Геометрична вероятност - задачи с решения

Решение:
Числото е случайна точка от отсечката [tex]\left[0; 1\right][/tex], като всички точки са равновъзможни, затова вероятността то да попадне в дадена подотсечка е равна на отношението на дължината на подотсечката към дължината на цялата отсечка (геометрична вероятност). Тук подотсечката е [tex]\left[0{,}30; 0{,}42\right][/tex], а цялата отсечка има дължина [tex]1[/tex]:
[tex]P=\frac{0{,}42-0{,}30}{1}=0{,}12[/tex]

Решение:
Точката се избира равномерно в квадрата, затова търсената вероятност е равна на отношението на лицето на кръга към лицето на квадрата. Нека страната на квадрата е [tex]a[/tex]. Диаметърът на вписаната окръжност е равен на страната, следователно радиусът ѝ е [tex]r=\frac{a}{2}[/tex]:
[tex]P=\frac{\pi r^2}{a^2}=\frac{\pi a^2}{4a^2}=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785[/tex]
Вероятността не зависи от размера на квадрата.

Решение:
Тъй като [tex]x[/tex] е равномерно разпределено в [tex]\left[4; 38\right][/tex], вероятността е равна на дължината на благоприятното множество, разделена на дължината на целия интервал, [tex]38-4=34[/tex]. От неравенството на триъгълника всяка страна трябва да е по-малка от сбора на другите две:
[tex]x\lt 8+15=23,\qquad 15\lt 8+x\iff x\gt 7,\qquad 8\lt 15+x[/tex]
Последното неравенство е винаги изпълнено, така че благоприятното множество е интервалът [tex]\left(7; 23\right)[/tex] с дължина [tex]16[/tex], който се съдържа в [tex]\left[4; 38\right][/tex]:
[tex]P=\frac{16}{34}=\frac{8}{17}[/tex]