Числени методи - задачи с решения

Решение:
Методът на Нютон използва итерацията по-долу, която изисква [tex]f'(x_k)\ne 0[/tex]:
[tex]x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}[/tex]
Тук [tex]f'(x)=3x^2-1[/tex], следователно
[tex]f(2)=8-2=6,\qquad f'(2)=12-1=11\ne 0[/tex]
Тогава
[tex]x_1=2-\frac{6}{11}=\frac{16}{11}\approx 1{,}4545[/tex]
Стъпката води от [tex]x_0=2[/tex] към корена [tex]x=1[/tex] на уравнението, както се очаква.

Решение:
Нека [tex]f(x)=x^3+x-4[/tex]. Функцията е непрекъсната, [tex]f(1)=-2\lt 0[/tex] и [tex]f(4)=64\gt 0[/tex], така че по теоремата на Болцано има корен в [tex][1; 4][/tex]; тъй като [tex]f'(x)=3x^2+1\gt 0[/tex], функцията е строго растяща и коренът е единствен.
Всяка стъпка на метода разполовява текущия интервал и запазва половината, в чиито краища [tex]f[/tex] има противоположни знаци. Следователно след [tex]n[/tex] стъпки коренът лежи в интервал с дължина
[tex]\frac{4-1}{2^n}=\frac{3}{2^n}[/tex]
Трябва
[tex]\frac{3}{2^n}\lt 0{,}01\iff 2^n\gt 300[/tex]
Тъй като [tex]2^8=256\lt 300[/tex] и [tex]2^9=512\gt 300[/tex], най-малкото такова [tex]n[/tex] е [tex]9[/tex].

Решение:
Алгебричната степен на точност е най-голямото [tex]m[/tex], за което формулата е точна за всеки полином от степен [tex]\le m[/tex]. Двете страни са линейни относно [tex]f[/tex], затова е достатъчно да проверим едночлените [tex]1,\ x,\ x^2,\ \ldots[/tex] до първото несъвпадение:
[tex]f=1:\quad \int_0^1 1\,dx=1,\qquad \frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1[/tex]
[tex]f=x:\quad \int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2},\qquad \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]f=x^2:\quad \int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3},\qquad \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{4}=\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]f=x^3:\quad \int_0^1 x^3\,dx=\frac{1}{4},\qquad \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{27}+\frac{1}{4}=\frac{1}{36}+\frac{9}{36}=\frac{5}{18}\ne\frac{1}{4}[/tex]
Следователно формулата е точна за всички полиноми от степен [tex]\le 2[/tex], но не и за [tex]x^3[/tex], т.е. алгебричната ѝ степен на точност е [tex]2[/tex].