Математическа статистика - трудни задачи с решения

Решение:
Изразяваме [tex]x[/tex] от трансформацията:
[tex]y=\frac{4x-21}{10}\iff x=\frac{10y+21}{4}=2{,}5y+5{,}25[/tex]
т.е. всяка изходна стойност е [tex]x_i=2{,}5y_i+5{,}25[/tex]. При линейна трансформация [tex]x_i=ay_i+b[/tex] имаме [tex]\bar{x}=a\bar{y}+b[/tex], откъдето
[tex]x_i-\bar{x}=a\left(y_i-\bar{y}\right)\ \Rightarrow\ \left(x_i-\bar{x}\right)^2=a^2\left(y_i-\bar{y}\right)^2[/tex]
Като сумираме по всички [tex]i[/tex] и разделим на същия делител, получаваме [tex]S_x^2=a^2S_y^2[/tex]: отместването [tex]b[/tex] не променя разсейването, а множителят [tex]a[/tex] участва на квадрат. Следователно
[tex]S_x^2=2{,}5^2\cdot 1{,}1=6{,}25\cdot 1{,}1=6{,}875[/tex]
(Средната стойност [tex]\bar{x}=2{,}5\cdot 3{,}1+5{,}25=13[/tex] не е нужна за дисперсията.)

Решение:
Нека [tex]X[/tex] е резултатът от ТОП, а [tex]Y[/tex] е резултатът от новия модул; новият резултат е [tex]X+Y[/tex]. С [tex]D[/tex] означаваме дисперсията. За произволни две случайни величини
[tex]D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{cov}(X,Y)[/tex]
От определението на коефициента на корелация [tex]\operatorname{cov}(X,Y)=r\,\sigma_X\sigma_Y[/tex], където [tex]\sigma_X=\sqrt{D(X)}[/tex] и [tex]\sigma_Y=\sqrt{D(Y)}[/tex] са стандартните отклонения. Тук [tex]r=\frac{1}{3}[/tex], следователно
[tex]\operatorname{cov}(X,Y)=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{18}\cdot \sqrt{2}=\frac{1}{3}\cdot 6=2[/tex]
Следователно
[tex]D(X+Y)=18+2+2\cdot 2=24[/tex]
Средните стойности [tex]56[/tex] и [tex]4[/tex] не са нужни. Стандартното отклонение нараства от [tex]\sqrt{18}\approx 4{,}24[/tex] на [tex]\sqrt{24}\approx 4{,}90[/tex], т.е. разсейването наистина се увеличава.

Решение:
Сборът на седемте известни данни е [tex]111[/tex], така че средното аритметично е [tex]\frac{111+x}{8}[/tex]. Подредени във възходящ ред, известните данни са [tex]6; \ 8; \ 14; \ 15; \ 18; \ 20; \ 30[/tex]. Заедно с [tex]x[/tex] данните са [tex]8[/tex], така че медианата е средното аритметично на четвъртото и петото число във възходящ ред, а те зависят от мястото на [tex]x[/tex].
Случай [tex]x\le 14[/tex]: четвъртото и петото число са [tex]14[/tex] и [tex]15[/tex], медианата е [tex]14{,}5[/tex] и
[tex]\frac{111+x}{8}=14{,}5\iff 111+x=116\iff x=5[/tex]
Тази стойност удовлетворява [tex]x\le 14[/tex]. Случай [tex]14\le x\le 18[/tex]: двете средни числа са [tex]15[/tex] и [tex]x[/tex], медианата е [tex]\frac{x+15}{2}[/tex] и
[tex]\frac{111+x}{8}=\frac{x+15}{2}\iff 111+x=4x+60\iff x=17[/tex]
Тази стойност е в интервала [tex]\left[14; \,18\right][/tex]. Случай [tex]x\ge 18[/tex]: двете средни числа са [tex]15[/tex] и [tex]18[/tex], медианата е [tex]16{,}5[/tex] и
[tex]\frac{111+x}{8}=16{,}5\iff 111+x=132\iff x=21[/tex]
Действително [tex]21\ge 18[/tex]. Следователно [tex]x\in\{5; \,17; \,21\}[/tex] и най-голямата възможна стойност е [tex]21[/tex]. Проверка: при [tex]x=21[/tex] медианата е [tex]\frac{15+18}{2}=16{,}5[/tex], а средното аритметично е [tex]\frac{132}{8}=16{,}5[/tex].

