МенюПримерен тест за ДЗИ(матура) по математика
Автор на теста е:
г-н Николай Чакъров от Шумен
ПГОХХТ "Проф. д-р Асен Златаров"
Изпратете и вашите материали на: math10.com@gmail.com
УКАЗАНИЕ
Формат на теста
Тестът съдържа 28 задачи по математика
Тестови задачи от двата вида
• 20 задачи със структуриран отговор с четири възможни отговор, от които само един е верен
• 5 задачи със свободен отговор
• 3 задачи, решенията на които се представят в писмен вид с необходимиге обосновки
Максимален брой точки на целия тест е 100
Време на работа – 4 астрономически часа.
I Част
Задача 1. Стойността на израза x1(1 - x2) + x2, където x1, x2 са корени на уравнението x2 - x + 1 = 0 е:
1 0 2 -1
Задача 2. Проверете кои от числата са корени на уравнението x2 + 3x - 4 = 0:
1 и 4 4 и -1 -1 и -4 1 и -4
Задача 3. Кои от числата са корени на уравнението
√x2 + 4x - 5 = 2x + 3
-2 няма решение -2/3 -1
Задача 4. Числото 1 не е корен на уравнението
$\frac{2x^2 - x - 1}{x - 2} = 0$
$x^4 + x^2 - 2 = 0$
$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$
Задача 5. Кое от числата е най-голямо?
$\left(\frac{4}{7} \right)^{-\frac{2}{3}}, \ \left(\frac{49}{16}\right)^{\frac{3}{4}}, \ \left(\frac{16}{49}\right)^{-\frac{1}{4}}$
$\left(\frac{4}{7} \right)^{-\frac{2}{3}}$ $\left(\frac{49}{16}\right)^{\frac{3}{4}}$ $\left(\frac{16}{49}\right)^{-\frac{1}{4}}$ равни са
Задача 6. За коя стойност на $х$ съществува $log_{\frac{1}{x}}(5-x)$
x > 5 x < 5 x > 0 x
(0, 1) и (1, 5)
Задача 7. Решенията на неравенството 4x2 ≥ 16 са
x
[-2;2]
x (-∞;-2] и [2;+∞)
x ≥ -2
x ≥ 2
Задача 8. Изразът sin(α + β) - sin(α - β) след опростяване добива вида:
2cos α sin β 2cos α 2sin β 0
Задача 9. Кое от числата НЕ Е от дефиниционната област на функцията
ƒ(x) = √x2 - 4x + 3
x = 2 x = 1 x = 3 x = 5
Задача 10. Ако $\cos x=-\frac{24}{25}$ и $x\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$, то кои са стойностите на $\sin x$ и $\tg x$
$\sin x = \frac{7}{25}, \tg x = \frac{-7}{24}$
$\sin x = \frac{-7}{25}, \tg x = \frac{7}{24}$
$\sin x = \frac{-7}{25}, \tg x = \frac{7}{24}$
$\sin x = \frac{-7}{25}, \tg x = \frac{24}{7}$
Задача 11. Решение на неравенството 6x2 - 29 ≥ 5x2 - 7x - 29 са:
x
[0; +∞)
x [-7; 0]
x (-∞; -7] и [0; +∞)
x (-∞; -7]
Задача 12. Ако х
[1;3],то най-малката стойност на y = x2 е:
1 9 0 ½
Задача 13. Ако $A=lg\frac{1}{2}-lg\frac{3}{2}+lg\frac{3}{4}-lg\frac{1}{4}$, то А.log555 е равно на:
1 5 -1 0
Задача 14. Посочете стойността на израза: 3sin180° - xos0°
0 -1 3 2
Задача 15. Решенията на неравенството
(log2x)2 - log2x - 2 ≤ 0 са:
½ < x < 4 x
(0;1]
x [-1;2]
x [2;∞)
Задача 16. Точките M и N са средите на страната AC и BC на триъгълник АВС. Лицето на триъгълник АВС е 16 см2. Лицето на триъгълник МNС е
4 64 2 ½
Задача 17. Ако в ромба АВСD са дадени диагонал АС = d и
ABC = β, то лицето на ромба АBCD е:
$\frac{d^2sin \beta}{2}$
$\frac{d^2cotg\frac{\beta}{2}}{2}$
$\frac{d^2sin \beta}{2}$
$\frac{d^2cotg }{2}$
Задача 18. Вероятност на случайно събитие НЕ може да бъде числото:
$\sqrt{3}$ $\log_3\sqrt{3}$ $\sin{\frac{3 \pi}{4}}$ $2^{-2}$
Задача 19. Ако дължината на страната на един триъгълник е 6 см, а тангенсът на срещуположния й ъгъл е равен на 3, то радиусът на описаната около този триъгълник окръжност е равен на?
$2\sqrt{10}$ $\sqrt{10}$ $6\sqrt{10}$ $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
Задача 20. Ако $x_1 = 1$; $x_2 = \sin30^\circ;$, то квадратното уравнение с корени $x_1$ и $x_2$ е:
$x^2 - 3x + 2 = 0$ $2x^2 - 3x + 1 = 0$ $x^2 + 3x - 2 = 0$ $2x^2 + 3x - 1 = 0$
II Част
Задача 21. Да се реши уравнението $\sqrt{3x + 4} - \frac{1}{\sqrt{3x + 4}} = 3$
Задача 22. В триъгълника АВС със страна АС = 5 см, ВС = 12 см и медиана СМ = 6,5 см. Намерете лицето на триъгълника.
Задача 23. Намерете решението на системата:
|log3(y/4) = 1 - x
|3x + y = 7.
