Функции на няколко променливи - задачи с решения

Решение:
Функцията [tex]\arcsin u[/tex] е дефинирана само при [tex]-1\le u\le 1[/tex], следователно трябва
[tex]-1\le 25x^2+9y^2\le 1[/tex]
Лявото неравенство е изпълнено винаги, защото [tex]25x^2+9y^2\ge 0\gt -1[/tex]. Дясното може да се запише във вида
[tex]25x^2+9y^2\le 1\iff \frac{x^2}{\left(\frac{1}{5}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{1}{3}\right)^2}\le 1[/tex]
Следователно дефиниционната област се състои от точките на елипсата с център [tex]O(0; 0)[/tex] и полуоси [tex]\frac{1}{5}[/tex] (по оста [tex]Ox[/tex]) и [tex]\frac{1}{3}[/tex] (по оста [tex]Oy[/tex]) и от вътрешността ѝ. Самата елипса принадлежи на областта, защото [tex]\arcsin 1[/tex] е дефинирано:
[tex]D=\left\{(x,y):\ 25x^2+9y^2\le 1\right\}[/tex]

Решение:
Тук [tex]z[/tex] зависи от [tex]t[/tex] чрез [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]. Функцията [tex]e^{x-2y}[/tex] има непрекъснати частни производни, а [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са диференцируеми функции на [tex]t[/tex], следователно по правилото за диференциране на сложна функция
[tex]\frac{dz}{dt}=z'_x\,\frac{dx}{dt}+z'_y\,\frac{dy}{dt}[/tex]
Имаме
[tex]z'_x=e^{x-2y},\quad z'_y=-2e^{x-2y},\quad \frac{dx}{dt}=\cos t,\quad \frac{dy}{dt}=3t^2[/tex]
следователно
[tex]\frac{dz}{dt}=e^{x-2y}\cos t-2e^{x-2y}\cdot 3t^2=e^{\sin t-2t^3}\left(\cos t-6t^2\right)[/tex]
Проверка: директно [tex]z=e^{\sin t-2t^3}[/tex], а производната на степенния показател е [tex]\cos t-6t^2[/tex], което дава същия резултат.

Решение:
При [tex]x\gt 0[/tex] функцията [tex]z=x^y=e^{y\ln x}[/tex] има непрекъснати частни производни от всякакъв ред. Диференцираме по [tex]x[/tex] ([tex]y[/tex] е константа, производна на степенна функция):
[tex]z'_x=y\,x^{y-1}[/tex]
Сега диференцираме [tex]z'_x[/tex] по [tex]y[/tex] ([tex]x[/tex] е константа). И двата множителя зависят от [tex]y[/tex], затова използваме правилото за производна на произведение и [tex]\left(x^{y-1}\right)'_y=x^{y-1}\ln x[/tex]:
[tex]z''_{xy}=1\cdot x^{y-1}+y\,x^{y-1}\ln x=x^{y-1}\left(1+y\ln x\right)[/tex]
Проверка в обратния ред (по теоремата на Шварц резултатът трябва да е същият):
[tex]z'_y=x^y\ln x,\qquad z''_{yx}=y\,x^{y-1}\ln x+x^y\cdot \frac{1}{x}=x^{y-1}\left(1+y\ln x\right)[/tex]

Решение:
Полагаме [tex]F(x,y,z)=x^3+2y^3+z^2-3xyz-2y+3[/tex]. Функцията [tex]F[/tex] има непрекъснати частни производни, затова в точките, в които [tex]F'_z\ne 0[/tex], от теоремата за неявната функция следва
[tex]z'_y=-\frac{F'_y}{F'_z}[/tex]
Тук
[tex]F'_y=6y^2-3xz-2,\qquad F'_z=2z-3xy[/tex]
Следователно
[tex]z'_y=-\frac{6y^2-3xz-2}{2z-3xy}=\frac{3xz-6y^2+2}{2z-3xy}[/tex]
Същият резултат се получава, ако диференцираме тъждеството по [tex]y[/tex], като имаме предвид, че [tex]z=z(x,y)[/tex]:
[tex]6y^2+2z\,z'_y-3xz-3xy\,z'_y-2=0\ \Rightarrow\ z'_y\left(2z-3xy\right)=3xz-6y^2+2[/tex]

