Изпит по математика. Тренировъчна тема №4

Темата за изпита по математика е взета от сайта на ПМГ-Стара Загора.

Задача 1. Три дадени числа със сума 39 образуват геометрична прогресия. Първото от тях е пети, а второто - осми член на аритметична прогресия, на която сумата от първите девет члена е равна на третото дадено число. Да се намерят прогресиите.

Задача 2. В правоъгълния трапец АВСD (АВ||СD, АВ > СО, tg<АВС = 3/4) ъглополовящата на <АВС пресича правата СD в Е. Окръжността, описана около ΔАВЕ, се допира до правата СD.
а)   Да се намери отношението АВ : СD.
б)   Описаната около ΔАВС окръжност пресича за втори път правата АВ в точката М. Да се намери отношението АМ : DМ.

Задача 3. Петата Н на височината от върха С в ΔАВС дели страната АВ вътрешно в отношение АН : ВН = 2 : 1. Правата, минаваща през центъра на описаната около ΔАВС окръжност и през медицентъра на ΔBСН, е успоредна на АВ.
а)   Да се намерят косинусите на ъглите на ΔАВС.
б)   Точката М е среда на отсечката АВ и дължините на отсечките АВ, СМ и ВНса съответно първи, втори и n-ти член на една аритметична прогресия. Да се намери n.

Задача 4. За всяка стойност на реалния параметър а да се реши уравнението
|2х² - х - 1| + |х - а| = -2а² + а + 1.

Отговори на задачите от тренировъчна тема №4

1 Задача:
a₁ = 3, q = 3; b₁ = -5, d = 2
или
a₁ = 39/7, q = -3; b₁ =247/7, d = -52/7

2 Задача:
a) AB : CD = 9 : 7; б) АМ : DM = 47 : 56, точката е между D и М.

3 Задача:
a) cos7/7, cos70/35, cos10/5;
б) n = 5

4 Задача:
При a (-∞; -1/2) (1; +∞) уравнението няма решение;
При a = -1/2, x = -1/2;
При a (0; 1/2), x = (1 - √5 - 4a)/2; x = a; x = -a; x = a; x = 1 - a; x = √-a² + a + 1;
При a = 1/2, x = -1/2; x = 1/2; x = √5/2;
При a = 1, x = 1.