ЗАДАЧИ ОТ НЯКОИ ПРОВЕДЕНИ КОНКУРСНИ ИЗПИТИ ЗА ПРИЕМ В НАЦИОНАЛНАТА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ – ВСИЧКИ ПРОФИЛИ

1997 г., НПМГ—всички профили

         Задача 1.
Дадени са изразите
     A = 2x - (2x - 1)/3 + (1 - 2x)/6 -1,5 и B = (2 + x)² - 2(1 - x)² + (-x + 2)².
     а) Да се приведат А и В в нормален вид.
     б) за кои стойности на х е изпълнено равенството A.B = 0?
     в) Да се провери дали числото a = 2¹⁰.3⁹/12⁶ - 9 е решение на неравенството A > B?

         РЕШЕНИЕ
а) Като извършим еквивалентни преобразувания, получаваме
A = 2x - (2x - 1)/3 - (2x - 1)/6 - 1,5
= 2x - (2x - 1)(1/3 + 1/6) - 1,5
= 2x - (2x - 1)/2 - 1,5 = 2x - x + 0,5 - 1,5 = x - 1
B = (2 + x)² - 2(1 - x)² + (-x + 2)²
= 4 + 4x + x² - 2 + 4x - 2x² + x² - 4x + 4 = 4x + 6.

б) Като вземем предвид, че произведението на два израза е равно на нула точно тогава, когато поне един от множителите е равен на нула, намираме
A.b = 0 <=> A = 0 или В = 0,
A = 0 <=> x - 1 = 0 <=> x = 1

B = 0 <=> 4x + 6 = 0 <=> x = -6/4, x = -3/2
Тогава A.B = 0 при x₁ = 1 или x₂ = -3/2.

в) Опростяваме израза за a и получаваме
a = 2¹⁰3⁹/12⁶ - 9 = 2¹⁰.3⁹/(2²)⁶.3⁶ - 9
2¹⁰.3^9-6/2¹² - 9 = 3³/2^12-10 - 9 = 27/4 - 9 = (27 - 36)/4 = -9/4.
За така намерената стойност на a пресмятаме стойностите на изразите А и В:
A = a - 1 = -9/4 - 1 = -13/4.
B = 6 + 4a = 6 + 4(-9/4) = (24 - 36)/4 = -12/4.
Понеже A = -13/4 < - 12/4 = B, то числото a не е решение на неравенството A > B.

1998 г., НПМГ—всички профили

         Задача 1.
Да се реши:
     а) уравнението (x + 5)(x + 2) - 3(4 - 3x) = (x - 3)²;
     б) неравенството

         Задача 2.
Даден е изразът A = x² - 9 + 4y² - 4xy.
     а) Да се разложи А на множители.
     б) Да се пресметне числената стойност на |A|, ако
         x = y =

         РEШЕНИЕ на задача 1.
а) Извършваме еквивалентни преобразувания и получаваме:
(x + 5)(x + 2) - 3(4 - 3x) = (x - 3)²
<=> x² + 2x + 5x + 10 - 12 + 9x = x² - 6x + 9
<=> 22x = 11 <=> x = 1/2.

б) След еквивалентни преобразувания намираме:
<=> 2/2 - (6 - x)/6 - 15/8 < x
<=> 24 - 24 + 4x - 45 < 24x <=> -20x < 45

<=> x > -45/20, т.е. x > -9/4.
Следователно x (-9/4; ∞) (фиг.5).

         PЕШЕНИЕ на задача 2.
а) След групиране на първото, третото и четвъртото събираемо получаваме:
A = x² - 9 + 4y² - 4xy = (x - 2y)² - 3² = (x - 2y - 3)(x - 2y + 3)

б) Да пресметнем числото х:
x = y = = 6(1/18 - 4/9) = 1/3 - 8/3 = -7/3.
Тогава
|A| =
= |49/9 - 9| = |49 - 81/9| = |-32/9| = 32/9.

