Четни и нечетни функции - задачи с решения

Решение:
Тъй като [tex]f[/tex] е нечетна, [tex]f(-x)=-f(x)[/tex] за всяко реално [tex]x[/tex]. Формулата [tex]x^4[/tex] е вярна само при [tex]x\ge 0[/tex], затова я използваме при [tex]x=1[/tex]:
[tex]f(1)=1^4=1\Rightarrow f(-1)=-f(1)=-1[/tex]
(Ако заместим [tex]x=-1[/tex] директно в [tex]x^4[/tex], бихме получили грешно [tex]1[/tex].)

Решение:
Функцията [tex]f[/tex] е четна, ако дефиниционната ѝ област е симетрична относно [tex]0[/tex] и [tex]f(-x)=f(x)[/tex] за всяко [tex]x[/tex] от нея.
Тъй като [tex]x^2+1\gt 0[/tex], дефиниционната област е [tex]\mathbb{R}[/tex], която е симетрична. Като използваме, че [tex]\sin (-x)=-\sin x[/tex], получаваме
[tex]f(-x)=\sqrt{(-x)^2+1}\,(-\sin x)^2=\sqrt{x^2+1}\,\sin ^2 x=f(x)[/tex]
Следователно функцията [tex]f[/tex] е четна.

Решение:
Функцията [tex]g[/tex] е четна, ако дефиниционната ѝ област е симетрична относно [tex]0[/tex] и [tex]g(-x)=g(x)[/tex] за всяко [tex]x[/tex] от нея.
Дефиниционната област е [tex]x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex]. Тя е симетрична: ако [tex]-x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], то [tex]x=\frac{\pi}{2}+(-k-1)\pi[/tex], т.е. [tex]x[/tex] и [tex]-x[/tex] се изключват едновременно. Като използваме, че [tex]\operatorname{tg} (-x)=-\operatorname{tg} x[/tex], получаваме
[tex]g(-x)=(-x)^2-(-\operatorname{tg} x)^2=x^2-\operatorname{tg} ^2 x=g(x)[/tex]
Следователно функцията [tex]g[/tex] е четна.

Решение:
Функцията [tex]h[/tex] е четна, ако дефиниционната ѝ област е симетрична относно [tex]0[/tex] и [tex]h(-x)=h(x)[/tex] за всяко [tex]x[/tex] от нея.
Трябва да съществуват [tex]\operatorname{tg} x[/tex] и [tex]\operatorname{cotg} x[/tex], т.е. [tex]x\ne\frac{k\pi}{2}[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex]. За тези [tex]x[/tex] знаменателят не е нула:
[tex]\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x=\frac{\sin ^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}\ne 0[/tex]
Следователно дефиниционната област е [tex]x\ne\frac{k\pi}{2}[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex], която е симетрична относно [tex]0[/tex]. Като използваме, че [tex]\sin (-x)=-\sin x[/tex], [tex]\operatorname{tg} (-x)=-\operatorname{tg} x[/tex] и [tex]\operatorname{cotg} (-x)=-\operatorname{cotg} x[/tex], получаваме
[tex]h(-x)=\frac{-\sin x}{-\operatorname{tg} x-\operatorname{cotg} x}=\frac{\sin x}{\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x}=h(x)[/tex]
Следователно функцията [tex]h[/tex] е четна.

Решение:
Графиката е симетрична относно началото на координатната система точно когато функцията е нечетна: дефиниционната ѝ област е симетрична относно [tex]0[/tex] и [tex]f(-x)=-f(x)[/tex] за всяко [tex]x[/tex] от нея.
За [tex]f(x)=\frac{2(x-1)}{x+1}[/tex] дефиниционната област [tex]x\ne -1[/tex] не е симетрична ([tex]1[/tex] принадлежи на нея, а [tex]-1[/tex] не), затова функцията не е нечетна.
За [tex]f(x)=x^3-x^2-x-1[/tex] имаме [tex]f(1)=-2[/tex] и [tex]f(-1)=-2[/tex], т.е. [tex]f(-1)\ne -f(1)[/tex] и функцията не е нечетна.
За [tex]f(x)=2^{1-x^2}[/tex] имаме [tex]f(-x)=f(x)[/tex] и [tex]f(0)=2\ne 0[/tex], затова функцията е четна, а не нечетна (нечетна функция, дефинирана в [tex]0[/tex], има [tex]f(0)=0[/tex]).
За [tex]f(x)=x\sqrt{1-x^2}[/tex] дефиниционната област [tex]\left[-1 ; 1\right][/tex] е симетрична и
[tex]f(-x)=-x\sqrt{1-(-x)^2}=-x\sqrt{1-x^2}=-f(x)[/tex]
Следователно тази функция е нечетна и графиката ѝ е симетрична относно началото на координатната система.