Решение:
Нека резултатите от първия експеримент, подредени във възходящ ред, са [tex]x_1\le x_2\le\ldots\le x_{100}[/tex]. Броят на данните е четен, затова медианата е средното аритметично на членовете с номера [tex]50[/tex] и [tex]51[/tex]:
[tex]\sum_{i=1}^{100}x_i=100\cdot 55=5500,\qquad \frac{x_{50}+x_{51}}{2}=49[/tex]
Резултатите от втория експеримент във възходящ ред са [tex]x_1-1; \ \ldots; \ x_{50}-1; \ x_{51}+2; \ \ldots; \ x_{100}+2[/tex] (наредбата се запазва, защото [tex]x_{50}-1\lt x_{50}+2\le x_{51}+2[/tex]). Сборът и средната им стойност са
[tex]5500-50\cdot 1+50\cdot 2=5550,\qquad \frac{5550}{100}=55{,}5[/tex]
Медианата им е средното аритметично на членовете с номера [tex]50[/tex] и [tex]51[/tex]:
[tex]\frac{(x_{50}-1)+(x_{51}+2)}{2}=\frac{x_{50}+x_{51}}{2}+\frac{1}{2}=49+0{,}5=49{,}5[/tex]
Следователно средната стойност е по-голяма от медианата с
[tex]55{,}5-49{,}5=6[/tex]

Решение:
Обемът на извадката е [tex]n=40[/tex], така че горният квартил съответства на позиция [tex]\frac{3n}{4}=30[/tex]. Натрупаните честоти на интервалите са
[tex]4; \ 9; \ 15; \ 19; \ 24; \ 29; \ 34; \ 40[/tex]
Първата натрупана честота, която достига [tex]30[/tex], е [tex]34[/tex], следователно [tex]Q_3[/tex] е в интервала [tex][3{,}8; \,4{,}0)[/tex]. За този интервал долната граница е [tex]L=3{,}8[/tex], ширината е [tex]h=0{,}2[/tex] (ширините не са равни, затова се взема ширината на точно този интервал), честотата е [tex]m=5[/tex], а натрупаната честота преди него е [tex]F=29[/tex]. С линейна интерполация получаваме
[tex]Q_3=L+\frac{\frac{3n}{4}-F}{m}\cdot h=3{,}8+\frac{30-29}{5}\cdot 0{,}2=3{,}84[/tex]

Решение:
Нека [tex]x[/tex] е броят на момчетата, а [tex]y[/tex] е броят на момичетата. Средните стойности са
[tex]\bar{x}=\frac{150}{6}=25,\qquad \bar{y}=\frac{120}{6}=20[/tex]
Отклоненията от средните стойности са
[tex]x_i-\bar{x}:\ -5; \ 0; \ 0; \ 5; \ -5; \ 5[/tex]
[tex]y_i-\bar{y}:\ -5; \ 0; \ 0; \ 0; \ -5; \ 10[/tex]
Следователно
[tex]S_{xy}=\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=25+0+0+0+25+50=100[/tex]
[tex]S_{xx}=\sum(x_i-\bar{x})^2=25+0+0+25+25+25=100[/tex]
[tex]S_{yy}=\sum(y_i-\bar{y})^2=25+0+0+0+25+100=150[/tex]
Множителят [tex]\frac{1}{n}[/tex] в ковариацията и в двете дисперсии се съкращава, затова
[tex]r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}=\frac{100}{\sqrt{100\cdot 150}}=\frac{100}{50\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0{,}816[/tex]
Корелацията е силна и положителна: през месеците, в които се раждат повече момчета, обикновено се раждат и повече момичета.

