Уравнения и неравенства с параметър - задачи с решения

Решение:
Уравнението е квадратно относно [tex]x[/tex] (старшият коефициент е [tex]1[/tex]). За дискриминантата му [tex]D[/tex] получаваме
[tex]\frac{D}{4}=(2m-3)^2-\left(5m^2-16m+20\right)=4m^2-12m+9-5m^2+16m-20=-m^2+4m-11[/tex]
Отделяме точен квадрат:
[tex]\frac{D}{4}=-\left(m^2-4m+4\right)-7=-(m-2)^2-7[/tex]
Тъй като [tex](m-2)^2\ge 0[/tex] за всяко реално [tex]m[/tex], получаваме [tex]\frac{D}{4}\le -7\lt 0[/tex]. Следователно при всяка стойност на [tex]m[/tex] дискриминантата е отрицателна и уравнението няма реални корени.

Решение:
Да допуснем, че такова [tex]m[/tex] съществува. Тогава [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] са реални корени на уравнението и според формулите на Виет
[tex]x_1x_2=1[/tex]
От друга страна, [tex]x_1\gt 2\gt 0[/tex] и [tex]x_2\gt 5\gt 0[/tex], следователно
[tex]x_1x_2\gt 2\cdot 5=10[/tex]
Това противоречи на [tex]x_1x_2=1[/tex]. Следователно такава стойност на [tex]m[/tex] не съществува.

Решение:
Тъй като [tex]m^2+2\gt 0[/tex], уравнението е квадратно за всяко [tex]m[/tex]. Сборът от коефициентите му е нула:
[tex](m^2+2)-(m^2+6)+4=0[/tex]
следователно [tex]x_1=1[/tex] е корен за всяко [tex]m[/tex]. От формулите на Виет другият корен е
[tex]x_2=\frac{x_1x_2}{x_1}=\frac{4}{m^2+2}[/tex]
Тъй като [tex]m^2+2\ge 2[/tex], получаваме
[tex]0\lt x_2\le \frac{4}{2}=2[/tex]
като равенство има само при [tex]m=0[/tex]: тогава уравнението е [tex]2x^2-6x+4=0[/tex] с корени [tex]1[/tex] и [tex]2[/tex]. Следователно никой корен не е по-голям от [tex]2[/tex], а стойността [tex]2[/tex] се достига. Най-големият възможен корен е [tex]2[/tex].

Решение:
Случай 1: старшият коефициент е нула, [tex]a^2-4=0[/tex]. При [tex]a=2[/tex] неравенството става [tex]-3\lt 0[/tex], което е вярно за всяко [tex]x[/tex], следователно [tex]a=2[/tex] е решение. При [tex]a=-2[/tex] то става [tex]8x-3\lt 0[/tex], т.е. [tex]x\lt \frac{3}{8}[/tex], което не е вярно за всяко [tex]x[/tex]; затова [tex]a=-2[/tex] отпада.
Случай 2: [tex]a^2-4\ne 0[/tex]. Квадратният тричлен е отрицателен за всяко [tex]x[/tex] точно когато старшият му коефициент и дискриминантата му са отрицателни:
[tex]a^2-4\lt 0\iff a\in\left(-2; 2\right)[/tex]
[tex]\frac{D}{4}=(a-2)^2+3(a^2-4)=(a-2)(a-2+3a+6)=4(a-2)(a+1)\lt 0\iff a\in\left(-1; 2\right)[/tex]
Общо: [tex]a\in\left(-1; 2\right)[/tex]. (При [tex]a=-1[/tex] тричленът е [tex]-3(x-1)^2[/tex] и е равен на [tex]0[/tex] при [tex]x=1[/tex], така че [tex]a=-1[/tex] с право се изключва.) Обединяваме двата случая:
[tex]a\in\left(-1; 2\right][/tex]

Решение:
Ако [tex]a=2[/tex], неравенството става [tex]8x+6\gt 0[/tex], което не е вярно например при [tex]x=-1[/tex].
Ако [tex]a\ne 2[/tex], квадратният тричлен е положителен за всяко реално [tex]x[/tex] точно когато старшият му коефициент е положителен, а дискриминантата е отрицателна:
[tex]a-2\gt 0,\quad \frac{D}{4}=16-(a-2)(a+4)\lt 0[/tex]
Второто условие е
[tex]a^2+2a-24\gt 0\iff (a+6)(a-4)\gt 0\iff a\lt -6\text{ или }a\gt 4[/tex]
Заедно с [tex]a\gt 2[/tex] това дава [tex]a\gt 4[/tex]. Стойността [tex]a=4[/tex] не е допустима: тогава тричленът е [tex]2x^2+8x+8=2(x+2)^2[/tex] и е равен на [tex]0[/tex] при [tex]x=-2[/tex]. Следователно най-малкото цяло число е [tex]a=5[/tex]. Проверка:
[tex]a=5:\quad 3x^2+8x+9,\quad 3\gt 0,\quad \frac{D}{4}=16-27\lt 0[/tex]

