МенюЗАДАЧИ ОТ НЯКОИ ПРОВЕДЕНИ КОНКУРСНИ ИЗПИТИ ЗА ПРИЕМ В НАЦИОНАЛНАТА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ – ВСИЧКИ ПРОФИЛИ
1997 г., НПМГ—всички профили
Задача 1.
Дадени са изразите
$A=2x-\frac{2x-1}{3}+\frac{1-2x}{6}-1{,}5$ и $B=(2+\nobreak x)^2-2(1-\nobreak x)^2+(-x+\nobreak 2)^2$.
а) Да се приведат $A$ и $B$ в нормален вид.
б) за кои стойности на $x$ е изпълнено равенството $A\cdot B=0$?
в) Да се провери дали числото $a=\frac{2^{10}\cdot 3^9}{12^6}-9$ е решение на неравенството $A\gt B$?
РЕШЕНИЕ
а) Като извършим еквивалентни преобразувания, получаваме
$A=2x-\frac{2x-1}{3}-\frac{2x-1}{6}-1{,}5$
$=2x-(2x-\nobreak 1)\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)-1{,}5$
$=2x-\frac{2x-1}{2}-1{,}5=2x-x+0{,}5-1{,}5=x-1$
$B=(2+\nobreak x)^2-2(1-\nobreak x)^2+(-x+\nobreak 2)^2$
$=4+4x+x^2-2+4x-2x^2+x^2-4x+4=4x+6$.
б) Като вземем предвид, че произведението на два израза е равно на нула точно тогава, когато поне един от множителите е равен на нула, намираме
$A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0$ или $B=0$,
$A=0 \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1$
$B=0 \Leftrightarrow 4x+6=0 \Leftrightarrow x=-\frac{6}{4}$, $x=-\frac{3}{2}$
Тогава $A\cdot B=0$ при $x_1=1$ или $x_2=-\frac{3}{2}$.
в) Опростяваме израза за $a$ и получаваме
$a=\frac{2^{10}\cdot 3^9}{12^6}-9=\frac{2^{10}\cdot 3^9}{(2^2)^6\cdot 3^6}-9$
$=\frac{2^{10}\cdot 3^{9-6}}{2^{12}}-9=\frac{3^3}{2^{12-10}}-9=\frac{27}{4}-9=\frac{27-36}{4}=-\frac{9}{4}$.
За така намерената стойност на $a$ пресмятаме стойностите на изразите $A$ и $B$:
$A=a-1=-\frac{9}{4}-1=-\frac{13}{4}$.
$B=6+4a=6+4\left(-\frac{9}{4}\right)=\frac{24-36}{4}=-\frac{12}{4}$.
Понеже $A=-\frac{13}{4}\lt -\frac{12}{4}=B$, то числото $a$ не е решение на неравенството $A\gt B$.
1998 г., НПМГ—всички профили
Задача 1.
Да се реши:
а) уравнението $(x+\nobreak 5)(x+\nobreak 2)-3(4-\nobreak 3x)=(x-\nobreak 3)^2$;
б) неравенството $\frac{1}{2}\left(2-\frac{6-x}{3}\right)-1\frac{7}{8}\lt x$.
Задача 2.
Даден е изразът $A=x^2-9+4y^2-4xy$.
а) Да се разложи $A$ на множители.
б) Да се пресметне числената стойност на $|A|$, ако
$x=y=6\left(\frac{1}{18^2}:\frac{1}{18}-\frac{8^4\cdot 3^8}{36^5}\right)$.
РЕШЕНИЕ на задача 1.
а) Извършваме еквивалентни преобразувания и получаваме:
$(x+\nobreak 5)(x+\nobreak 2)-3(4-\nobreak 3x)=(x-\nobreak 3)^2$
$\Leftrightarrow x^2+2x+5x+10-12+9x=x^2-6x+9$
$\Leftrightarrow 22x=11 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$.
б) След еквивалентни преобразувания намираме:
$\frac{1}{2}\left(2-\frac{6-x}{3}\right)-1\frac{7}{8}\lt x \Leftrightarrow \frac{2}{2}-\frac{6-x}{6}-\frac{15}{8}\lt x$
$\Leftrightarrow 24-24+4x-45\lt 24x \Leftrightarrow -20x\lt 45$
$\Leftrightarrow x\gt -\frac{45}{20}$, т.е. $x\gt -\frac{9}{4}$.
Следователно $x\in \left(-\frac{9}{4};\,\infty\right)$ (фиг. 5).
РЕШЕНИЕ на задача 2.
а) След групиране на първото, третото и четвъртото събираемо получаваме:
$A=x^2-9+4y^2-4xy=(x-\nobreak 2y)^2-3^2=(x-\nobreak 2y-\nobreak 3)(x-\nobreak 2y+\nobreak 3)$
б) Да пресметнем числото $x$:
$x=y=6\left(\frac{1}{18^2}:\frac{1}{18}-\frac{8^4\cdot 3^8}{36^5}\right)=6\left(\frac{1}{18}-\frac{4}{9}\right)=\frac{1}{3}-\frac{8}{3}=-\frac{7}{3}$.
