Системи линейни уравнения и ранг на матрица - задачи с решения

Решение:
Означаваме редовете на [tex]A[/tex] с [tex]R_1, R_2, R_3, R_4[/tex]. Последните два реда са сумата и разликата на първите два:
[tex]R_1+R_2=\left(3; 2; 0; -2\right)=R_3,\qquad R_1-R_2=\left(1; 4; -2; 0\right)=R_4[/tex]
Елементарните преобразувания [tex]R_3-R_1-R_2[/tex] и [tex]R_4-R_1+R_2[/tex] не променят ранга и превръщат последните два реда в нулеви:
[tex]A\sim\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Всеки минор от ред [tex]3[/tex] или [tex]4[/tex] на тази матрица съдържа нулев ред и е равен на нула, така че рангът е най-много [tex]2[/tex]. От друга страна, има ненулев минор от ред [tex]2[/tex]:
[tex]\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-2-3=-5\ne 0\ \Rightarrow\ \operatorname{rank}A=2[/tex]

Решение:
Детерминантата на системата, развита по първия ред, е
[tex]\Delta=\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix}=2(16-4)+(12+6)-(-6-12)=24+18+18=60[/tex]
Тъй като [tex]\Delta\ne 0[/tex], формулите на Крамер са приложими и решението е единствено. Като заменяме последователно стълба на всяко неизвестно със стълба на свободните членове, получаваме
[tex]\Delta_1=\begin{vmatrix} 4 & -1 & -1 \\ 11 & 4 & -2 \\ 11 & -2 & 4 \end{vmatrix}=4(16-4)+(44+22)-(-22-44)=48+66+66=180[/tex]
[tex]\Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 3 & 11 & -2 \\ 3 & 11 & 4 \end{vmatrix}=2(44+22)-4(12+6)-(33-33)=132-72=60[/tex]
[tex]\Delta_3=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 3 & 4 & 11 \\ 3 & -2 & 11 \end{vmatrix}=2(44+22)+(33-33)+4(-6-12)=132-72=60[/tex]
Следователно
[tex]x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{180}{60}=3,\qquad x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{60}{60}=1,\qquad x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{60}{60}=1[/tex]
Проверка: [tex]6-1-1=4[/tex], [tex]9+4-2=11[/tex], [tex]9-2+4=11[/tex].

Решение:
Съгласно теоремата на Кронекер-Капели сравняваме ранга на матрицата от коефициентите [tex]A[/tex] с ранга на разширената матрица [tex]\bar{A}[/tex]. Първо,
[tex]\det A=\begin{vmatrix}4&2&3\\2&8&-1\\9&1&8\end{vmatrix}=4(64+1)-2(16+9)+3(2-72)=260-50-210=0[/tex]
а първите два реда на [tex]A[/tex] не са пропорционални, така че [tex]\operatorname{rank}A=2[/tex]. Наистина, редовете на [tex]A[/tex] удовлетворяват връзката
[tex]5\left(4; 2; 3\right)-\left(2; 8; -1\right)-2\left(9; 1; 8\right)=\left(0; 0; 0\right)[/tex]
Означаваме уравненията с [tex]E_1, E_2, E_3[/tex] и образуваме същата комбинация [tex]5E_1-E_2-2E_3[/tex]. Лявата ѝ страна се анулира, а дясната е равна на
[tex]5\cdot (-2)-8-2\cdot 0=-18[/tex]
Получаваме противоречието [tex]0=-18[/tex]. Следователно [tex]\operatorname{rank}\bar{A}=3\ne\operatorname{rank}A=2[/tex], системата е несъвместима и няма решение.

Решение:
Векторите са линейно зависими точно когато матрицата с редове [tex]\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3[/tex] има ранг, по-малък от [tex]3[/tex], т.е. когато детерминантата ѝ е нула. Развиваме по първия ред:
[tex]\begin{vmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\-1&13&5\end{vmatrix}=1\cdot (15-13)-2\cdot (-5+1)+1\cdot (-13+3)=2+8-10=0[/tex]
Тъй като [tex]\vec{a}_1[/tex] и [tex]\vec{a}_2[/tex] не са колинеарни, рангът е [tex]2[/tex] и значи [tex]\vec{a}_3[/tex] е линейна комбинация на [tex]\vec{a}_1[/tex] и [tex]\vec{a}_2[/tex]. Нека [tex]\vec{a}_3=x\vec{a}_1+y\vec{a}_2[/tex]. Като сравним координатите, получаваме
[tex]\begin{cases} x-y=-1 \\ 2x+3y=13 \\ x+y=5 \end{cases}[/tex]
От първото и третото уравнение [tex]x=2[/tex], [tex]y=3[/tex], като второто също е изпълнено: [tex]2\cdot 2+3\cdot 3=13[/tex]. Следователно
[tex]2\left(1; 2; 1\right)+3\left(-1; 3; 1\right)=\left(-1; 13; 5\right)\ \Rightarrow\ \vec{a}_3=2\vec{a}_1+3\vec{a}_2[/tex]

