Математическа статистика - задачи с решения

Решение:
Общият брой на оценките е
[tex]n=2+4+6+10+1=23[/tex]
Тъй като [tex]n[/tex] е нечетно, медианата е средният член на наредения ред, т.е. членът с номер
[tex]\frac{n+1}{2}=\frac{23+1}{2}=12[/tex]
Нареждаме оценките по големина и натрупваме честотите: оценката [tex]2[/tex] заема местата [tex]1[/tex] и [tex]2[/tex], оценката [tex]3[/tex] — местата от [tex]3[/tex] до [tex]6[/tex], оценката [tex]4[/tex] — от [tex]7[/tex] до [tex]12[/tex], оценката [tex]5[/tex] — от [tex]13[/tex] до [tex]22[/tex], а оценката [tex]6[/tex] — мястото [tex]23[/tex]. Следователно [tex]12[/tex]-ият член е [tex]4[/tex]:
[tex]Me=4[/tex]

Решение:
Сборът на [tex]m[/tex] числа е равен на [tex]m[/tex] пъти средното им аритметично. Следователно сборовете на десетте, на деветте и на осемте числа са
[tex]10\cdot 17=170,\qquad 9\cdot 16=144,\qquad 8\cdot 15=120[/tex]
Първото премахнато число е разликата на първите два сбора, а второто — разликата на последните два сбора:
[tex]x=170-144=26,\qquad y=144-120=24[/tex]
Тяхното произведение е
[tex]xy=26\cdot 24=624[/tex]

Решение:
Разделяме сумата на две суми:
[tex]\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=\sum_{i=1}^{n}x_i-\sum_{i=1}^{n}\bar{x}[/tex]
Числото [tex]\bar{x}[/tex] не зависи от [tex]i[/tex], затова втората сума се състои от [tex]n[/tex] равни събираеми, а по определението на средното аритметично и първата сума е равна на [tex]n\bar{x}[/tex]:
[tex]\sum_{i=1}^{n}\bar{x}=n\bar{x},\qquad \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\ \Rightarrow\ \sum_{i=1}^{n}x_i=n\bar{x}[/tex]
Следователно
[tex]\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=n\bar{x}-n\bar{x}=0[/tex]
което трябваше да се докаже. С други думи, положителните и отрицателните отклонения от средното винаги се компенсират напълно; затова мерките за разсейване използват квадратите (или модулите) на отклоненията.

Решение:
Оценката на математическото очакване е извадковото средно:
[tex]\bar{x}=\frac{2{,}1+3{,}2+4{,}6+2{,}9+3{,}5+4{,}1}{6}=\frac{20{,}4}{6}=3{,}4[/tex]
Отклоненията от средното са [tex]-1{,}3; \ -0{,}2; \ 1{,}2; \ -0{,}5; \ 0{,}1; \ 0{,}7[/tex], а сумата от квадратите им е
[tex]\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2=1{,}69+0{,}04+1{,}44+0{,}25+0{,}01+0{,}49=3{,}92[/tex]
Неизместената оценка на дисперсията дели на [tex]n-1=5[/tex], а не на [tex]n[/tex] (делението на [tex]n[/tex] дава изместена оценка, защото една степен на свобода се изразходва за оценяването на средното):
[tex]s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{3{,}92}{5}=0{,}784[/tex]

Решение:
Стандартното отклонение е
[tex]\sigma=\sqrt{4}=2[/tex]
Според неравенството на Чебишов, което е в сила за всяко множество от данни независимо от разпределението му, за всяко [tex]k\gt 1[/tex] делът на данните в интервала [tex]\left[\bar{x}-k\sigma; \bar{x}+k\sigma\right][/tex] е поне [tex]1-\frac{1}{k^2}[/tex]. Този гарантиран дял е поне [tex]\frac{8}{9}[/tex] точно когато
[tex]1-\frac{1}{k^2}\ge\frac{8}{9}\iff k^2\ge 9\iff k\ge 3[/tex]
затова най-тесният такъв интервал се получава при [tex]k=3[/tex]:
[tex]\left[60-3\cdot 2; 60+3\cdot 2\right]=\left[54; 66\right][/tex]
Обърнете внимание, че [tex]k[/tex] умножава стандартното отклонение [tex]2[/tex], а не дисперсията [tex]4[/tex].

Решение:
Точковата оценка на енергията е извадковото средно:
[tex]\bar{x}=\frac{260+216+259+206+265+284+291+229+249}{9}=\frac{2259}{9}=251[/tex]
Генералната съвкупност е нормално разпределена и [tex]\sigma[/tex] е известно, затова [tex]\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}\sqrt{n}[/tex] има стандартно нормално разпределение и [tex]95\%[/tex] доверителният интервал е [tex]\bar{x}\pm z_{0{,}975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}[/tex]. Допустимата грешка е
[tex]z_{0{,}975}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot \frac{10}{3}\approx 6{,}53[/tex]
Следователно
[tex]\mu\in\left[251-6{,}53; 251+6{,}53\right]=\left[244{,}47; 257{,}53\right][/tex]