Решение:
Знаменателят е положителен за всяко [tex]x[/tex]:
[tex]x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\gt 0[/tex]
затова можем да умножим по него, без да променяме посоката на неравенството:
[tex]x^2+ax\lt 3x^2+3x+3\iff 2x^2+(3-a)x+3\gt 0[/tex]
Квадратен тричлен с положителен старши коефициент е положителен за всяко реално [tex]x[/tex] точно когато дискриминантата му е отрицателна:
[tex](3-a)^2-24\lt 0\iff |a-3|\lt 2\sqrt{6}\iff 3-2\sqrt{6}\lt a\lt 3+2\sqrt{6}[/tex]
Тъй като [tex]16\lt 24\lt 25[/tex], имаме [tex]4\lt 2\sqrt{6}\lt 5[/tex], следователно
[tex]-2\lt 3-2\sqrt{6}\lt -1,\quad 7\lt 3+2\sqrt{6}\lt 8[/tex]
Целите числа в този интервал са [tex]-1; 0; 1; \ldots; 7[/tex], т.е. [tex]9[/tex] стойности.

Решение:
Нека [tex]f(x)=\left(a^2+1\right)x^2+(3a-4)x+a^2+5[/tex]. Старшият коефициент [tex]a^2+1[/tex] е положителен за всяко [tex]a[/tex], така че клоните на параболата са насочени нагоре. За такъв квадратен тричлен неравенството [tex]f(3)\lt 0[/tex] е изпълнено точно когато [tex]f[/tex] има два реални корена и [tex]x_1\lt 3\lt x_2[/tex] (затова не е нужно да изследваме дискриминантата).
Ако освен това [tex]f(7)\gt 0[/tex], то [tex]7[/tex] е извън [tex]\left[x_1; x_2\right][/tex], а тъй като [tex]7\gt 3\gt x_1[/tex], това означава [tex]x_2\lt 7[/tex]; обратно, от [tex]x_1\lt 3\lt x_2\lt 7[/tex] следва [tex]f(7)\gt 0[/tex]. Следователно условието е равносилно на системата
[tex]\begin{cases} f(3)\lt 0\\ f(7)\gt 0\end{cases}[/tex]
Пресмятаме
[tex]f(3)=9\left(a^2+1\right)+3(3a-4)+a^2+5=10a^2+9a+2=(2a+1)(5a+2)[/tex]
[tex]f(3)\lt 0\iff -\frac{1}{2}\lt a\lt -\frac{2}{5}[/tex]
[tex]f(7)=49\left(a^2+1\right)+7(3a-4)+a^2+5=50a^2+21a+26[/tex]
Като квадратен тричлен относно [tex]a[/tex] последният израз има положителен старши коефициент и дискриминанта [tex]21^2-4\cdot 50\cdot 26=441-5200\lt 0[/tex], следователно [tex]f(7)\gt 0[/tex] за всяко [tex]a[/tex]. Значи
[tex]a\in\left(-\frac{1}{2}; -\frac{2}{5}\right)[/tex]

Решение:
Дефиниционната област е [tex]x\ge 0[/tex], [tex]x\ge a[/tex]. Записваме уравнението във вида
[tex]\sqrt{x-a}=1-\sqrt{x}[/tex]
Лявата страна е неотрицателна, затова всяко решение удовлетворява [tex]1-\sqrt{x}\ge 0[/tex], т.е. [tex]\sqrt{x}\le 1[/tex]. При това условие повдигането на квадрат е еквивалентно преобразование:
[tex]x-a=1-2\sqrt{x}+x\iff \sqrt{x}=\frac{1+a}{2}[/tex]
Това изисква [tex]\frac{1+a}{2}\ge 0[/tex], т.е. [tex]a\ge -1[/tex], а условието [tex]\sqrt{x}\le 1[/tex] дава [tex]\frac{1+a}{2}\le 1[/tex], т.е. [tex]a\le 1[/tex]. За такива [tex]a[/tex]
[tex]x=\frac{(a+1)^2}{4}\ge 0,\quad x-a=\frac{(1-a)^2}{4}\ge 0[/tex]
така че [tex]x[/tex] е в дефиниционната област. Следователно при [tex]a\in\left[-1; 1\right][/tex] уравнението има единствен корен [tex]x=\frac{(a+1)^2}{4}[/tex], а при всяко друго [tex]a[/tex] няма корени. Проверка на краищата: при [tex]a=-1[/tex] имаме [tex]x=0[/tex] и [tex]\sqrt{1}+\sqrt{0}=1[/tex]; при [tex]a=1[/tex] имаме [tex]x=1[/tex] и [tex]\sqrt{0}+\sqrt{1}=1[/tex].