1999 г., НПМГ – всички профили

         Задача 1.
Дадени са изразите A = и B = x(x - 5)² + 4x(2x - 3) - (x - 2)³ - (-2x)².
     а) Да се приведат изразите А и В в нормален вид.
     б) Да се пресметне числото C = и да се реши уравнението B = C.
     в) Да се разложи изразът А на множители и да се намерят всички цели числа x, за които A < 0.

         РЕШЕНИЕ
а) Дадените изрази А и В ще приведем в нормален вид, като разкрием скобите и направим приведение:
A =
= 5x²/4 - x - (x²/4 - 9) - 11
= 5x²/4 - x - x²/4 + 9 - 11 = x² - x -2

B = x(x - 5)² + 4x(2x - 3) - (x - 2)³ - (-2x)²
= x(x² - 10x + 25) + 8x² - 12x -(x³ - 6x² + 12x - 8) - 4x²
= x³ - 10x² + 25x - 12x - x³ + 6x² - 12x + 8 - 4x² = x + 8.

б) прилагаме свойствата на степените и получаваме
C = = -2²⁰.3¹²2⁶/3⁹.2²⁶ = -2²⁶.3³/2²⁶ = -27.
Тогава от равенството B = C получаваме уравнението x + 8 = -27, което има решение x = -35.

в) Изразът A = x² - x - 2 разлагаме на множители по следния начин:
A = x² - 2x + x - 2 = x(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x + 1)
Като вземем предвид, че неравенството A = (x - 2)(x + 1) < 0 е удовлетворено точно тогава, когато множителите x - 2 и x + 1 имат различни знаци, получаваме следните две системи неравенства
     или     
т.е.
     или     
Следователно решенията на първата система са x (-1; 2), а втората система няма решение. Ясно е тогава, че целите числа, удовлетворяващи неравенството x (-1; 2), са числата 0 и 1.

2000 г., НПМГ – всички профили

         Задача 1.
Даден е изразът A = x(2 - x)² - 9x + 2(x + 1)².
     а) Да се приведе А в нормален вид.
     б) Да се разложи А на множители.
     в) За кои стойности x е изпълнено равенството A = 0?
     г) За кои стойности на x е изпълнено неравенството A ≤ 2(1 - x)?

         РЕШЕНИЕ
а) Като извършим необходимите преобразувания, получаваме
A = x(2 - x)² - 9x + 2(x + 1)²
= x(4 - 4x + x²) - 9x + 2(x² + 2x + 1)
= x³ - 4x² + 4x - 9x + 2x² + 4x + 2
= x³ -2x² - x + 2

б) От първите два члена изнасяме пред скоби x², а от третия и четвъртия член – знак минус, и получаваме
A = x³ -2x² - x + 2 = x²(x - 2) - (x - 2)
= (x - 2)(x² - 1) = (x - 2)(x - 1)(x + 1).

в) Корените на уравнението
A = (x - 2)(x - 1)(x + 1) = 0
получаваме, като приравним на нула всеки от множителите в произведението (x - 2)(x - 1)(x + 1). Следователно x₁ = 2 и x_2,3 = ±1.

г) Най-напред извършваме еквивалентни преобразувания
A ≤ 2(1 - x) <=> (x - 2)(x - 1)(x + 1) ≤ 2(1 - x)
<=> (x - 1)[(x² - x - 2) + 2] ≤ 0 <=> (x - 1)(x² - x) ≤ 0
<=> x(x - 1)² ≤ 0.
Тъй като (x - 1)² ≥ 0, то решенията на това неравенство са x (-&infinp;; 0] ∪ {1}.

2001 г., НПМГ – всички профили

         Задача 1.
Да се представят изразите
         A = (x - 1)(x² + 1)(x + 1) - (x² - 1)² - (x + 2)(x + 4) + 19
и
         B = x(x + 2)² - (x - 1)(x² + x + 1)
в нормален вид и да се намерят стойностите на х, за които:
     а) AB = 0;
     б) A > B/4;
     в) A - B = 0 , като преди това A - B се разложи на множители.