Тогава
$|A|=\biggl|\left(-\frac{7}{3}+2\cdot\frac{7}{3}+3\right)\allowbreak\left(-\frac{7}{3}+2\cdot\frac{7}{3}-3\right)\biggr|$
$=\left|\left(\frac{7}{3}+3\right)\left(\frac{7}{3}-3\right)\right|=\left|\left(\frac{7}{3}\right)^2-9\right|$
$=\left|\frac{49}{9}-9\right|=\left|\frac{49-81}{9}\right|=\left|-\frac{32}{9}\right|=\frac{32}{9}$.
1999 г., НПМГ – всички профили
Задача 1.
Дадени са изразите $A=\frac{5}{4}\left(x^2-\frac{4}{5}x\right)-\left(\frac{1}{2}x-3\right)\left(3+\frac{1}{2}x\right)-11$ и $B=x(x-\nobreak 5)^2+4x(2x-\nobreak 3)-(x-\nobreak 2)^3-(-2x)^2$.
а) Да се приведат изразите $A$ и $B$ в нормален вид.
б) Да се пресметне числото $C=\frac{16^5\cdot 81^3\cdot (-2)^6}{(-27)^3\cdot 4^{13}}$ и да се реши уравнението $B=C$.
в) Да се разложи изразът $A$ на множители и да се намерят всички цели числа $x$, за които $A\lt 0$.
РЕШЕНИЕ
а) Дадените изрази $A$ и $B$ ще приведем в нормален вид, като разкрием скобите и направим приведение:
$A=\frac{5}{4}\left(x^2-\frac{4}{5}x\right)-\left(\frac{1}{2}x-3\right)\left(3+\frac{1}{2}x\right)-11$
$=\frac{5x^2}{4}-x-\left(\frac{x^2}{4}-9\right)-11$
$=\frac{5x^2}{4}-x-\frac{x^2}{4}+9-11=x^2-x-2$
$B=x(x-\nobreak 5)^2+4x(2x-\nobreak 3)-(x-\nobreak 2)^3-(-2x)^2$
$=x(x^2-\nobreak 10x+\nobreak 25)+8x^2-12x-(x^3-\nobreak 6x^2+\nobreak 12x-\nobreak 8)-4x^2$
$=x^3-10x^2+25x+8x^2-12x-x^3+6x^2-12x+8-4x^2=x+8$.
б) прилагаме свойствата на степените и получаваме
$C=\frac{16^5\cdot 81^3\cdot (-2)^6}{(-27)^3\cdot 4^{13}}=-\frac{2^{20}\cdot 3^{12}\cdot 2^6}{3^9\cdot 2^{26}}=-\frac{2^{26}\cdot 3^3}{2^{26}}=-27$.
Тогава от равенството $B=C$ получаваме уравнението $x+8=-27$, което има решение $x=-35$.
в) Изразът $A=x^2-x-2$ разлагаме на множители по следния начин:
$A=x^2-2x+x-2=x(x-\nobreak 2)+(x-\nobreak 2)=(x-\nobreak 2)(x+\nobreak 1)$
Като вземем предвид, че неравенството $A=(x-\nobreak 2)(x+\nobreak 1)\lt 0$ е удовлетворено точно тогава, когато множителите $x-2$ и $x+1$ имат различни знаци, получаваме следните две системи неравенства
$\left|\begin{aligned}&x-2\lt 0\\ &x+1\gt 0\end{aligned}\right.$ или $\left|\begin{aligned}&x-2\gt 0\\ &x+1\lt 0\end{aligned}\right.$
т.е.
$\left|\begin{aligned}&x\lt 2\\ &x\gt -1\end{aligned}\right.$ или $\left|\begin{aligned}&x\gt 2\\ &x\lt -1\end{aligned}\right.$
Следователно решенията на първата система са $x\in (-1;\,2)$, а втората система няма решение. Ясно е тогава, че целите числа, удовлетворяващи неравенството $x\in (-1;\,2)$, са числата $0$ и $1$.
2000 г., НПМГ – всички профили
Задача 1.
Даден е изразът $A=x(2-\nobreak x)^2-9x+2(x+\nobreak 1)^2$.
а) Да се приведе $A$ в нормален вид.
б) Да се разложи $A$ на множители.
в) За кои стойности $x$ е изпълнено равенството $A=0$?
г) За кои стойности на $x$ е изпълнено неравенството $A\le 2(1-\nobreak x)$?
РЕШЕНИЕ
а) Като извършим необходимите преобразувания, получаваме
$A=x(2-\nobreak x)^2-9x+2(x+\nobreak 1)^2$
$=x(4-\nobreak 4x+\nobreak x^2)-9x+2(x^2+\nobreak 2x+\nobreak 1)$
$=x^3-4x^2+4x-9x+2x^2+4x+2$
$=x^3-2x^2-x+2$
б) От първите два члена изнасяме пред скоби $x^2$, а от третия и четвъртия член – знак минус, и получаваме
$A=x^3-2x^2-x+2=x^2(x-\nobreak 2)-(x-\nobreak 2)$
$=(x-\nobreak 2)(x^2-\nobreak 1)=(x-\nobreak 2)(x-\nobreak 1)(x+\nobreak 1)$.
в) Корените на уравнението
$A=(x-\nobreak 2)(x-\nobreak 1)(x+\nobreak 1)=0$
получаваме, като приравним на нула всеки от множителите в произведението $(x-\nobreak 2)(x-\nobreak 1)(x+\nobreak 1)$. Следователно $x_1=2$ и $x_{2,3}=\pm 1$.
