Геометрична вероятност - много трудни задачи с решения

Решение:
Точката [tex](X; Y; Z)[/tex] е равномерно разпределена в единичния куб, чийто обем е [tex]1[/tex], затова вероятностите са обеми. Поради симетрията между [tex]X[/tex] и [tex]Z[/tex] събитието [tex]X\lt Z[/tex] заема половината от куба:
[tex]P(X\lt Z)=\frac{1}{2}[/tex]
Равнините [tex]x=y[/tex], [tex]y=z[/tex] и [tex]x=z[/tex] разделят куба на [tex]6[/tex] еднакви части, по една за всяко подреждане на [tex]X[/tex], [tex]Y[/tex], [tex]Z[/tex] (равенствата имат обем нула), така че всяко подреждане има вероятност [tex]\frac{1}{6}[/tex]. Същото се получава и чрез интегриране:
[tex]P(X\lt Y\lt Z)=\int_0^1\frac{z^2}{2}\,dz=\frac{1}{6}[/tex]
Тъй като от [tex]X\lt Y\lt Z[/tex] следва [tex]X\lt Z[/tex], условната вероятност е
[tex]P\left(X\le Y\le Z\mid X\lt Z\right)=\frac{P(X\lt Y\lt Z)}{P(X\lt Z)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}[/tex]
С други думи, от трите равновероятни подреждания с [tex]X\lt Z[/tex] ([tex]Y\lt X\lt Z[/tex], [tex]X\lt Y\lt Z[/tex], [tex]X\lt Z\lt Y[/tex]) точно в едно [tex]Y[/tex] е между [tex]X[/tex] и [tex]Z[/tex]. Отговорът не е [tex]\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}[/tex], защото събитията [tex]X\lt Y[/tex] и [tex]Y\lt Z[/tex] не са независими.

Решение:
Нека [tex]x[/tex] е разстоянието от средата на клечката до най-близката граница, а [tex]\varphi[/tex] е ъгълът между клечката и границите. Тогава
[tex]0\le x\le 3 ; \quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}[/tex]
и точката [tex](\varphi; x)[/tex] е равномерно разпределена в правоъгълник с лице
[tex]\frac{\pi}{2}\cdot 3=\frac{3\pi}{2}[/tex]
Всяка половина на клечката има дължина [tex]3[/tex], а проекцията ѝ върху направлението, перпендикулярно на границите, е [tex]3\sin \varphi[/tex]. Следователно клечката пресича най-близката граница точно когато [tex]x\le 3\sin \varphi[/tex]; друга граница тя не може да достигне, защото следващата е на разстояние [tex]6-x\ge 3[/tex] от средата ѝ. Лицето на областта [tex]x\le 3\sin \varphi[/tex] е
[tex]\int_0^{\frac{\pi}{2}}3\sin \varphi\,d\varphi=\left.-3\cos\varphi\right|_0^{\frac{\pi}{2}}=3[/tex]
Вероятността клечката да пресече граница е отношението на лицата [tex]\frac{3}{\frac{3\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}[/tex], следователно вероятността тя да е изцяло върху едно райе е
[tex]P=1-\frac{2}{\pi}\approx 0{,}363[/tex]
(Това е задачата на Бюфон за иглата.)

Решение:
Отговорът не зависи от размера на квадрата, затова разглеждаме квадрата [tex]-1\le x\le 1[/tex], [tex]-1\le y\le 1[/tex] с център [tex]O(0; 0)[/tex]. Координатните оси и диагоналите го разделят на [tex]8[/tex] еднакви триъгълника, а условието е симетрично относно тези прави, затова е достатъчно да работим в триъгълника
[tex]T:\ 0\le y\le x\le 1 ; \quad S_T=\frac{1}{2}[/tex]
В [tex]T[/tex] най-близката страна е [tex]x=1[/tex], на разстояние [tex]1-x\ge 0[/tex]. Двете части на неравенството са неотрицателни, затова можем да ги повдигнем на квадрат:
[tex]\sqrt{x^2+y^2}\lt 1-x\iff x^2+y^2\lt 1-2x+x^2\iff x\lt\frac{1-y^2}{2}[/tex]
Заедно с [tex]x\ge y[/tex] това изисква [tex]y\lt\frac{1-y^2}{2}[/tex], т.е. [tex]y^2+2y-1\lt 0[/tex], откъдето [tex]0\le y\lt\sqrt{2}-1[/tex]. Нека [tex]t=\sqrt{2}-1[/tex]; лицето на благоприятната част от [tex]T[/tex] е
[tex]S=\int_0^{t}\left(\frac{1-y^2}{2}-y\right)dy=\frac{t}{2}-\frac{t^3}{6}-\frac{t^2}{2}=\frac{3t-t^3-3t^2}{6}[/tex]
Тъй като [tex]t^2=3-2\sqrt{2}[/tex] и [tex]t^3=5\sqrt{2}-7[/tex], получаваме
[tex]S=\frac{3\sqrt{2}-3-5\sqrt{2}+7-9+6\sqrt{2}}{6}=\frac{4\sqrt{2}-5}{6}[/tex]
Вероятността е равна на отношението на лицата:
[tex]P=\frac{S}{S_T}=\frac{4\sqrt{2}-5}{3}\approx 0{,}22[/tex]