Решение:
Прилагаме метода на Гаус към матрицата от коефициентите: [tex]R_2-3R_1[/tex] и [tex]R_3-4R_1[/tex], след това делим новите втори и трети ред на [tex]7[/tex] и [tex]9[/tex] и ги изваждаме:
[tex]\begin{bmatrix} 1 & -4 & -2 \\ 3 & -5 & 1 \\ 4 & -7 & 1 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & -4 & -2 \\ 0 & 7 & 7 \\ 0 & 9 & 9 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & -4 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Рангът е [tex]2[/tex], по-малък от броя на неизвестните [tex]3[/tex], затова системата има ненулеви решения, зависещи от [tex]3-2=1[/tex] параметър. Полагаме [tex]x_3=t[/tex]. От втория ред и след това от първото уравнение
[tex]x_2+x_3=0\ \Rightarrow\ x_2=-t,\qquad x_1=4x_2+2x_3=-4t+2t=-2t[/tex]
Проверка в третото уравнение: [tex]4(-2t)-7(-t)+t=-8t+7t+t=0[/tex]. Следователно решенията са
[tex]\left(x_1; x_2; x_3\right)=\left(-2t; -t; t\right),\ t\in\mathbb{R}[/tex]

Решение:
Означаваме уравненията с [tex]E_1, E_2, E_3, E_4[/tex] и ги сравняваме заедно с десните им страни. Третото уравнение е сбор на първите две, а четвъртото е сбор на второто и третото:
[tex]E_1+E_2:\ 3x-13y-z=-1\ \left(=E_3\right),\qquad E_2+E_3:\ 5x-22y-5z=1\ \left(=E_4\right)[/tex]
Следователно последните две уравнения могат да се премахнат. Първите две уравнения не са пропорционални, затова [tex]\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}\bar{A}=2\lt 3[/tex] и по теоремата на Кронекер-Капели системата е съвместима и има безбройно много решения, зависещи от [tex]3-2=1[/tex] свободно неизвестно. Полагаме [tex]z=t[/tex]. От първото уравнение [tex]x=4y-3t-3[/tex]; като заместим във второто, получаваме
[tex]2(4y-3t-3)-9y-4t=2\ \Rightarrow\ -y-10t-6=2\ \Rightarrow\ y=-8-10t[/tex]
[tex]x=4(-8-10t)-3t-3=-35-43t[/tex]
Проверка:
[tex]x-4y+3z=-35-43t+32+40t+3t=-3,\qquad 2x-9y-4z=-70-86t+72+90t-4t=2[/tex]
Следователно решенията са
[tex]\left(x; y; z\right)=\left(-35-43t; -8-10t; t\right),\ t\in\mathbb{R}[/tex]

Решение:
Рангът на система вектори е равен на ранга на матрицата, чиито редове са координатите на векторите, а елементарните преобразувания по редове не го променят. С [tex]R_2-2R_1[/tex], [tex]R_3+R_1[/tex], [tex]R_4+2R_1[/tex], [tex]R_5-3R_1[/tex] получаваме
[tex]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 3 & -4 & 1 \\ -1 & -9 & 19 & -9 \\ -2 & 4 & -18 & 12 \\ 3 & -4 & 1 & 2 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & -1 & -10 & 9 \\ 0 & -7 & 22 & -13 \\ 0 & 8 & -12 & 4 \\ 0 & -10 & -8 & 14 \end{bmatrix}[/tex]
След това [tex]R_3-7R_2[/tex], [tex]R_4+8R_2[/tex], [tex]R_5-10R_2[/tex] и накрая [tex]R_4+R_3[/tex], [tex]R_5-R_3[/tex]:
[tex]\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & -1 & -10 & 9 \\ 0 & 0 & 92 & -76 \\ 0 & 0 & -92 & 76 \\ 0 & 0 & 92 & -76 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & -1 & -10 & 9 \\ 0 & 0 & 92 & -76 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Стъпаловидната форма има три ненулеви реда: всеки минор от ред [tex]4[/tex] съдържа нулев ред и е равен на нула, докато
[tex]\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -10 \\ 0 & 0 & 92 \end{vmatrix}=1\cdot (-1)\cdot 92=-92\ne 0[/tex]
Следователно рангът на системата е [tex]3[/tex]. Наистина, [tex]d=-(a+b+c)[/tex] и [tex]e=-2a+3b+c[/tex], а [tex]a, b, c[/tex] са линейно независими.