г) Най-напред извършваме еквивалентни преобразувания
$A\le 2(1-\nobreak x) \Leftrightarrow (x-\nobreak 2)(x-\nobreak 1)(x+\nobreak 1)\le 2(1-\nobreak x)$
$\Leftrightarrow (x-\nobreak 1)[(x^2-\nobreak x-\nobreak 2)+2]\le 0 \Leftrightarrow (x-\nobreak 1)(x^2-\nobreak x)\le 0$
$\Leftrightarrow x(x-\nobreak 1)^2\le 0$.
Тъй като $(x-\nobreak 1)^2\ge 0$, то решенията на това неравенство са $x\in (-\infty;\,0]\cup \{1\}$.
2001 г., НПМГ – всички профили
Задача 1.
Да се представят изразите
$A=(x-\nobreak 1)(x^2+\nobreak 1)(x+\nobreak 1)-(x^2-\nobreak 1)^2-(x+\nobreak 2)(x+\nobreak 4)+19$
и
$B=x(x+\nobreak 2)^2-(x-\nobreak 1)(x^2+\nobreak x+\nobreak 1)$
в нормален вид и да се намерят стойностите на $x$, за които:
а) $AB=0$;
б) $A\gt \frac{B}{4}$;
в) $A-B=0$, като преди това $A-B$ се разложи на множители.
РЕШЕНИЕ
Като извършим съответните еквивалентни преобразувания на изразите $A$ и $B$, получаваме:
$A=(x-\nobreak 1)(x^2+\nobreak 1)(x+\nobreak 1)-(x^2-\nobreak 1)^2-(x+\nobreak 2)(x+\nobreak 4)+19$
$=(x^2-\nobreak 1)(x^2+\nobreak 1)-(x^4-\nobreak 2x^2+\nobreak 1)-(x^2+\nobreak 6x+\nobreak 8)+19$
$=x^4-1-x^4+2x^2-1-x^2-6x-8+19=x^2-6x+9$
$B=x(x+\nobreak 2)^2-(x-\nobreak 1)(x^2+\nobreak x+\nobreak 1)=x(x^2+\nobreak 4x+\nobreak 4)-(x^3-\nobreak 1)$
$=x^3+4x^2+4x-x^3+1=4x^2+4x+1$.
а) Тъй като $AB=0 \Leftrightarrow (x^2-\nobreak 6x+\nobreak 9)(4x^2+\nobreak 4x+\nobreak 1)=0 \Leftrightarrow (x-\nobreak 3)^2(2x+\nobreak 1)^2=0$, то $x_{1,2}=3$ и $x_{3,4}=-\frac{1}{2}$.
б) Извършваме еквивалентни преобразувания и получаваме
$A\gt \frac{B}{4} \Leftrightarrow x^2-6x+9\gt \frac{4x^2+4x+1}{4}$
$\Leftrightarrow x^2-6x+9\gt x^2+x+\frac{1}{4} \Leftrightarrow 7x\lt \frac{35}{4}$
$\Leftrightarrow x\lt \frac{5}{4}$.
в) След еквивалентни преобразувания намираме
$A-B=0 \Leftrightarrow x^2-6x+9-(4x^2+\nobreak 4x+\nobreak 1)=0$
$\Leftrightarrow (x-\nobreak 3)^2-(2x+\nobreak 1)^2=0 \Leftrightarrow (x-\nobreak 3+\nobreak 2x+\nobreak 1)\allowbreak(x-\nobreak 3-\nobreak 2x-\nobreak 1)=0$
$\Leftrightarrow (3x-\nobreak 2)(-x-\nobreak 4)=0 \Leftrightarrow (3x-\nobreak 2)(x+\nobreak 4)=0$
$\Leftrightarrow x_1=\frac{2}{3}$ и $x_2=-4$.
2002 г., НПМГ – всички профили
Задача 1.
Да се представят изразите
$A=(2x-\nobreak 5)^2-(2x-\nobreak 1)(1+\nobreak 2x)$ и $B=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{4x^2-7}{4}$
в нормален вид и да се намерят стойностите на $x$, за които:
а) $A=B$; б) $|B|=3$; в) $A\cdot B\gt 0$.
РЕШЕНИЕ
Опростяваме изразите $A$ и $B$:
$A=(2x-\nobreak 5)^2-(2x-\nobreak 1)(1+\nobreak 2x)=4x^2-20x+25-(4x^2-\nobreak 1)$
$=4x^2-20x+25-4x^2+1=-20x+26$.
$B=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{4x^2-7}{4}=x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{4x^2}{4}+\frac{7}{4}=x+2$.
а) Решаваме уравнението $A=B$:
$-20x+26=x+2 \Leftrightarrow 26-2=x+20x$
$\Leftrightarrow 21x=24 \Leftrightarrow 7x=8 \Leftrightarrow x=\frac{8}{7}$.
б) Решаваме уравнението $|B|=3$;
$|x+2|=3$, $x+2=3$ или $x+2=-3$, $x=1$ или $x=-5$.
в) Решаваме неравенството $A\cdot B\gt 0$, т.е. $(-20x+\nobreak 26)(x+\nobreak 2)\gt 0$.
Това произведение е положително точно тогава, когато двата множителя са положителни или и двата са отрицателни, т.е.