Задача 24. Да се реши неравенството
$3^{\frac{x - 3}{3x - 2}} < 3$
Задача 25. Да се намери колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите 0, 1, 2, 3 и 4 така, че да не се повтаря нито една от тях.
III Част
Задача 26.Да се реши уравнението x4 - 2ax3 + a2x2 - 2x2 + 2ax - 15 = 0, където a е реален параметър.
Задача 27. Три дадени числа със сума 39 образуват геометрична прогресия. Първото от тях е пети, а второто – осми член на аритметична прогресия на която сумата от първите 9 члена е равно на третото дадено число. Да се намерят прогресиите.
Задача 28. В куба ABCDA1B1C1D1 телесният диагонал AC1 има дължина √48. Върху основните ръбове AD и BC са избрани съответно точките M и N така, че AM:MD = CN:NB = 3:1. През точките M, N и C1 е построена равнина λ. Да се намери косинусът на ъгъла, който равнината λ сключва с равнината на околната стена CDD1C1 на куба и отношението на обемите на двата многостена, на които равнината λ разделя куба.
Отговори - 2 част
21 задача x > -4/3; x = (1 + √13)/2
22 задача 20√13
23 задача (1; 4) (log34; 3)
24 задача x (-∞; -1/2) и (2/3; +∞)
25 задача 48
Отговори - 3 част
Критерии за разпределение на точките на задачите от част ІІІ
Задача 26.
• Получаването на уравнението (x2 - ax)2 - 2(x2 - ax) - 15 = 0 след преобразуване -> 8 точки;
• Полагането на x2 - ax = y и намирането на корените на уравнението y2 - 2y - 15 = 0, y1 = -3, y2 = 5. -> 2 точки;
• Решаването на уравненията
$y_1 = -3, x^2 - ax = -3, x_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 3}}{2}$ при |a| > 2√3 -> 3 точки;
$y_2 = 5, x^2 - ax = -3, x_{3,4} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 20}}{2}$ за всяко а -> 3 точки;
• Оформяне на отговора -> 1 точка.
Задача 27
• За геометричната прогресия b1, b2, b3 написването на свойствата и системата
|b1 + b2 +b3 = 39
|b22 = b1b3
и като се има в предвид b1 = a5, b2 = a8 и b3 = S9 на аритметичната прогресия a1, a2,...., a9 със сума S9 и системата записана във вида
|a5 + a8 + S9 = 39
|a82 = a5S9
еквивалентна на
|$a_1 + 4d + a_1 + 7d + \frac{2a_1 + 8d}{2}.9 = 39$
|(a1 + 7d)2 = (a1 + 4d)9(a1 + 4d)
-> 10 точки;
• Решаването на системата
|10(a1 + 4d) + (a1 + 7d) = 39
|(a1 + 7d)2 = 9(a1 + 4d)2
която води до решаването на системите
|10(a1 + 4d) + (a1 + 7d) = 39
|(a1 + 7d) = 3(a1 + 4d)
и
|10(a1 + 4d) + (a1 + 7d) = 39
|(a1 + 7d) = -3(a1 + 4d)
-> 1 точка;
• Решаването на първата система и намирането на прогресията b1 = 3, q = 3 и a1 = -5, d = 2 -> 2 точки;
• Решаването на втората система и намирането на прогресията b1 = 39/7, q = -3 и a1 = 247/7, d = -52/7 -> 2 точки.
Задача 28.
• Определяне на вида на сечението и ъгъла φ(λ, CC1D1D) -> 8 точки;
При така определените означения AB = a, AC1 = a√3 => a = 4 => BN = DM = 1, NC = AM = 3.
Доказва се MP || NC1 - защото PD || CC1, MD || NC. То сечението на куба с равнината λ – трапец NC1PM.
Нека прекараме CK 
C1Q. Проекцията на NK върху равнината CC1D1D е CK, NC (CC1D1D) => NC CK, но CK QC1 (от Т трите перпендикуляра) => NK QC1 => (λ, CC1D1D) = NKC = φ
• Намирането на cosφ -> 2 точки;
От подобието на триъгълниците 
MDQ ≈ CNQ => $\frac{QD}{QD + 4} = \frac{MD}{NC} = \frac{1}{3}$. От тук QD = 2, QC = 6.
От правоъгълния триъгълник QCC1 намираме $CK = \frac{6.4}{\sqrt{6^2 + 4^2}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$. От правоъгълния NCK следва, че $cos \phi = \frac{CK}{NK} = \frac{12}{\sqrt{13.\sqrt{3^2 + \frac{12^2}{13}}}} = \frac{4}{\sqrt{29}} = \frac{4\sqrt{29}}{29}$.
Забележка: За пресмятане на cosφ може да се използва и формулата cosφ = S1/S2 където S1 е лицето на проекцията на сечението NC1PM върху околната стена CDD1C1, а S2 е лицето на сечението NC1PM.
• Определяне на обема на пресечената пирамида използвайки формулата $V_1 = \frac{h}{3}\left(B + B_1 + \sqrt{BB_1}\right)$ -> 2 точки;
V1 - обема на пресечената пирамида NCC1MDP с основи NCC1, MDP и височина h = CD = 4. Пресмятаме $B = S_{MCC_1} = \frac{CC_1.CN}{2} = 6$. От DP:CC1 = QD:QC = 1:3 следва DP = 4/3. Тогава $B_1 = \frac{DM.DP}{2} = \frac{2}{3}$ Следователно $V_1 = \frac{h}{3}\left(B + B_1 + \sqrt{BB_1}\right) = \frac{104}{9}$.
• Определяне на V2 на другия многостен е V2 = V - V1 = 472/9 -> 2 точки;
• Оформяне на решението V1 : V2 = 13 : 59.
