = 1/2; б) a = 2.

4. Отговор. а) За всяко a; б) a = 2, a = 4.

5. Отговор. а) x = 1/4; б) x (-2,-1) (1/2,3).

6. Отговор. а) x (2a,4a) при а > 0, x (4a,2a) при a < 0, няма решение при a = 0; б) x < -3/ a при a ≠ 0, няма решение при a = 0.

7. Отговор. а) 2 1/2; б) 12км/час.

8. Отговор. а) 5л; б) 10л.

9. Отговор. 1м, 2м.

10. Упътване. Ако мазачите са x човека, то бояджиите са x - 2. Изплатените пари са 3(2x - 2) + 39 946 = 6x + 39 940. Двете бригади получили равни суми. Тогава един мазач е получил (6x + 39 940/2(x - 2)) лв., а един бояджия (6x + 39 940/2x) лв. Получава се уравнението (6x + 39 940/2(x - 2)) = (6x + 39 940/2x) + 500, откъдето се намира x = 10.

11. Упътване. а) Тъй като AK е ъглополовящата на ъгъл BAD, то ъгъл BAK = DAK = BKA = CKL = KLC. Тогава KB = AB = DC и KC = CL. Триъгълниците OKC и OCL са еднакви по III признак.
б) Триъгълниците KBO и CDO са еднакви, защото KB = CD, KO = CO и ъгъл BKO = DCO. Тогава OBK = ODC. Точките B и D се виждат под един и същ ъгъл от отсечката CO. Следователно B, O, C и D лежат на една окръжност.

12. Упътване. а) Ъглополовящата на ъгъл ACB минава през точкита Q. Симетралата s също минава през Q и пресича l в точката D. Но ъгъл QCD = 90°. Следователно k минава през точката D.
б) Означете с P пресечната точка на l и QB. Щом CD = BC, то ъгъл CQD = CQP, т.е. триъгълник DQP е равнобедрен.

13 Упътване. а) Означете централния ъгъл ASD в дадената окръжност с 2α. Тогава ъгъл ABD = α;
б) Използвайте, че ъгъл ACD = ASD и ъгъл ACD = CDB + CBD.

14. Упътване. Означете с O₁ и O₂ центровете съответно на вписаната и външно вписаната окръжност. Ако ъглите на триъгълник ABC са α, β и γ, то:
а) ъгъл FAO₁ = FAB + BAO₁ = γ/2 + α/2 и AO₁F = γ/2 + α/2 (външен за триъгълник AO₁C), следователно AF = FO₁;
б) Тъй като ъгъл O₂AO₁ = 90°, то ъгъл O₂AF = 90° - (α + γ/2), но ъгъл AO₂O₁ = 90° - (α + γ/2). Следователно триъгълник AO₂F е равнобедрен.

15. Упътване. а) ъгъл SCF = (CD + CB)/2 = ъгъл BAD. От триъгълник AQF и CSF се намира, че ъгъл AQF = 180° - (QAF + 1/2AFB) = 180° - (SCF + 1/2AFB) = CSF;
б) Тъй като ъгъл FSC = ESQ = EQS, то триъгълник QES е равнобедрен и EQ и EF са перпендикулярни.

Втора група задачи за кандидатстване след 8 клас

Още за 8 клас във форума

Форум за 8 клас

Още 8 клас във форума за математика