$\left|\begin{aligned}-20x+26&\gt 0\\ x+2&\gt 0,\end{aligned}\right.$ $\left|\begin{aligned}&x\lt \frac{26}{20}\\ &x\gt -2,\end{aligned}\right.$ $\left|\begin{aligned}&x\lt 1{,}3\\ &x\gt -2,\end{aligned}\right.$ $x\in (-2;\,1{,}3)$
или
$\left|\begin{aligned}-20x+26&\lt 0\\ x+2&\lt 0,\end{aligned}\right.$ $\left|\begin{aligned}&x\gt \frac{26}{20}\\ &x\lt -2,\end{aligned}\right.$ $\left|\begin{aligned}&x\gt 1{,}3\\ &x\lt -2,\end{aligned}\right.$ няма решение.
Окончателно получихме, че решенията на неравенството $A\cdot B\gt 0$ са всички числа от интервала $(-2;\,1{,}3)$.
2003 г., НПМГ – всички профили
Задача 1.
Дадени са изразите
$A=(x+\nobreak 3)^2-(-x-\nobreak 2)^2-6$ и $B=(2-\nobreak x)^2-3(1-\nobreak x)(x+\nobreak 1)$.
а) Да се приведат $A$ и $B$ в нормален вид.
б) Да се намерят стойностите на $x$, за които $B\le 0$.
в) Да се намерят стойностите на $x$, за които $A^2=A-B$.
г) Да се намерят стойностите на $x$, за които $|A|=\frac{1}{4}$.
РЕШЕНИЕ
а) Извършваме тъждествени преобразувания и получаваме:
$A=(x+\nobreak 3)^2-(-x-\nobreak 2)^2-6=x^2+6x+9-(x^2+\nobreak 4x+\nobreak 4)-6=2x-1$
$B=(2-\nobreak x)^2-3(1-\nobreak x)(x+\nobreak 1)=4-4x+x^2-3(1-\nobreak x^2)$
$=4-4x+x^2-3+3x^2=4x^2-4x+1$.
б) Тъй като $B=4x^2-4x+1=(2x-\nobreak 1)^2\ge 0$ за всяко $x$, неравенството $B\le 0$ ще бъде изпълнено само тогава, когато $B=0$, т.е. $(2x-\nobreak 1)^2=0$, $2x-1=0$, $x=\frac{1}{2}$.
в) Преобразуваме равенството $A^2=A-B$:
$(2x-\nobreak 1)^2=2x-1-(4x^2-\nobreak 4x+\nobreak 1)$, $2(2x-\nobreak 1)^2=2x-1$,
$(2x-\nobreak 1)(2(2x-\nobreak 1)-\nobreak 1)=0$, $(2x-\nobreak 1)(4x-\nobreak 3)=0$.
Равенството $A^2=A-B$ ще бъде изпълнено само тогава, когато $2x-1=0$ или $4x-3=0$. Следователно при $x_1=\frac{1}{2}$ или $x_2=\frac{3}{4}$.
г) Решаваме уравнението $|2x-1|=\frac{1}{4}$, което е еквивалентно на $2x-1=\frac{1}{4}$ или $2x-1=-\frac{1}{4}$. Тогава $2x=\frac{5}{4}$ или $2x=\frac{3}{4}$ и $x_1=\frac{5}{8}$ или $x_2=\frac{3}{8}$.
ЗАДАЧИ ОТ НЯКОИ ПРОВЕДЕНИ КОНКУРСНИ ИЗПИТИ ЗА ПРИЕМ В НАЦИОНАЛНАТА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ-ПРОФИЛ МАТЕМАТИКА
1997 г., НПМГ – профил математика
Задача 1.
а) Да се разложат на множители от първа степен изразите
$A=t^2-2t-3$ и $B=(x^2-\nobreak 2x)^2+2(2x-\nobreak x^2)-3$.
б) Да се докаже, че за всяко $x$ е изпълнено неравенството $B\gt -5$.
в) Да се намерят всички цели числа $x$, за които стойността на израза $B$ е $1152$.
РЕШЕНИЕ
а) Чрез тъждествени преобразувания разлагаме израза $A$ на множители от първа степен:
$A=t^2-2t-3=t^2-2t+1-4=(t-\nobreak 1)^2-4$
$=(t-\nobreak 1-\nobreak 2)(t-\nobreak 1+\nobreak 2)=(t-\nobreak 3)(t+\nobreak 1)$.
За да разложим израза $B$, полагаме $x^2-2x=t$ и използваме разлагането на $A$:
$B=(x^2-\nobreak 2x)^2+2(2x-\nobreak x^2)-3=(x^2-\nobreak 2x)^2-2(x^2-\nobreak 2x)-3$
$=t^2-2t-3=(t-\nobreak 3)(t+\nobreak 1)=(x^2-\nobreak 2x-\nobreak 3)(x^2-\nobreak 2x+\nobreak 1)$
$=(x-\nobreak 3)(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 1)^2$.
б) За да докажем, че за всяко $x$ е изпълнено неравенството $B\gt -5$, преобразуваме израза $B+5$:
$B+5=[(x^2-\nobreak 2x)^2+2(2x-\nobreak x^2)-3]+5=(x^2-\nobreak 2x)^2-2(x^2-\nobreak 2x)+2$
$=(x^2-\nobreak 2x)^2-2(x^2-\nobreak 2x)+1+1=(x^2-\nobreak 2x-\nobreak 1)^2+1$.