Решение:
Дефиниционна област: [tex]x^2-3x-4=(x+1)(x-4)\ne 0[/tex], т.е. [tex]x\ne -1[/tex] и [tex]x\ne 4[/tex]. Числителят се разлага така:
[tex]x^2-(3a-1)x+2a^2-2=\left(x-(a+1)\right)\left(x-(2a-2)\right)[/tex]
защото [tex](a+1)+(2a-2)=3a-1[/tex] и [tex](a+1)(2a-2)=2a^2-2[/tex]. Следователно единствените кандидати са [tex]x_1=a+1[/tex] и [tex]x_2=2a-2[/tex]. Те съвпадат само при [tex]a=3[/tex], но тогава [tex]x_1=x_2=4[/tex] е извън дефиниционната област и уравнението няма корени. При [tex]a\ne 3[/tex] двата кандидата са различни, така че уравнението има единствен корен точно когато единият от тях е равен на [tex]-1[/tex] или на [tex]4[/tex], а другият не е:
[tex]a+1=-1\Rightarrow a=-2[/tex]; тогава [tex]x_2=-6[/tex] е допустим;
[tex]2a-2=-1\Rightarrow a=\frac{1}{2}[/tex]; тогава [tex]x_1=\frac{3}{2}[/tex] е допустим;
[tex]a+1=4[/tex] или [tex]2a-2=4[/tex] дава [tex]a=3[/tex], което вече е отхвърлено.
Следователно уравнението има единствен корен при [tex]a=-2[/tex] (коренът [tex]x=-6[/tex]) и при [tex]a=\frac{1}{2}[/tex] (коренът [tex]x=\frac{3}{2}[/tex]):
[tex]a\in\left\{-2; \frac{1}{2}\right\}[/tex]

Решение:
Дефиниционната област е [tex]x\ge 3a[/tex]. При [tex]x=3a[/tex] коренът е равен на [tex]0[/tex], затова лявата страна е [tex]0[/tex] и [tex]x=3a[/tex] е решение за всяко [tex]a[/tex].
При [tex]x\gt 3a[/tex] коренът е положителен и неравенството е еквивалентно на
[tex]x+a-1\le 0\iff x\le 1-a[/tex]
Следователно множеството от решенията е
[tex]\left\{3a\right\}\cup\left(3a ; 1-a\right][/tex]
Решението е точно едно тогава и само тогава, когато интервалът [tex]\left(3a ; 1-a\right][/tex] е празен:
[tex]1-a\le 3a\iff a\ge\frac{1}{4}[/tex]
Не е достатъчно да се изисква [tex]3a=1-a[/tex]: например при [tex]a=1[/tex] единственото решение е [tex]x=3[/tex], защото при [tex]x\gt 3[/tex] и двата множителя са положителни. Следователно [tex]a\in\left[\frac{1}{4} ; +\infty\right)[/tex].

Решение:
Нека [tex]x_0[/tex] е общ корен. Като извадим второто уравнение от първото, получаваме
[tex](a-1)x_0+8-a=0[/tex]
Ако [tex]a=1[/tex], това дава [tex]7=0[/tex], което е невъзможно. Следователно [tex]a\ne 1[/tex] и [tex]x_0=\frac{a-8}{a-1}[/tex]. Обратно, число, което удовлетворява второто уравнение и тази разлика, удовлетворява и първото, затова е достатъчно да заместим [tex]x_0[/tex] в [tex]x_0^2+x_0+a=0[/tex] и да умножим по [tex](a-1)^2[/tex]:
[tex](a-8)^2+(a-8)(a-1)+a(a-1)^2=0\iff a^3-24a+72=0[/tex]
Тъй като [tex]a=-6[/tex] е корен, то
[tex]a^3-24a+72=(a+6)(a^2-6a+12),\qquad a^2-6a+12=(a-3)^2+3\gt 0[/tex]
Следователно единствената възможност е [tex]a=-6[/tex], като [tex]x_0=\frac{-14}{-7}=2[/tex]. Проверка: при [tex]a=-6[/tex] уравнението [tex]x^2-6x+8=0[/tex] има корени [tex]2[/tex] и [tex]4[/tex], а [tex]x^2+x-6=0[/tex] има корени [tex]2[/tex] и [tex]-3[/tex]; общият корен е [tex]2[/tex]. Отговорът е [tex]a=-6[/tex].