         РЕШЕНИЕ
Като извършим съответните еквивалентни преобразувания на изразите А и В, получаваме:
A = (x - 1)(x² + 1)(x + 1) - (x² - 1)² - (x + 2)(x + 4) + 19
= (x² - 1)(x² + 1) - (x⁴ - 2x² + 1) - (x² + 6x + 8) + 19
= x⁴ - 1 - x⁴ + 2x² - 1 - x² - 6x - 8 + 19 = x² - 6x + 19

B = x(x + 2)² - (x - 1)(x² + x + 1) = x(x² + 4x + 4) - (x³ - 1)(
= x³ + 4x² + 4x - x³ + 1 = 4x² + 4x + 1.

а) Тъй като AB = 0 <=> (x² - 6x + 9)(4x² + 4x + 1) = 0 <=> (x - 3)²(2x + 1)² = 0, то x_1,2 = 3 и x_3,4 = -1/2.

б) Извършваме еквивалентни преобразувания и получаваме
A > B/4 <=> x² - 6x + 9 > (4x² + 4x + 1)/4
<=> x² - 6x + 9 > x² + x + 1/4 <=> 7x < 35/4
<=> x < 5/4.

в) След еквивалентни преобразувания намираме
A - B = 0 <=> x² - 6x + 9 -(4x² + 4x + 1) = 0
<=> (x - 3)² - (2x + 1)² = 0 <=> (x - 3 + 2x + 1)(x - 3 - 2x - 1) = 0
<=> (3x - 2)(-x - 4) = 0 <=> (3x - 2)(x + 4) = 0
<=> x₁ = 2/3 и x₂ = -4.

2002 г., НПМГ – всички профили

         Задача 1.
Да се представят изразите
A = (2x - 5)² - (2x - 1)(1 + 2x) и B =
в нормален вид и да се намерят стойностите на х, за които:
а) А = В;      б) |B| = 3;      в) A.B > 0.

         РЕШЕНИЕ
Опростяваме изразите А и В:
A = (2x - 5)² - (2x - 1)(1 + 2x) = 4x² - 20x + 25 - (4x² - 1)
= 4x² - 20x + 25 - 4x² = -20x + 26.

B = = x² + x + 1/4 - 4x²/4 + 7/4 = x + 2.

а) Решаваме уравнението А = В:
-20x + 26 = x + 2 <=> 26 - 2 = x + 20x
21x = 24 <=> 7x = 8 <=> x = 8/7.

б) Решаваме уравнението |B| = 3;
|x + 2| = 3, x + 2 = 3 или x + 2 = -3, x = 1 или x = -5.

в) Решаваме неравенството A.b > 0, т.е. (-20x + 26)(x + 2) > 0.
Това произведение е положително точно тогава, когато двата множителя са положителни или и двата са отрицателни, т.е.
x (-2; 1,3)
или
няма решение.
Окончателно получихме, че решенията на неравенството A.B > 0 са всички числа от интервала (-2; 1,3).

2003 г., НПМГ – всички профили

         Задача 1.
Дадени са изразите
A = (x + 3)² - (-x - 2)² - 6 и B = (2 - x)² -3(1 - x)(x + 1).
     а) Да се приведат А и B в нормален вид.
     б) Да се намерят стойностите на х, за които B ≤ 0.
     в) Да се намерят стойностите на х, за които A² = A - B.
     г) Да се намерят стойностите на х, за които |A| = 1/4.

         РЕШЕНИЕ
а) Извършваме тъждествени преобразувания и получаваме:
A = (x + 3)² - (-x - 2)² - 6 = x² + 6x + 9 - (x² + 4x + 4) - 6 = 2x - 1
B = (2 - x)² - 3(1 - x)(x + 1) = 4 - 4x + x² - 3(1 - x²)
= 4 - 4x + x² - 3 + 3x² = 4x² - 4x + 1.

б) Тъй като B = 4x² - 4x + 1 = (2x - 1)² ≥ 0 за всяко х, неравенството B ≤ 0 ще бъде изпълнено само тогава, когато B = 0, т.е. (2x - 1)² = 0, 2x - 1 = 0, x = 1/2.