Но $(x^2-\nobreak 2x-\nobreak 1)^2\ge 0$, а $1\gt 0$. Следователно за всяко $x$ е изпълнено $(x^2-\nobreak 2x-\nobreak 1)^2+1\gt 0$. Щом $B+5\gt 0$ за всяко $x$, то $B\gt -5$ за всяко $x$.
в) Да означим с $x$ онова цяло число, за което $B=1152$. Но от а) видяхме, че $B=(x-\nobreak 1)^2(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 3)$. Следователно получаваме, че $x$ удовлетворява уравнението $(x-\nobreak 1)^2(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 3)=1152$.
От начина на записване на числата $x-1$, $x+1$ и $x-3$ следва, че те са едновременно четни или нечетни. Като вземем предвид, че произведението им е четно число, намираме, че трябва да са последователни четни числа. Тъй като $1152=2^7\cdot 3^2$, то произведението $(x-\nobreak 1)^2(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 3)$ трябва да се дели на $3$. Ако допуснем, че две от тези числа се делят на $3$, то и тяхната разлика ще се дели на $3$. Но тогава стигаме до противоречие, защото възможните разлики са $2$ и $4$, а те не се делят на $3$. Това означава, че точно едно от числата $x-3$, $x-1$ и $x+1$ се дели на $3$. От $1152=2^7\cdot 3^2$ следва, че $x-1$ трябва да се дели на $2$ и $3$, защото ако $x-1=3p$ (където $p$ е цяло число), то $(x-\nobreak 1)^2=3^2p^2$ и $p$ трябва да се дели на $2$. Това означава, $x-1=2\cdot 3k=6k$, където $k$ е цяло число. От $x-1=6k$ следва, че $x=6k+1$, $x+1=6k+2$ и $x-3=6k+1-3=6k-2$. Тогава
$1152=(6k)^2(6k+\nobreak 2)(6k-\nobreak 2) \Leftrightarrow 1152=36\cdot 2\cdot 2k^2(3k-\nobreak 1)(3k+\nobreak 1)$
$\Leftrightarrow 3^2\cdot 2^4\cdot k^2(9k^2-\nobreak 1)=3^2\cdot 2^7 \Leftrightarrow 9k^4-k^2=8$
$\Leftrightarrow 9k^4-9k^2+8k^2-8=0 \Leftrightarrow 9k^2(k^2-\nobreak 1)+8(k^2-\nobreak 1)=0$
$\Leftrightarrow (k^2-\nobreak 1)(9k^2+\nobreak 8)=0 \Leftrightarrow (9k^2+\nobreak 8)(k-\nobreak 1)(k+\nobreak 1)=0$
откъдето намираме $k=1$ или $k=-1$, защото $9k^2+8\gt 0$ за всяко $k$. Но при $k=1$ получаваме $x=7$, а при $k=-1$ имаме $x=-5$. Като извършим непосредствена проверка, виждаме, че наистина числата $-5$ и $7$ са решения на задачата.
1998 г., НПМГ – профил математика
Задача 1.
Дадено е уравнението $a^2x=2+4x-a$, където $a$ е параметър.
а) Да се реши уравнението.
б) За кои цели стойности на параметъра $a$ даденото уравнение има само цели корени?
в) Да се намерят всички стойности на параметъра $a$, при които числото $1$ е корен на уравнението.
РЕШЕНИЕ
а) Извършваме еквивалентни преобразувания и получаваме:
$a^2x=2+4x-a \Leftrightarrow (a^2-\nobreak 4)x=2-a \Leftrightarrow (a-\nobreak 2)(a+\nobreak 2)x=2-a$.
1) Ако $a=2$, уравнението има вида $0\cdot x=0$ и всяко рационално число е негово решение.
2) Ако $a=-2$, то $0\cdot x=4$ и уравнението няма решение.
3) Ако $a\ne \pm 2$, получаваме $x=\frac{2-a}{(a-2)(a+2)}=-\frac{1}{a+2}$.
б) От а) знаем, че при $a=2$ всяко число е решение на уравнението и следователно то има нецели решения, а при $a=-2$ въобще няма решение. Следователно числата $2$ и $-2$ не са решения на задачата.
Нека $a\ne \pm 2$. Тогава коренът на уравнението е $x=-\frac{1}{a+2}$. Тъй като $a$ е цяло число, то и $a+2$ е цяло число и $x$ ще е цяло число, само ако $a+2=1$ или $a+2=-1$. От тук следва, че уравнението има само цели корени при $a_1=-1$ или $a_2=-3$.
в) В уравнението заместваме $x$ с $1$. Тогава
$a^2x=2+4x-a \Rightarrow a^2=2+4-a \Leftrightarrow a^2-4+a-2=0$
$\Leftrightarrow (a-\nobreak 2)(a+\nobreak 2)+(a-\nobreak 2)=0 \Leftrightarrow (a-\nobreak 2)(a+\nobreak 3)=0$,
откъдето намираме, че $1$ е корен на уравнението при $a_1=2$ или при $a_2=-3$.
1999 г., НПМГ – профил математика
Задача 1.
За числата $a$ и $b$ е известно, че $ab\ne 0$ и $a^4=3a^2b^2+4b^4$.
а) Да се докаже, че $a^2=4b^2$ и $|a|=2|b|$.
б) Да се намерят числените стойности на изразите $A=\frac{a}{b}$ и $B=\frac{(a+b)^4}{a^4+b^4}$.
в) Да се намерят всички цели числа $a$, за които $999|a|+|b|\le 1999$.