Решение:
Функцията има непрекъснати частни производни около [tex]M[/tex] (там [tex]x^{2}+y^{2}\ne 0[/tex]), следователно е диференцируема в [tex]M[/tex] и производната ѝ по посока на единичния вектор [tex]\vec{l}_0=\left(\cos\alpha; \cos\beta\right)[/tex] е
[tex]\frac{\partial z}{\partial l}(M)=z'_x(M)\cos\alpha+z'_y(M)\cos\beta[/tex]
Като използваме [tex]\left(\operatorname{arccotg}u\right)'=-\frac{1}{1+u^{2}}[/tex], получаваме
[tex]z'_x=-\frac{3}{1+(3x+4y)^{2}}+\frac{2x}{x^{2}+y^{2}},\qquad z'_y=-\frac{4}{1+(3x+4y)^{2}}+\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}[/tex]
В точката [tex]M(-1; 1)[/tex] имаме [tex]3x+4y=1[/tex] и [tex]x^{2}+y^{2}=2[/tex], следователно
[tex]z'_x(M)=-\frac{3}{2}-1=-\frac{5}{2},\qquad z'_y(M)=-2+1=-1[/tex]
Освен това [tex]\overrightarrow{MN}=(4; 3)[/tex] и [tex]\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{16+9}=5[/tex], значи [tex]\vec{l}_0=\left(\frac{4}{5}; \frac{3}{5}\right)[/tex]. Следователно
[tex]\frac{\partial z}{\partial l}(M)=-\frac{5}{2}\cdot \frac{4}{5}+(-1)\cdot \frac{3}{5}=-2-\frac{3}{5}=-\frac{13}{5}[/tex]

Решение:
Вземаме [tex]x_0=1[/tex], [tex]y_0=2[/tex], [tex]\Delta x=0{,}05[/tex], [tex]\Delta y=0{,}01[/tex]. Функцията има непрекъснати частни производни, следователно е диференцируема и при малки нараствания
[tex]z\left(x_0+\Delta x,\,y_0+\Delta y\right)\approx z\left(x_0,y_0\right)+dz,\qquad dz=z'_x\left(x_0,y_0\right)\Delta x+z'_y\left(x_0,y_0\right)\Delta y[/tex]
Пресмятаме
[tex]z(1; 2)=3-4-\frac{\sin 2\pi}{\pi}=-1[/tex]
[tex]z'_x=6x-y^2\ \Rightarrow\ z'_x(1; 2)=6-4=2[/tex]
[tex]z'_y=-2xy-\cos \pi y\ \Rightarrow\ z'_y(1; 2)=-4-\cos 2\pi=-5[/tex]
[tex]dz=2\cdot 0{,}05+(-5)\cdot 0{,}01=0{,}1-0{,}05=0{,}05[/tex]
Следователно
[tex]z\left(1{,}05; 2{,}01\right)\approx -1+0{,}05=-0{,}95[/tex]

Решение:
Печалбата е
[tex]P(x,y)=R(x,y)-C(x,y)=-2x^{2}+2xy-3y^{2}+900x+1800y[/tex]
Стационарни точки:
[tex]\begin{cases}P'_x=-4x+2y+900=0\\ P'_y=2x-6y+1800=0\end{cases}[/tex]
От първото уравнение [tex]y=2x-450[/tex]. Като заместим във второто, получаваме [tex]2x-12x+2700+1800=0[/tex], т.е. [tex]x=450[/tex] и [tex]y=450[/tex]. Вторите производни са константи:
[tex]P''_{xx}=-4,\quad P''_{xy}=2,\quad P''_{yy}=-6,\qquad \Delta=P''_{xx}P''_{yy}-\left(P''_{xy}\right)^{2}=24-4=20\gt 0[/tex]
Тъй като [tex]\Delta\gt 0[/tex] и [tex]P''_{xx}\lt 0[/tex], точката [tex](450; 450)[/tex] е локален максимум. Освен това вторите производни са едни и същи навсякъде, затова [tex]P[/tex] е вдлъбната функция в цялата равнина и този максимум е глобален. Количествата [tex]x=y=450[/tex] са цели числа, следователно са допустими. Максималната печалба е
[tex]P(450; 450)=-2\cdot 450^{2}+2\cdot 450^{2}-3\cdot 450^{2}+900\cdot 450+1800\cdot 450=-607500+405000+810000=607500[/tex]
Максималната печалба е [tex]607500[/tex] евро.