в) Преобразуваме равенството A² = A - B:
(2x - 1)² = 2x - 1 - (4x² - 4x + 1), 2(2x - 1)² = 2x - 1,
(2x - 1)(2(2x - 1) - 1) = 0, (2x - 1)(4x - 3) = 0.
Равенството A² = A - B ще бъде изпълнено само тогава, когато 2x - 1 = 0 или 4x - 3 = 0. Следователно при x₁ = 1/2 или x₂ = 3/4.

г) Решаваме уравнението |2x - 1| = 1/4, което е еквивалентно на 2x - 1 = 1/4 или 2x - 1 = -1/4. Тогава 2x - 1 = 5/4 или 2x = 3/4 и x₁ = 5/8 или x₂ = 3/8.

ЗАДАЧИ ОТ НЯКОИ ПРОВЕДЕНИ КОНКУРСНИ ИЗПИТИ ЗА ПРИЕМ В НАЦИОНАЛНАТА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ-ПРОФИЛ МАТЕМАТИКА

1997 г., НПМГ – профил математика

         РЕШЕНИЕ
а) Чрез тъждествени преобразувания разлагаме израза А на множители от първа степен:
A = t² - 2t - 3 = t² - 2t + 1 - 4 = (t - 1)² - 4
= (t - 1 - 2)(t - 1 + 2) = (t - 3)(t + 1).
За да разложим израза В, полагаме x² - 2x = t и използваме разлагането на А:
B = (x² - 2x)² + 2(2x - x²) - 3 = (x² - 2x)² - 2(x² - 2x) - 3
= t² - 2t - 3 = (t - 3)(t + 1) = (x² - 2x - 3)(x² - 2x + 1)
= (x - 3)(x + 1)(x - 1)².

б) За да докажем, че за всяко х е изпълнено неравенството B > -5, преобразуваме израза В + 5:
B + 5 = [(x² - 2x)² + 2(2x - x²) - 3] + 5 = (x² - 2x)² - 2(x² - 2x) + 2
= (x² - 2x)² - 2(x² - 2x) + 1 + 1 = (x² - 2x - 1)² + 1.
Но (x² - 2x - 1)² ≥ 0, а 1 > 0. Следователно за всяко х е изпълнено (x² - 2x - 1)² + 1 > 0. Щом B + 5 > 0 за всяко х, то B > -5 за всяко х.

в) Да означим с х онова цяло число, за което В = 1152. Но от а) видяхме, че B = (x - 1)²(x + 1)(x - 3). Следователно получаваме, че х удовлетворява уравнението (x - 1)²(x + 1)(x - 3) = 1152.
От начина на записване на числата x - 1, x + 1 и x - 3 следва, че те са едновременно четни или нечетни. Като вземем предвид, че произведението им е четно число, намираме, че трябва да са последователни четни числа. Тъй като 1152 = 2⁷.3², то произведението (x - 1)²(x + 1)(x - 3) трябва да се дели на 3. Ако допуснем, че две от тези числа се делят на 3, то и тяхната разлика ще се дели на 3. Но тогава стигаме до противоречие, защото възможните разлики са 2 и 4, а те не се делят на 3. Това означава, че точно едно от числата х – 3, х – 1 и х + 1 се дели на 3. От 1152 = 2⁷.3² следва, че х – 1 трябва да се дели на 2 и 3, защото ако х – 1 = 3p (където p е цяло число), то (x - 1)² = 32p и p трябва да се дели на 2. Това означава, x - 1 = 2.3k = 6k, където k е цяло число. От x - 1 = 6k следва, че x = 6k + 1, x + 1 = 6k + 2 и x - 3 = 6k + 1 - 3 = 6k - 2. Тогава
1152 = (6k)²(6k + 2)(6k - 2) <=> 1152 = 36.2.2k²(3k - 1)(3k + 1)
<=> 3².2⁴.k²(9k² - 1) = 3².2⁷ <=> 9k⁴ - k² = 8
<=> 9k⁴ - 9k² + 8k² - 8 = 0 <=> 9k²(k² - 1) + 8(k² - 1) = 0
<=> (k² - 1)(9k² + 8) = 0 <=> (9k² + 8)(k - 1)(k + 1) = 0
откъдето намираме k = 1 или k = -1, защото 9k² + 8 > 0 за всяко k. Но при k = 1 получаваме х = 7, а при k = -1 имаме х = -5. Като извършим непосредствена проверка, виждаме, че наистина числата -5 и 7 са решения на задачата.