РЕШЕНИЕ
а) От $a^4=3a^2b^2+4b^4$ следва
$a^4-3a^2b^2-4b^4=0 \Leftrightarrow a^4-b^4-3a^2b^2-3b^4=0$
$\Leftrightarrow (a^2+\nobreak b^2)(a^2-\nobreak b^2)-3b^2(a^2+\nobreak b^2)=0 \Leftrightarrow (a^2+\nobreak b^2)(a^2-\nobreak 4b^2)=0$.
Тъй като по условие $ab\ne 0$, то числата $a$ и $b$ са различни от нула. Тогава $a^2+b^2\gt 0$ и следователно $a^2-4b^2=0$, т.е. $a^2=4b^2$. Но $a^2-4b^2=(a-\nobreak 2b)(a+\nobreak 2b)=0$, откъдето следва, че $a-2b=0$ или $a+2b=0$, т.е. $a=\pm 2b$. Следователно $|a|=2|b|$.
б) Разглеждаме два случая: $ab\gt 0$ и $ab\lt 0$.
При $ab\gt 0$ $a$ и $b$ имат еднакви знаци и следователно $a+2b\ne 0$. Но $(a-\nobreak 2b)(a+\nobreak 2b)=0$, затова $a-2b=0$, т.е. $a=2b$ и $A=\frac{a}{b}=2$.
При $ab\lt 0$ $a$ и $b$ имат различни знаци и тогава $a-2b\ne 0$. Следователно сега $a+2b=0$, т.е. $a=-2b$ и $A=\frac{a}{b}=-2$.
За да пресметнем $B=\frac{(a+b)^4}{a^4+b^4}$, извършваме преобразуването
$B=\frac{(a+b)^4}{a^4+b^4}=\frac{\left(\dfrac{a}{b}+1\right)^4}{\left(\dfrac{a}{b}\right)^4+1}$.
Тогава при $ab\gt 0$ имаме $B=\frac{(2+1)^4}{2^4+1}=\frac{81}{17}$, а
при $ab\lt 0$ имаме $B=\frac{(-2+1)^4}{(-2)^4+1}=\frac{1}{17}$.
в) Тъй като $|a|=2|b|$, то
$999|a|+|b|=999\cdot 2|b|+|b|=1999|b|\le 1999 \Leftrightarrow |b|\le 1$.
Щом $|a|=2|b|$ и $|b|\le 1$, то $|a|\le 2$.
Решението на неравенството $|a|\le 2$ е в интервала $[-2;\,2]$, а целите числа в този интервал, различни от $0$ (защото $ab\ne 0$), са $-2$, $-1$, $1$, $2$.
Следователно търсените цели числа са $-2$, $-1$, $1$, $2$.
2000 г., НПМГ – профил математика
Задача 1.
Да се докаже, че
а) $\frac{(0{,}2)^6-(-0{,}2)^5}{(0{,}2)^5-(-0{,}2)^4}\gt \frac{12^8\cdot 9^3}{(-27)^5\cdot 16^4}$;
б) Уравнението $|x-1|-(-x-\nobreak 1)^2=(1-\nobreak x)(x+\nobreak 1)+\frac{3|1-x|}{2}-2\left(x+\frac{3}{4}\right)$ няма решение;
в) уравненията $ax-a^2=2x-4$ и $a^2(x-\nobreak 1)=3(3x-\nobreak a)$ не са еквивалентни за никоя стойност на параметъра $a$.
РЕШЕНИЕ
а) Като пресметнем лявата и дясната страна на даденото неравенство, получаваме
$A=\frac{(0{,}2)^6+(0{,}2)^5}{(0{,}2)^5-(-0{,}2)^4}=\frac{0{,}2^5(0{,}2+1)}{0{,}2^4(0{,}2-1)}=0{,}2\cdot\frac{1{,}2}{-0{,}8}$
$=0{,}2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{0{,}6}{2}=-0{,}3=-\frac{3}{10}$.
$B=\frac{12^8\cdot 9^3}{(-27)^5\cdot 16^4}=\frac{(2^2)^8\cdot 3^8\cdot (3^2)^3}{-(3^3)^5\cdot (2^4)^4}=-\frac{2^{16}\cdot 3^{14}}{3^{15}\cdot 2^{16}}=-\frac{1}{3}$.
Тъй като $A=-\frac{3}{10}=-\frac{9}{30}$ и $B=-\frac{1}{3}=-\frac{10}{30}$, то действително $A\gt B$.
б) След еквивалентни преобразувания получаваме
$|x-1|-(-x-\nobreak 1)^2=(1-\nobreak x)(x+\nobreak 1)+\frac{3|1-x|}{2}-2\left(x+\frac{3}{4}\right)$
$\Leftrightarrow |x-1|-x^2-2x-1=1-x^2+\frac{3|x-1|}{2}-2x-\frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{|x-1|}{2}=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow |x-1|=-1$.
Но това уравнение няма решение, защото за всяко $x$ имаме $|x-1|\ge 0$. Следователно и даденото уравнение няма решение.
в) Дадените уравнения са еквивалентни съответно на $(a-\nobreak 2)x=(a-\nobreak 2)(a+\nobreak 2)$ и $(a-\nobreak 3)(a+\nobreak 3)x=a(a-\nobreak 3)$.
