Графики на функции - задачи с решения

Решение:
При [tex]x\lt 0[/tex] стойността на функцията е положителна:
[tex]y=-\frac{2}{x}=\frac{2}{-x}=\frac{2}{\left|x\right|}\gt 0[/tex]
Следователно всяка точка от графиката има отрицателна абсциса и положителна ордината, т.е. лежи във [tex]\text{II}[/tex] квадрант. Таблица със стойности:
[tex]\begin{array}{c|c|c|c|c} x & -4 & -2 & -1 & -\frac{1}{2} \\ \hline y & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 \end{array}[/tex]
Графиката е единият клон на хиперболата [tex]y=-\frac{2}{x}[/tex]: когато [tex]x[/tex] се приближава към [tex]0[/tex] отляво, [tex]y[/tex] расте неограничено, а при [tex]x\to -\infty[/tex] стойността [tex]y[/tex] се приближава към [tex]0[/tex]; осите не се достигат.
Цялата хипербола лежи във [tex]\text{II}[/tex] и [tex]\text{IV}[/tex] квадрант; условието [tex]x\lt 0[/tex] оставя само клона във [tex]\text{II}[/tex] квадрант. Знакът минус пред дробта не прави [tex]y[/tex] отрицателно, защото самото [tex]x[/tex] е отрицателно.

Решение:
Оста [tex]Oy[/tex] е правата [tex]x=0[/tex]. Ако графиката на [tex]y=f(x)[/tex] имаше две различни точки [tex]\left(0; y_1\right)[/tex] и [tex]\left(0; y_2\right)[/tex] върху нея, където [tex]y_1\ne y_2[/tex], функцията би имала две различни стойности при един и същ аргумент [tex]x=0[/tex]. Това противоречи на определението за функция: на всяко [tex]x[/tex] от дефиниционната област съответства точно една стойност [tex]f(x)[/tex]. Изобщо всяка вертикална права [tex]x=c[/tex] има най-много една обща точка с графиката на функция.
Другите три прави могат да имат две общи точки с графика. Например графиката на [tex]f(x)=2\left|x\right|-1[/tex] ги пресича в точките
[tex]Ox:\ \left(-\frac{1}{2}; 0\right),\ \left(\frac{1}{2}; 0\right)[/tex]
[tex]y=x:\ \left(-\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}\right),\ (1; 1)[/tex]
[tex]y=-x:\ (-1; 1),\ \left(\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}\right)[/tex]
а оста [tex]Oy[/tex] пресича само в [tex](0; -1)[/tex]. Отговорът е оста [tex]Oy[/tex].

Решение:
Ъгловите коефициенти на [tex]f_1[/tex] и [tex]f_2[/tex] са различни ([tex]-2\ne 1[/tex]), затова графиките им се пресичат в точно една точка. Намираме я:
[tex]1-2x=x+4\iff -3x=3\iff x=-1,\quad y=f_1(-1)=1+2=3[/tex]
Значи общата точка на трите графики може да бъде само [tex]P(-1; 3)[/tex], откъдето [tex]f_3(-1)=3[/tex]:
[tex]-(-1)+b=3\iff 1+b=3\iff b=2[/tex]
Проверка: при [tex]f_3(x)=-x+2[/tex] имаме [tex]f_3(-1)=3[/tex], т.е. и трите прави минават през [tex]P(-1; 3)[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]A(0; -2)[/tex] лежи на графиката на [tex]f[/tex], получаваме [tex]f(0)=b=-2[/tex]. Успоредните прави имат равни ъглови коефициенти, затова [tex]a=2[/tex] (а [tex]-2\ne -4[/tex], така че правите не съвпадат). Следователно
[tex]f(x)=2x-2[/tex]
Пресечните точки на двете прави с осите са:
[tex]f(x)=2x-2:\quad (1; 0),\ (0; -2)[/tex]
[tex]g(x)=2x-4:\quad (2; 0),\ (0; -4)[/tex]
Фигурата е трапецът (правите са успоредни) с върхове [tex](1; 0)[/tex], [tex](2; 0)[/tex], [tex](0; -4)[/tex], [tex](0; -2)[/tex] в [tex]\text{IV}[/tex] квадрант. Лицето му е равно на лицето на правоъгълния триъгълник, който [tex]g[/tex] отрязва от осите, минус лицето на правоъгълния триъгълник, който отрязва [tex]f[/tex]:
[tex]S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=4-1=3[/tex]

Решение:
Тъй като [tex]A[/tex] лежи на [tex]y=ax[/tex] и абсцисата ѝ е [tex]1[/tex], ординатата ѝ е [tex]a\cdot 1=a[/tex], т.е. [tex]A(1; a)[/tex]. Петата на перпендикуляра е [tex]A_1(1; 0)[/tex].
Триъгълникът [tex]OA_1A[/tex] е правоъгълен с прав ъгъл при [tex]A_1[/tex] и катети [tex]OA_1=1[/tex] и [tex]A_1A=\left|a\right|[/tex] (дължината не може да е отрицателна: при [tex]a\lt 0[/tex] точката [tex]A[/tex] е под оста [tex]Ox[/tex] и катетът е [tex]-a[/tex]). Следователно
[tex]S=\frac{1}{2}\cdot OA_1\cdot A_1A=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \left|a\right|=\frac{\left|a\right|}{2}[/tex]
Отговорът [tex]\frac{a}{2}[/tex] е верен само при [tex]a\gt 0[/tex]; при [tex]a\lt 0[/tex] той би дал отрицателно лице.

