Диофантови уравнения - задачи с решения

Решение:
Като разделим на [tex]2[/tex], получаваме еквивалентното уравнение
[tex]8x+13y=159[/tex]
По модул [tex]8[/tex] имаме [tex]13\equiv 5[/tex] и [tex]159\equiv 7[/tex], следователно [tex]5y\equiv 7\pmod 8[/tex]. Тъй като [tex]5\cdot 5=25\equiv 1\pmod 8[/tex], след умножение по [tex]5[/tex] получаваме
[tex]y\equiv 35\equiv 3\pmod 8[/tex]
При [tex]y=3[/tex] получаваме [tex]8x=159-39=120[/tex], т.е. [tex]x=15[/tex], така че [tex](x; y)=(15; 3)[/tex] е частно решение. Ако [tex](x; y)[/tex] е произволно решение, като извадим [tex]8\cdot 15+13\cdot 3=159[/tex] от [tex]8x+13y=159[/tex], получаваме
[tex]8(x-15)=-13(y-3)[/tex]
Тъй като [tex]8[/tex] и [tex]13[/tex] са взаимно прости, [tex]y-3[/tex] се дели на [tex]8[/tex], т.е. [tex]y=3+8t[/tex], където [tex]t\in\mathbb{Z}[/tex]; тогава [tex]8(x-15)=-104t[/tex], т.е. [tex]x=15-13t[/tex]. Обратно, всяка такава двойка е решение:
[tex]16(15-13t)+26(3+8t)=240-208t+78+208t=318[/tex]
Следователно решенията са [tex]x=15-13t,\ y=3+8t[/tex], където [tex]t\in\mathbb{Z}[/tex].

Решение:
Нека [tex]x[/tex] е броят на сандъците от [tex]130[/tex] кг, а [tex]y[/tex] – броят на сандъците от [tex]160[/tex] кг, където [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са цели неотрицателни числа. Тъй като [tex]3[/tex] тона са [tex]3000[/tex] кг, то
[tex]130x+160y=3000\iff 13x+16y=300[/tex]
По модул [tex]13[/tex] имаме [tex]16\equiv 3[/tex] и [tex]300=13\cdot 23+1\equiv 1[/tex], следователно [tex]3y\equiv 1\pmod{13}[/tex]. Тъй като [tex]3\cdot 9=27\equiv 1\pmod{13}[/tex], след умножение по [tex]9[/tex] получаваме
[tex]y\equiv 9\pmod{13}[/tex]
От друга страна, [tex]16y\le 300[/tex], откъдето [tex]y\le 18[/tex], и единствената такава стойност е [tex]y=9[/tex]. Тогава
[tex]13x=300-16\cdot 9=156\Rightarrow x=12[/tex]
И така, камионът може да бъде натоварен напълно по единствен начин: [tex]12[/tex] сандъка по [tex]130[/tex] кг и [tex]9[/tex] сандъка по [tex]160[/tex] кг ([tex]1560+1440=3000[/tex] кг). Общият брой на сандъците е [tex]12+9=21[/tex].

Решение:
Нека отборът има [tex]w[/tex] победи, [tex]d[/tex] равни мача и [tex]l[/tex] загуби ([tex]w[/tex], [tex]d[/tex], [tex]l[/tex] са цели неотрицателни числа). Тогава
[tex]w+d+l=38,\qquad 3w+d=80[/tex]
От второто уравнение [tex]d=80-3w\ge 0[/tex], откъдето [tex]w\le 26[/tex]. Като заместим в първото уравнение, получаваме
[tex]l=38-w-(80-3w)=2w-42[/tex]
Броят на загубите расте с [tex]w[/tex], затова е най-голям при [tex]w=26[/tex]: тогава [tex]d=2[/tex] и [tex]l=10[/tex]. Проверка: [tex]26+2+10=38[/tex] мача и [tex]3\cdot 26+2=80[/tex] точки. Следователно най-големият възможен брой загуби е [tex]10[/tex].

Решение:
Да допуснем, че целите числа [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] удовлетворяват уравнението. Тогава [tex]5x^2=11y+7[/tex], следователно
[tex]5x^2\equiv 7\pmod{11}[/tex]
Тъй като [tex]5\cdot 9=45\equiv 1\pmod{11}[/tex], след умножение по [tex]9[/tex] получаваме
[tex]x^2\equiv 63\equiv 8\pmod{11}[/tex]
От друга страна, всяко цяло число [tex]x[/tex] е сравнимо по модул [tex]11[/tex] с някое от числата [tex]0; \pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 5[/tex], а
[tex]0^2=0,\quad (\pm 1)^2=1,\quad (\pm 2)^2=4,\quad (\pm 3)^2=9,\quad (\pm 4)^2=16\equiv 5,\quad (\pm 5)^2=25\equiv 3\pmod{11}[/tex]
Следователно точен квадрат може да дава при деление на [tex]11[/tex] само остатъци [tex]0; 1; 3; 4; 5; 9[/tex] и никога остатък [tex]8[/tex]. Полученото противоречие доказва, че уравнението няма решение в цели числа.