Наистина при $a=2$ първото уравнение $(a-\nobreak 2)x=(a-\nobreak 2)(a+\nobreak 2)$ се удовлетворява за всяко $x$, а второто $(a-\nobreak 3)(a+\nobreak 3)x=a(a-\nobreak 3)$ има единствено решение $x=\frac{2}{5}$. Това означава, че те не са еквивалентни при $a=2$. Аналогично е положението и при $a=3$. (При $a=3$ първото уравнение има решение $x=5$, а второто се удовлетворява за всяко $x$.)
При $a\ne 2$ и $a\ne 3$ първото уравнение има решение $x=a+2$. Това решение на първото уравнение не е решение на второто, защото за да бъде негово решение, трябва да бъде изпълнено равенството $(a+\nobreak 2)(a+\nobreak 3)=a$. След еквивалентни преобразувания от това равенство получаваме
$(a+\nobreak 3)(a+\nobreak 2)=a \Leftrightarrow a^2+4a+6=0 \Leftrightarrow (a+\nobreak 2)^2+2=0$.
Последното равенство обаче не е изпълнено за никоя стойност на $a$. Следователно двете дадени уравнения не са еквивалентни.
2001 г., НПМГ – профил математика
Задача 1.
Дадени са уравненията
$\left(x-\frac{6-x}{2}\right)\left(6\frac{2}{3}+\frac{x-2}{0{,}3}\right)=0$
и
$\bigl|(x-\nobreak 2)^3-x(3-\nobreak x)^2-2(x-\nobreak 4)-a\bigr|=\frac{(-2)^{2001}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1300}}{32^{100}\cdot (-8)^{67}}$,
където $a$ е параметър.
Да се решат дадените уравнения и след това да се намерят стойностите на $a$, за които двете уравнения са равносилни.
РЕШЕНИЕ
Даденото уравнение $\left(x-\frac{6-x}{2}\right)\left(6\frac{2}{3}+\frac{x-2}{0{,}3}\right)=0$ е еквивалентно на уравненията
$x-\frac{6-x}{2}=0$
или
$\frac{20}{3}+\frac{10(x-2)}{3}=0$.
Първото от тези уравнения има решение $x=2$, а второто $x=0$. Следователно решенията са $x_1=2$ или $x_2=0$.
За дясната страна на другото дадено уравнение имаме
$D=\frac{(-2)^{2001}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1300}}{32^{100}\cdot (-8)^{67}}=\frac{2^{2001-1300}}{2^{500}\cdot 2^{201}}=\frac{2^{701}}{2^{701}}=1$.
След еквивалентни преобразувания за второто уравнение получаваме
$\bigl|(x-\nobreak 2)^3-x(3-\nobreak x)^2-2(x-\nobreak 4)-a\bigr|=1$
$\Leftrightarrow \bigl|x^3-6x^2+12x-8-x(9-\nobreak 6x+\nobreak x^2)-2x+8-a\bigr|=1$
$\Leftrightarrow \bigl|x^3-6x^2+12x-8-9x+6x^2-x^3-2x+8-a\bigr|=1$
$\Leftrightarrow |x-a|=1$.
Това уравнение има решения $x_3=1+a$ и $x_4=-1+a$.
Двете уравнения са еквивалентни, когато имат едни и същи решения или нямат решения. В случая дадените две уравнения имат едни и същи решения $x_1=2$ и $x_2=0$ само при $a=1$.
Следователно търсената стойност на параметъра $a$ е $1$.
2002 г., НПМГ – профил математика
Задача 1.
За кои стойности на параметъра $a$ уравнението $x+2=a(a-\nobreak x-\nobreak 1)$:
а) има корен $(-1)^{2002}$;
б) е равносилно на уравнението $x-\frac{x-\dfrac{x-1}{2}}{2}=\frac{x}{0{,}8}$;
в) има единствен корен, чийто квадрат е по-малък от числото $1$?
РЕШЕНИЕ
а) Тъй като $(-1)^{2002}=1$, трябва да проверим за кои стойности на параметъра $a$ е изпълнено равенството $1+2=a(a-\nobreak 1-\nobreak 1)$, $3=a^2-2a$, $a^2-2a-3=0$, $a^2-2a+1-4=0$, $(a-\nobreak 1)^2-2^2=0$, $(a-\nobreak 1+\nobreak 2)(a-\nobreak 1-\nobreak 2)=0$, $(a+\nobreak 1)(a-\nobreak 3)=0$. От тук намираме $a_1=-1$ и $a_2=3$. Следователно при $a=-1$ и $a=3$ числото $1$ е корен на уравнението.
б) Решаваме уравнението $x-\frac{x-\dfrac{x-1}{2}}{2}=\frac{x}{0{,}8}$, $x-\frac{2x-x+1}{4}=\frac{10x}{8}$, $4x-2x+x-1=5x$, $2x=-1$, $x=-\frac{1}{2}$.
За да са еквивалентни двете уравнения, трябва да намерим за кои стойности на параметъра $a$ уравнението $x+2=a(a-\nobreak x-\nobreak 1)$ има единствен корен, равен на $-\frac{1}{2}$. Решаваме уравнението $x+2=a(a-\nobreak x-\nobreak 1)$, $x+2=a^2-ax-a$, $(a+\nobreak 1)x=a^2-a-2$, $(a+\nobreak 1)x=a^2+a-2a-2$, $(a+\nobreak 1)x=a(a+\nobreak 1)-2(a+\nobreak 1)$, $(a+\nobreak 1)x=(a+\nobreak 1)(a-\nobreak 2)$.