Решение:
Дефиниционната област е [tex]\mathbb{R}[/tex], която е симетрична. Имаме
[tex]f(-x)=2^{(a-2)x^2-(a-1)x-1}[/tex]
Тъй като [tex]2^t[/tex] е строго растяща, две нейни стойности са равни само при равни показатели. Затова [tex]f(-x)=f(x)[/tex] за всяко [tex]x[/tex] е равносилно на
[tex](a-2)x^2-(a-1)x-1=(a-2)x^2+(a-1)x-1\iff 2(a-1)x=0[/tex]
за всяко реално [tex]x[/tex]. При [tex]x=1[/tex] получаваме [tex]a=1[/tex]. Обратно, при [tex]a=1[/tex] имаме [tex]f(x)=2^{-x^2-1}[/tex], която е четна. Следователно [tex]a=1[/tex].

Решение:
При [tex]x\ge 0[/tex] имаме
[tex]f(x)=g(x)=x(x+4)(x-2)(x+2)[/tex]
и тъй като там [tex]x+4\gt 0[/tex] и [tex]x+2\gt 0[/tex], то [tex]f(x)=0[/tex] само при [tex]x=0[/tex] и [tex]x=2[/tex].
При [tex]x\lt 0[/tex] имаме [tex]-x\gt 0[/tex] и понеже [tex]f[/tex] е нечетна, [tex]f(x)=-f(-x)[/tex]. Следователно
[tex]f(x)=0\iff f(-x)=0\iff -x=2\iff x=-2[/tex]
Нулите [tex]-4[/tex] и [tex]-2[/tex] на формулата за [tex]g[/tex] не могат да се вземат автоматично, защото тази формула дава [tex]f[/tex] само при [tex]x\ge 0[/tex]. Например
[tex]f(-4)=-f(4)=-g(4)=-4\cdot 8\cdot 12=-384\ne 0[/tex]
Следователно решенията са [tex]-2[/tex], [tex]0[/tex] и [tex]2[/tex], т.е. уравнението има [tex]3[/tex] решения.

Решение:
Нека [tex]x_0[/tex] е единственият корен, т.е. [tex]x_0[/tex] принадлежи на дефиниционната област и [tex]f(x_0)=5[/tex]. Дефиниционната област на четна функция е симетрична относно [tex]0[/tex], затова и [tex]-x_0[/tex] принадлежи на нея, а от четността
[tex]f(-x_0)=f(x_0)=5[/tex]
Значи [tex]-x_0[/tex] също е корен на уравнението. Тъй като коренът е единствен,
[tex]-x_0=x_0\Rightarrow 2x_0=0\Rightarrow x_0=0[/tex]

Решение:
Дефиниционната област на [tex]f[/tex] е [tex]x\ne -c[/tex], а дефиниционната област на нечетна функция е симетрична относно [tex]0[/tex]. Ако [tex]c\ne 0[/tex], то [tex]x=c[/tex] принадлежи на дефиниционната област (защото [tex]c\ne -c[/tex]), а [tex]-c[/tex] не принадлежи — противоречие. Следователно [tex]c=0[/tex] и
[tex]f(x)=\frac{ax^2+b}{x}=ax+\frac{b}{x}[/tex]
която е нечетна за всички [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex]. От [tex]f(1)=a+b=2[/tex] получаваме [tex]b=2-a[/tex]. При [tex]x\gt 0[/tex], след умножение с [tex]x[/tex], условието [tex]f(x)\ge 2[/tex] става [tex]p(x)\ge 0[/tex] за всяко [tex]x\gt 0[/tex], където
[tex]p(x)=ax^2-2x+2-a=(x-1)\left(ax-(2-a)\right)[/tex]
Ако [tex]a=0[/tex], то [tex]p(x)=-2(x-1)\lt 0[/tex] при [tex]x\gt 1[/tex], което е невъзможно.
Ако [tex]a\ne 0[/tex] и вторият корен [tex]\frac{2-a}{a}\ne 1[/tex], то [tex]x=1[/tex] е прост корен на [tex]p[/tex], затова [tex]p[/tex] сменя знака си в [tex]x=1[/tex] и е отрицателен за някое положително [tex]x[/tex], близко до [tex]1[/tex], което е невъзможно. Следователно
[tex]\frac{2-a}{a}=1\Rightarrow a=1\Rightarrow b=2-a=1[/tex]
Проверка: при [tex]a=b=1[/tex], [tex]c=0[/tex] функцията [tex]f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}[/tex] е нечетна, [tex]f(1)=2[/tex] и при [tex]x\gt 0[/tex]
[tex]f(x)-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0[/tex]
Следователно единствената такава функция е [tex]f(x)=\frac{x^2+1}{x}[/tex].