1998 г., НПМГ – профил математика

         Задача 1.
Дадено е уравнението a²x = 2 + 4x - a, където a е параметър.
     а) Да се реши уравнението.
     б) За кои цели стойности на параметъра a даденото уравнение има само цели корени?
     в) Да се намерят всички стойности на параметъра , при които числото 1 е корен на уравнението.

         РЕШЕНИЕ
а) Извършваме еквивалентни преобразувания и получаваме:
a²x = 2 + 4x - a <=> (a² - 4)x = 2 - a <=> (a - 2)(a + 2)x = 2 - a.
1) Ако 2 = a, уравнението има вида 0x = 0 и всяко рационално число е негово решение.
2) Ако a = -2, то 0x = 4 и уравнението няма решение.
3) Ако a ≠ ±2, получаваме x = .

б) От а) знаем, че при a = 2 всяко число е решение на уравнението и следователно то има нецели решения, а при a = -2 въобще няма решение. Следователно числата 2 и -2 не са решения на задачата.
Нека a ≠ ±2. Тогава коренът на уравнението е x = -1/(a + 2). Тъй като a е цяло число, то и a + 2 е цяло число и х ще е цяло число, само ако a + 2 = 1 или a + 2 = -1. От тук следва, че уравнението има само цели корени при a₁ = -1 или a₂ = -3.

в) В уравнението заместваме х с 1. Тогава
a²x = 2 + 4x - a => a² = 2 + 4 - a <=> a² - 4 + a -2 = 0
<=> (a - 2)(a + 2) + (a - 2) = 0 <=> (a - 2)(a + 3) = 0.
откъдето намираме, че 1 е корен на уравнението при a₁ = 2 или при a₂ = -3.

1999 г., НПМГ – профил математика

         Задача 1.
За числата a и b е известно, че ab ≠ 0 и a⁴ = 3a²b² + 4b⁴.
     а) Да се докаже, че a² = 4b² и |a| = 2|b|.
б) Да се намерят числените стойности на изразите A = a/b и B = .
     в) Да се намерят всички цели числа a, за които 999|a| +|b| ≤ 1999.

         РЕШЕНИЕ
а) От a⁴ = 3a²b² + 4b⁴ следва
a⁴ - 3a²b2 - 4b⁴ = 0 <=> a⁴ - b⁴ - 3a²b² - 3b⁴ - 0
(a² + b²)(a² - b²) - 3b²(a² + b²) = 0 <=> (a² + b²)(a² - 4b²) = 0.
Тъй като по условие ab ≠ 0, то числата a и b са различни от нула. Тогава a² + b² > 0 и следователно a² - 4b² = 0, т.е. a² = 4b². Но a² - 4b² = (a - 2b)(a + 2b) = 0, откъдето следва, че a - 2b = 0 или a + 2b = 0, т.е. a = ±2b. Следователно |a| = 2|b|.

б) Разглеждаме два случая: ab > 0 и ab < 0.
При ab > 0 a и b имат еднакви знаци и следователно a + b ≠ 0. Но (a - 2b)(a + 2b) = 0, затова a - 2b = 0, т.е. a = 2b и A = a/b = 2.
При ab < 0 a и b имат различни знаци и тогава a - 2b ≠ 0. Следователно сега a + 2b = 0, т.е. a = -2b и A = a/b = -2.
За да пресметнем B = , извършваме преобразуването
B = =
Тогава при ab > 0 имаме B = (2 + 1)⁴/(2⁴ + 1) = 81/17, а
при ab < 0 имаме B = (-2 + 1)⁴/[(-2)⁴ + 1] = 1/17.

