Финансова математика - лихви и кредити - задачи с решения

Решение:
Всяка година се погасява една и съща част от главницата:
[tex]\frac{26000}{4}=6500[/tex]
Следователно в началото на всяка от четирите години непогасеният дълг е съответно [tex]26000[/tex], [tex]19500[/tex], [tex]13000[/tex] и [tex]6500[/tex] евро. Лихвата за всяка година е [tex]3{,}6\%[/tex] от дълга в началото ѝ:
[tex]26000\cdot 0{,}036=936; \quad 19500\cdot 0{,}036=702; \quad 13000\cdot 0{,}036=468; \quad 6500\cdot 0{,}036=234[/tex]
Общата лихва е
[tex]936+702+468+234=2340[/tex]
И така, общо са платени [tex]2340[/tex] евро лихва.

Решение:
При годишна сложна лихва [tex]6\%[/tex] всяка сума нараства [tex]1{,}06[/tex] пъти за година. Първият доход стои в банката [tex]2[/tex] години:
[tex]50000\cdot 1{,}06^2=50000\cdot 1{,}1236=56180[/tex]
Вторият доход стои в банката [tex]1[/tex] година:
[tex]50000\cdot 1{,}06=53000[/tex]
Третият доход се внася в края на третата година и не се олихвява. Общо:
[tex]56180+53000+150000=259180[/tex]
И така, в края на третата година в банката ще има [tex]259180[/tex] евро. За сравнение: ако вместо да се инвестират, [tex]190000[/tex] евро се внесат в банката при [tex]6\%[/tex], след три години те ще станат само [tex]190000\cdot 1{,}06^3=226293{,}04[/tex] евро, т.е. инвестицията носи повече от [tex]6\%[/tex] годишно.

Решение:
Нека [tex]q=1{,}028[/tex], а [tex]r[/tex] е годишната вноска. В края на всяка година дългът се умножава по [tex]q[/tex] и след това се плаща [tex]r[/tex], затова след първата, втората и т.н. до четвъртата година дългът е съответно
[tex]37000q-r; \quad 37000q^2-rq-r; \quad\ldots; \quad 37000q^4-r\left(q^3+q^2+q+1\right)[/tex]
След четвъртата година заемът е изплатен, затова последният израз е равен на [tex]0[/tex]. Тъй като [tex]q^3+q^2+q+1=\frac{q^4-1}{q-1}[/tex], получаваме
[tex]r=\frac{37000\cdot q^4(q-1)}{q^4-1}=\frac{37000\cdot 1{,}028^4\cdot 0{,}028}{1{,}028^4-1}\approx 9906{,}44[/tex]
И така, всяка вноска е приблизително [tex]9906{,}44[/tex] евро.

Решение:
Първо да преброим вноските: от март до декември [tex]2005[/tex] г. те са [tex]10[/tex], през годините от [tex]2006[/tex] до [tex]2015[/tex] г. са [tex]10\cdot 12=120[/tex], а от януари до април [tex]2016[/tex] г. са [tex]4[/tex]. Общо:
[tex]10+120+4=134[/tex]
Нека [tex]q=1{,}004[/tex]. Всяка вноска се прави в началото на месеца и се олихвява и за този месец. Затова вноската от [tex]1[/tex] април [tex]2016[/tex] г. нараства до [tex]500q[/tex], вноската от [tex]1[/tex] март [tex]2016[/tex] г. – до [tex]500q^2[/tex] и т.н., до първата вноска, която се олихвява [tex]134[/tex] месеца и нараства до [tex]500q^{134}[/tex]. Сборът на тази геометрична прогресия е
[tex]500\left(q+q^2+\ldots+q^{134}\right)=500q\cdot \frac{q^{134}-1}{q-1}=\frac{500\cdot 1{,}004}{0{,}004}\left(1{,}004^{134}-1\right)=125500\left(1{,}004^{134}-1\right)[/tex]
И така, по влога има [tex]125500\left(1{,}004^{134}-1\right)\approx 88769{,}94[/tex] евро.

Решение:
Всеки месец сумата по сметката се умножава по [tex]q[/tex]. Етап на натрупване: вноските са [tex]40\cdot 12=480[/tex]. Вноската, направена в края на [tex]k[/tex]-тия месец, се олихвява [tex]480-k[/tex] месеца, затова веднага след последната вноска по сметката има
[tex]S=100\left(q^{479}+q^{478}+\ldots+q+1\right)=\frac{100\left(q^{480}-1\right)}{q-1}[/tex]
Етап на изплащане: изплащанията са [tex]15\cdot 12=180[/tex], всяко по [tex]P[/tex] евро. След [tex]n[/tex] месеца по сметката има [tex]Sq^n-P\left(q^{n-1}+\ldots+q+1\right)[/tex], а след [tex]180[/tex] месеца трябва да има [tex]0[/tex]:
[tex]Sq^{180}=P\left(q^{179}+\ldots+q+1\right)=P\cdot \frac{q^{180}-1}{q-1}[/tex]
Следователно
[tex]P=\frac{Sq^{180}(q-1)}{q^{180}-1}=\frac{100\cdot q^{180}\left(q^{480}-1\right)}{q^{180}-1}\approx 1206{,}77[/tex]
И така, месечната пенсия е приблизително [tex]1206{,}77[/tex] евро (натрупаната сума е [tex]S\approx 152602{,}02[/tex] евро).