Системи нелинейни уравнения - задачи с решения

Решение:
Като съберем двете уравнения, получаваме
[tex]x^2+2xy+y^2=15+10\iff (x+y)^2=25[/tex]
Системата наистина има решения: тя може да се запише като [tex]x(x+y)=15,\ y(x+y)=10[/tex]; при [tex]x+y=5[/tex] получаваме [tex](3; 2)[/tex], а при [tex]x+y=-5[/tex] получаваме [tex](-3; -2)[/tex]. И за двете решения [tex](x+y)^2=25[/tex].

Решение:
Нека страните на правоъгълника са [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] (в метри), [tex]a\gt 0,\ b\gt 0[/tex]. Квадратите имат лица [tex]a^2[/tex], [tex]b^2[/tex] и периметри [tex]4a[/tex], [tex]4b[/tex], следователно
[tex]a^2+b^2=116,\quad 4a+4b=56\Rightarrow a+b=14[/tex]
Тъй като [tex](a+b)^2=a^2+b^2+2ab[/tex], получаваме
[tex]196=116+2ab\Rightarrow ab=40[/tex]
Такъв правоъгълник съществува: [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са корените на уравнението [tex]t^2-14t+40=0[/tex], т.е. [tex]4[/tex] и [tex]10[/tex]. Лицето на правоъгълника е [tex]ab=40[/tex] кв. м.

Решение:
Първото уравнение е изпълнено точно когато [tex]x=0[/tex] или [tex]x=2y[/tex]. При [tex]x=0[/tex] второто уравнение добива вида
[tex]-y^2-3y=0\iff y(y+3)=0\Rightarrow y=0\text{ или }y=-3[/tex]
Получаваме двойките [tex](0; 0)[/tex] и [tex](0; -3)[/tex]. При [tex]x=2y[/tex] имаме
[tex]4y^2-y^2-3y=0\iff 3y(y-1)=0\Rightarrow y=0\text{ или }y=1[/tex]
Получаваме двойките [tex](0; 0)[/tex] и [tex](2; 1)[/tex]. Двойката [tex](0; 0)[/tex] се появява и в двата случая, затова се брои само веднъж. Решенията са [tex](0; 0)[/tex], [tex](0; -3)[/tex] и [tex](2; 1)[/tex], т.е. системата има [tex]3[/tex] решения.

Решение:
Умножаваме първото уравнение по [tex]3[/tex] и го събираме с второто; членовете с [tex]y^2[/tex] и [tex]y[/tex] се унищожават:
[tex]3x^2+3y^2-15x-3y+2x^2-3y^2+x+3y=3\iff 5x^2-14x-3=0[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{14\pm 16}{10}\Rightarrow x=3\text{ или }x=-\frac{1}{5}[/tex]
Системата е еквивалентна на това уравнение заедно с първото уравнение. При [tex]x=3[/tex] първото уравнение дава
[tex]9+y^2-15-y=0\iff y^2-y-6=0\Rightarrow y=3\text{ или }y=-2[/tex]
При [tex]x=-\frac{1}{5}[/tex] получаваме [tex]\frac{1}{25}+y^2+1-y=0[/tex], т.е. [tex]y^2-y+\frac{26}{25}=0[/tex], чиято дискриминанта е [tex]1-\frac{104}{25}\lt 0[/tex], следователно няма реално [tex]y[/tex]. Решенията са [tex](3; 3)[/tex] и [tex](3; -2)[/tex].

Решение:
Разлагаме двете уравнения на множители. Тъй като [tex]x^2+x-12=(x-3)(x+4)[/tex] и [tex]xy-3y=y(x-3)[/tex], първото уравнение добива вида
[tex]y(x-3)-(x-3)(x+4)=0\iff (x-3)(y-x-4)=0[/tex]
Във второто уравнение [tex]y^2+y-2=(y-1)(y+2)[/tex] и [tex]-xy+x=-x(y-1)[/tex], затова то добива вида
[tex](y-1)(y+2-x)=0[/tex]
Всяко уравнение се разпада на два случая, което дава четири прости системи. При [tex]x=3,\ y=1[/tex] получаваме [tex](3; 1)[/tex]; при [tex]x=3,\ y=x-2[/tex] отново получаваме [tex](3; 1)[/tex].
При [tex]y=x+4,\ y=1[/tex] имаме [tex]x=-3[/tex] и получаваме [tex](-3; 1)[/tex]; при [tex]y=x+4,\ y=x-2[/tex] следва [tex]x+4=x-2[/tex], т.е. [tex]4=-2[/tex], което е невъзможно. Решенията са [tex](3; 1)[/tex] и [tex](-3; 1)[/tex].

Решение:
Дефиниционна област: [tex]x\ne 0,\ y\ne 0[/tex]. Привеждаме първото уравнение под общ знаменател и използваме второто уравнение:
[tex]\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{5}{6}\Rightarrow \frac{5}{xy}=\frac{5}{6}\Rightarrow xy=6[/tex]
Заместваме [tex]y=\frac{6}{x}[/tex] във второто уравнение:
[tex]x^2-\frac{36}{x^2}=5\iff x^4-5x^2-36=0\iff (x^2-9)(x^2+4)=0[/tex]
Тъй като [tex]x^2+4\gt 0[/tex], получаваме [tex]x^2=9[/tex], [tex]x=\pm 3[/tex], а [tex]y=\frac{6}{x}[/tex] има същия знак като [tex]x[/tex]: двойките [tex](3; 2)[/tex] и [tex](-3; -2)[/tex]. И двете са в дефиниционната област и удовлетворяват системата: [tex]\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}[/tex] и [tex]9-4=5[/tex].
Двойките [tex](3; -2)[/tex] и [tex](-3; 2)[/tex] не са решения: за тях [tex]xy=-6[/tex] и лявата страна на първото уравнение е [tex]-\frac{5}{6}[/tex]. Решенията са [tex](3; 2)[/tex] и [tex](-3; -2)[/tex].

Решение:
Нека обиколките на предното и на задното колело са съответно [tex]x[/tex] см и [tex]y[/tex] см, [tex]x\gt 0,\ y\gt 40[/tex]. Разстоянието е [tex]48[/tex] м, т.е. [tex]4800[/tex] см, затова колелата правят съответно [tex]\frac{4800}{x}[/tex] и [tex]\frac{4800}{y}[/tex] завъртания. От условието получаваме системата
[tex]\left\{\begin{array}{l} \frac{4800}{x}-\frac{4800}{y}=10 \\ \frac{4800}{x+40}=\frac{4800}{y-40} \end{array}\right.[/tex]
От второто уравнение [tex]x+40=y-40[/tex], т.е. [tex]y=x+80[/tex]. Заместваме в първото уравнение:
[tex]\frac{4800}{x}-\frac{4800}{x+80}=10\iff 4800\cdot 80=10x(x+80)\iff x^2+80x-38400=0[/tex]
[tex]x=-40\pm\sqrt{1600+38400}=-40\pm 200[/tex]
Коренът [tex]x=-240[/tex] отпада, защото [tex]x\gt 0[/tex], следователно [tex]x=160[/tex] и [tex]y=240[/tex]. Проверка: [tex]\frac{4800}{160}-\frac{4800}{240}=30-20=10[/tex], а при променените обиколки и двете колела правят по [tex]\frac{4800}{200}=24[/tex] завъртания. Обиколката на предното колело е [tex]160[/tex] см.