в) Тъй като |a| = 2|b|, то
999|a| + |b| = 999.2|b| + |b| = 1999|b| ≤ 1999 <=> |b| ≤ 1.
Щом |a| = 2|b| и |b| ≤ 1, то |a| ≤ 2.
Решението на неравенството |a| ≤ 2 е в интервала [-2; 2], а целите числа в този интервал са -2, -1, 0, 1, 2.
Следователно търсените цели числа са -2, -1, 0, 1, 2.

2000 г., НПМГ – профил математика

         3aдача 1.
Да се докаже, че
     а) ;
     б) Уравнението |x - 1| - (-x - 1)² = (1 - x)(x + 1) +3|1 - x|/2 - 2(x + 3/4) няма решение;
     в) уравненията ax - a² = 2x - 4 и a²(x - 1) = 3(3x - a) не са еквивалентни за никоя стойност на параметъра a.

         РЕШЕНИЕ
а) Като преместим лявата и дясната страна на даденото неравенство, получаваме
A =
= -0,3.(3/2) = -(0,6/2) = -0,3 = -3/10.
B = = -1/3.
Тъй като A = -3/10 = -9/30 и B = -1/3 = -10/30, то действително A > B.

б)След еквивалентни преобразувания получаваме
|x - 1| - (-x - 1)² = (1 - x)(x + 1) +3|1 - x|/2 - 2(x + 3/4)
<=> |x - 1| - x² - 2x - 1 = 1 - x² + 3|x - 1|/2 - 2x - 3/2
<=> |x - 1|/2 = -1/2 <=> |x - 1| = -1.
Но това уравнение няма решение, защото за всяко х имаме |x - 1| ≥ 0. Следователно и даденото уравнение няма решение.
Наистина при |x - 1| ≥ 0 първото уравнение (a - 2)x = (a - 2)(a + 2) се удовлетворява за всяко х, а второто (a - 3)(a + 3)x = a(a - 3) има единствено решение x = 2/5. Това означава, че те не са еквивалентни при a = 2. Аналогично е положението и при a = 3. (При a = 3 първото уравнение има решение x = 5, а второто се удовлетворява за всяко х.)
При a ≠ 2 и a ≠ 3 първото уравнение има решение x = a + 2. Това решение на първото уравнение не е решение на второто, защото за да бъде негово решение, трябва да бъде изпълнено равенството (a + 2)(a + 3) = a. Сл??ед еквивалентни преобразувания от това равенство получаваме
(a + 3)(a + 2) = a <=> a² + 4a + 6 = 0 <=> (a + 2)² + 2 = 0.
Последното равенство обаче не е изпълнено за никоя стойност на a. Следователно двете дадени уравнения не са еквивалентни.

2001 г., НПМГ – профил математика

         Задача 1.
Дадени са уравненията

и

където a е параметъ?р.
Да се решат дадените уравнения и след това да се намерят стойностите на a, за които двете уравнения са равносилни.

         РЕШЕНИЕ
Даденото уравнение е еквивалентно на уравненията
x = (6 - x)/2 = 0
или
20/3 + 10(x - 2)/3 = 0.
Първото от тези уравнения има решение x = 2, а второто x = 0. Следователно решенията са x₁ = 2 или x₂ = 0.
За дясната страна на другото дадено уравнение имаме
D = = 2^2001-1300/2⁵⁰⁰2²⁰¹ = 2⁷⁰¹/2⁷⁰¹ = 1.
След еквивалентни преобразувания за второто уравнение получаваме
|(x - 2)³ - x(3 - x)² - 2(x - 4) - a| = 1
<=> |x³ - 6x² + 12x - 8 -x(9 - 6x + x²) - 2x + 8 - a| = 1
<=> |x³ - 6x² + 12x - 8 - 9x + 6x² - x³ - 2x + 8 - a| = 1
<=> |x - a| = 1.
Това уравнение има решения x₂ = 1 + a и x₂ = -1 + a.
Двете уравнения са еквивалентни, когато имат едни и същи решения или нямат решения. В случая дадените две уравнения имат едни и същи решения x₁ = 2 и x₂ = 0 само при a = 1.
Следователно търсената стойност на параметъра a е 1.