При $a=-1$ всяко $x$ е решение на последното уравнение и двете уравнения не са равносилни (еквивалентни).
При $a\ne -1$ $x=a-2$. Числото $-\frac{1}{2}$ е корен на уравнението, ако $-\frac{1}{2}=a-2$, т.е. $a=\frac{3}{2}$. Получаваме, че двете уравнения са еквивалентни при $a=\frac{3}{2}$.
в) Уравнението $x+2=a(a-\nobreak x-\nobreak 1)$ има единствен корен $x=a-2$ при $a\ne -1$. Трябва да решим неравенството $x^2\lt 1$. Последователно получаваме: $(a-\nobreak 2)^2\lt 1$, $(a-\nobreak 2)^2-1^2\lt 0$, $(a-\nobreak 1)(a-\nobreak 3)\lt 0$,
$\left|\begin{aligned}&a-1\gt 0\\ &a-3\lt 0\end{aligned}\right.$ или $\left|\begin{aligned}&a-1\lt 0\\ &a-3\gt 0,\end{aligned}\right.$ $\left|\begin{aligned}&a\gt 1\\ &a\lt 3\end{aligned}\right.$ или $\left|\begin{aligned}&a\lt 1\\ &a\gt 3\end{aligned}\right.$ т.е. $1\lt a\lt 3$.
Тъй като $-1\notin (1;\,3)$, то всички числа от интервала $(1;\,3)$ са решения на задачата.
2003 г., НПМГ – профил математика
Задача 1.
Даден е многочленът $A=\left(x+\frac{a^2}{2}\right)^2+(a-\nobreak 1)(a^2+\nobreak a+\nobreak 1)x-a\left(x+\frac{a^3}{2}\right)$.
а) Да се намери сборът от целите числа, които са решения на неравенството $A\lt 0$, ако $a=\frac{(0{,}25)^{2003}\cdot 16^{1000}}{4\cdot (-0{,}125)^3}$.
б) За кои стойности на $a$ коефициентът пред $x$ в нормален вид на $A$ е неотрицателно число?
РЕШЕНИЕ
а) Опростяваме израза за $a$:
$a=\frac{(0{,}25)^{2003}\cdot 16^{1000}}{4\cdot (-0{,}125)^3}=\frac{(4^{-1})^{2003}\cdot (4^2)^{1000}}{-4\cdot (8^{-1})^3}=-\frac{4^{-3}}{4\cdot 8^{-3}}$
$=\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\left(\frac{4}{8}\right)^{-3}=\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot 2^3=-2$.
Да приведем $A$ в нормален вид при $a=-2$:
$A=\left(x+\frac{(-2)^2}{2}\right)^2+(-2-\nobreak 1)((-2)^2-\nobreak 2+\nobreak 1)x-(-2)\left(x+\frac{(-2)^3}{2}\right)$
$=(x+\nobreak 2)^2-3\cdot 3x+2(x-\nobreak 4)=x^2+4x+4-9x+2x-8=x^2-3x-4$.
Решаваме неравенството $A\lt 0$, $x^2-3x-4\lt 0$, $x^2-4x+x-4=x(x-\nobreak 4)+x-4=(x-\nobreak 4)(x+\nobreak 1)$.
Неравенството $(x-\nobreak 4)(x+\nobreak 1)\lt 0$ е изпълнено, ако
$\left|\begin{aligned}&x-4\gt 0\\ &x+1\lt 0\end{aligned}\right.$ или $\left|\begin{aligned}&x-4\lt 0\\ &x+1\gt 0.\end{aligned}\right.$
Първата система няма решение, а решенията на втората система са всички числа от интервала $(-1;\,4)$. Целите числа, които принадлежат на интервала $(-1;\,4)$ са $0$, $1$, $2$ и $3$. Техният сбор е $0+1+2+3=6$.
б) Привеждаме многочлена $A$ в нормален вид:
$A=\left(x+\frac{a^2}{2}\right)^2+(a-\nobreak 1)(a^2+\nobreak a+\nobreak 1)x-a\left(x+\frac{a^3}{2}\right)$
$=x^2+a^2x+\frac{a^4}{4}+(a^3-\nobreak 1)x-ax-\frac{a^4}{2}$
$=x^2+(a^3+\nobreak a^2-\nobreak a-\nobreak 1)x-\frac{a^4}{4}$.
Разлагаме коефициента пред $x$ на множители:
$a^3+a^2-a-1=a^2(a+\nobreak 1)-(a+\nobreak 1)=(a+\nobreak 1)(a^2-\nobreak 1)=(a+\nobreak 1)^2(a-\nobreak 1)$.
Тъй като $(a+\nobreak 1)^2\ge 0$, ще разгледаме два случая:
1. $(a+\nobreak 1)^2=0$, $a+1=0$, $a=-1$. В този случай коефициентът пред $x$ е $0$ и числото $a=-1$ е решение.
2. $(a+\nobreak 1)^2\gt 0$. Неравенството $(a+\nobreak 1)^2(a-\nobreak 1)\ge 0$ ще бъде изпълнено, ако $a-1\ge 0$, $a\ge 1$.
Получихме, че коефициентът пред $x$ в нормалния вид на $A$ е неотрицателно число, когато $a=-1$ или $a\in [1;\,\infty)$.