Решение:
Наблюденията са независими, затова функцията на правдоподобие е произведението на плътностите. Тъй като [tex]\sum x_i=2+3+5+4+7=21[/tex],
[tex]L(\lambda)=\prod_{i=1}^{5}\lambda e^{-\lambda x_i}=\lambda^5e^{-\lambda\sum x_i}=\lambda^5e^{-21\lambda}[/tex]
Логаритмуваме и приравняваме производната на нула:
[tex]\ln L(\lambda)=5\ln\lambda-21\lambda,\qquad \frac{d}{d\lambda}\ln L(\lambda)=\frac{5}{\lambda}-21=0\iff \lambda=\frac{5}{21}[/tex]
Това е максимум, защото [tex]\frac{d^2}{d\lambda^2}\ln L(\lambda)=-\frac{5}{\lambda^2}\lt 0[/tex]. Следователно
[tex]\hat{\lambda}=\frac{n}{\sum x_i}=\frac{1}{\bar{x}}=\frac{5}{21}\approx 0{,}238[/tex]
т.е. оценката е реципрочната стойност на средното време на работа в извадката [tex]\bar{x}=4{,}2[/tex] години.

Решение:
Относителната честота в извадката е [tex]\hat{p}=\frac{16}{25}=0{,}64[/tex]. При [tex]H_0[/tex] броят на заразените моряци е биномно разпределен с [tex]n=25[/tex] и [tex]p_0=0{,}5[/tex]. Тъй като [tex]np_0=n(1-p_0)=12{,}5\ge 5[/tex], може да се използва нормалното приближение, а стандартната грешка се пресмята със стойността [tex]p_0[/tex] от [tex]H_0[/tex]:
[tex]\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\frac{0{,}25}{25}}=0{,}1[/tex]
Следователно
[tex]z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}=\frac{0{,}64-0{,}5}{0{,}1}=1{,}4[/tex]
Критерият е десностранен и [tex]z=1{,}4\lt 1{,}645[/tex], следователно [tex]H_0[/tex] не се отхвърля при ниво [tex]0{,}05[/tex]: данните не дават достатъчно основание да се твърди, че вероятността за заразяване е по-голяма от [tex]0{,}5[/tex].

Решение:
Тук [tex]n=10[/tex]. Извадковата средна стойност е
[tex]\bar{x}=\frac{23+26+15+14+10+15+23+21+23+30}{10}=\frac{200}{10}=20[/tex]
Отклоненията от средната стойност са [tex]3; \ 6; \ -5; \ -6; \ -10; \ -5; \ 3; \ 1; \ 3; \ 10[/tex], а сборът от квадратите им е
[tex]\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2=9+36+25+36+100+25+9+1+9+100=350[/tex]
следователно неизместената извадкова дисперсия и извадковото стандартно отклонение са
[tex]s^2=\frac{350}{9}\approx 38{,}89; \qquad s\approx 6{,}236[/tex]
Генералната съвкупност е нормално разпределена, а дисперсията ѝ е неизвестна, затова статистиката [tex]\frac{\bar{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}[/tex] има [tex]t[/tex]-разпределение на Стюдънт с [tex]n-1=9[/tex] степени на свобода и [tex]95\%[/tex] доверителният интервал е [tex]\bar{x}\pm t_{0{,}975; \,9}\frac{s}{\sqrt{n}}[/tex]. Имаме
[tex]\frac{s}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{350}{90}}=\frac{\sqrt{35}}{3}\approx 1{,}972[/tex]
и точността на оценката е
[tex]t_{0{,}975; \,9}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2{,}262\cdot 1{,}972\approx 4{,}46[/tex]
Следователно доверителният интервал (в хиляди евро) е
[tex]\left(20-4{,}46 ; 20+4{,}46\right)=\left(15{,}54 ; 24{,}46\right)[/tex]