2002 г., НПМГ – профил математика

         Задача 1.
За кои стойности на параметъра a уравнението x + 23 = a(a - x - 1);
     а) има корен (-1)²⁰⁰²;
     б) е равносилно на уравнението ;
     в) има единствен корен, чийто квадрат е по-малък от числото 1?

         РЕШЕНИЕ
Тъй като (-1)²⁰⁰² = 1, трябва да проверим за кои стойности на параметъра a е изпълнено равенството 1 + 2 = a(a - 1 - 1),3 = a² - 2a, a²- 2a - 3 = 0, a² - 2a + 1 - 4, (a - 1)² - 2² = 0, (a - 1 + 2)(a - 1 - 2) = 0, (a + 1)(a - 3) = 0. От тук намираме a₁ = -1 и a₂ = 3. Следователно при a = -1 и a = 3 числото 1 е корен на уравнението.

б) Решаваме уравнението , x - (2x - x + 1)/4 = 10x/8, 4x - 2x + x - 1 = 5x, 2x = -1, x = -1/2.
За да са еквивалентни двете уравнения, трябва да намерим за кои стойности на параметъра a уравнението x + 2 = a(a - x - 1) има единствен корен, равен на -1/2. Решаваме уравнението x + 2 = a(a - x - 1), x + 2 = a²- ax - a, (a + 1)x = a² - a - 2, (a + 1)x = a² + a - 2a - 2, (a + 1)x = a(a + 1) - 2(a + 1), (a + 1)x = (a + 1)(a - 2).
При a ≠ -1; x = a - 2. Числото -1/2 е корен на уравнението, ако -1/2 = a - 2, т.е. a = 3/2. Получаваме, че двете уравнения са еквивалентни при a = 3/2.

в) Уравнението x + 2 = a(a - x - 1) има единствен корен x = a - 2 при a ≠ -1. Трябва да решим неравенството x² < 1. Последователно получаваме: (a - 2)² < 1, (a - 2)² - 1² < 0, (a - 1)(a + 3) < 0,
т.е. 1 < a < 3.
Тъй като -1 (1; 3), то всички числа от интервала (1; 3) са решения на задачата.

2003 г., НПМГ – профил математика

         Задача 1.
Даден е многочленът A = .
     а) Да се намери сборът от целите числа, които са решения на неравенството A < 0, ако a = .
     б) За кои стойности на a коефициентът пред х в нормален вид на А е неотрицателно число?

         РЕШЕНИЕ
а) Опростяваме израза за a:
a =
= (-1/4).(4/8)^-3 = (-1/4).2³ = -2.
Да приведем А в нормален вид при a = -2:
A =
= (x + 2)² - 3.3x + 2(x - 4) = x² + 4x + 4 - 9x + 2x - 8 = x² - 3x - 4.
Решаваме неравенството A < 0, x² - 3x - 4 < 0, x² - 4x + x - 4 = x(x - 4) + x- 4 = (x - 4)(x + 1).
Неравенството (x - 4)(x + 1) < 0 е изпълнено, ако

Първата система няма решение, а решенията на втората система са всички числа от интервала (-1; 4). Целите числа, които принадлежат на интервала (-1; 4) са 0, 1, 2, и 3. Техният сбор е 0 + 1 + 2 + 3 = 6.

б) Привеждаме многочлена А в нормален вид:
A =
= x² + a²x + a⁴/4 + (a³ - 1)x - ax - a⁴/2
= x² + (a³ + a² - a - 1)x - a⁴/4.
Разлагаме коефициента пред х на множители:
a³ + a² - a - 1 = a²(a + 1) - (a + 1) = (a + 1)(a² - 1) = (a + 1)²(a - 1).
Тъй като (a + 1)² ≥ 0, ще разгледаме два случая:
1. (a + 1)² = 0, a + 1 = 0, a = -1. В този случай коефициентът пред х е 0 и числото a = -1 е решение.
2. (a + 1)² > 0 Неравенството (a + 1)²(a - 1) ≥ 0 ще бъде изпълнено, ако a - 1 ≥ 0, a ≥ 1.
Получихме, че коефициентът пред х в нормалния вид на А е неотрицателно число, когато a = -1 или a [1; ∞).