Решение:
Преместването на графиката с [tex]2[/tex] единици наляво означава, че [tex]g[/tex] приема при [tex]x[/tex] стойността, която [tex]f[/tex] приема при [tex]x+2[/tex]. Заместваме [tex]x[/tex] с [tex]x+2[/tex] във формулата на [tex]f[/tex]:
[tex]g(x)=f(x+2)=\frac{1}{3}(x+2)-5=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}-5=\frac{1}{3}x-\frac{13}{3}[/tex]
Проверка: точките [tex](0; -5)[/tex] и [tex](3; -4)[/tex] от графиката на [tex]f[/tex] се преместват в [tex](-2; -5)[/tex] и [tex](1; -4)[/tex] и наистина
[tex]g(-2)=-\frac{2}{3}-\frac{13}{3}=-5,\quad g(1)=\frac{1}{3}-\frac{13}{3}=-4[/tex]
Типични грешки: [tex]\frac{1}{3}x-3=f(x)+2[/tex] е преместване с [tex]2[/tex] нагоре, а [tex]\frac{1}{3}x-\frac{17}{3}=f(x-2)[/tex] е преместване надясно.

Решение:
Графиката на [tex]y=f(x-5)[/tex] се получава от графиката на [tex]y=f(x)[/tex] чрез транслация с [tex]5[/tex] единици надясно по оста [tex]Ox[/tex]: точката [tex]\left(t; f(t)\right)[/tex] отива в [tex]\left(t+5; f(t)\right)[/tex]. Хоризонталната транслация променя само абсцисите на точките, но не и ординатите им, затова множеството от стойностите не се променя.
Формално: когато [tex]x[/tex] пробягва дефиниционната област на [tex]f(x-5)[/tex], числото [tex]t=x-5[/tex] пробягва цялата дефиниционна област на [tex]f[/tex], затова [tex]f(x-5)[/tex] и [tex]f(t)[/tex] приемат едни и същи стойности. Следователно множеството от стойностите на [tex]f(x)[/tex] също е [tex]\left[-2; 3\right][/tex].
Отговори като [tex]\left[3; 8\right][/tex] или [tex]\left[-7; -2\right][/tex] бъркат хоризонталното преместване с вертикално.

Решение:
В една координатна система построяваме графиката на [tex]y=\left|x\right|[/tex] и правата [tex]y=-x[/tex] (ъглополовящата на втори и четвърти квадрант). Графиката на [tex]y=\left|x\right|[/tex] се състои от два лъча с общо начало [tex]O(0; 0)[/tex]:
[tex]y=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{ll}x, & x\ge 0\\ -x, & x\lt 0\end{array}\right.[/tex]
При [tex]x\le 0[/tex] левият лъч лежи върху правата [tex]y=-x[/tex], така че двете графики съвпадат по целия този лъч, включително в точката [tex]O[/tex]. При [tex]x\gt 0[/tex] имаме [tex]\left|x\right|=x\gt 0\gt -x[/tex]: графиката на [tex]y=\left|x\right|[/tex] е над абсцисната ос, а правата е под нея, така че общи точки няма.
Следователно решенията са всички [tex]x\le 0[/tex] (включително [tex]x=0[/tex]). Това съответства на определението за модул: [tex]\left|x\right|=-x[/tex] точно когато [tex]x\le 0[/tex].
[tex]x\in\left(-\infty ; 0\right][/tex]

Решение:
Таблица на стойностите:
[tex]\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & 1 & 4 & 9 & 16\\ \hline y & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\end{array}[/tex]
Графиката е графиката на [tex]y=\sqrt{x}[/tex], преместена с [tex]2[/tex] единици надолу и ограничена до [tex]0\le x\le 16[/tex]: дъга от [tex](0; -2)[/tex] до [tex](16; 2)[/tex], която пресича абсцисната ос в точката [tex](4; 0)[/tex]. Тъй като [tex]\sqrt{x}[/tex] е растяща, функцията [tex]y=\sqrt{x}-2[/tex] също е растяща и най-малката и най-голямата ѝ стойност са в краищата на интервала:
[tex]y_{\min}=y(0)=0-2=-2,\qquad y_{\max}=y(16)=\sqrt{16}-2=2[/tex]
Функцията е непрекъсната, така че приема всички стойности между [tex]-2[/tex] и [tex]2[/tex]. Множеството от стойностите е [tex]\left[-2; 2\right][/tex]. (Интервалът [tex]\left[0; 4\right][/tex] е множеството от стойностите на [tex]\sqrt{x}[/tex] преди преместването, а [tex]\left[-2; 14\right][/tex] се получава, ако [tex]2[/tex] се извади от [tex]16[/tex] вместо от [tex]\sqrt{16}[/tex].)

Решение:
Графиката се състои от три части:
при [tex]x\lt -1[/tex] — частта от правата [tex]y=4-x[/tex], която тръгва нагоре наляво от точката [tex](-1; 5)[/tex]; тази крайна точка не принадлежи на графиката (празна точка), защото [tex]x=-1[/tex] не удовлетворява [tex]x\lt -1[/tex];
при [tex]-1\le x\lt 2[/tex] — хоризонталната отсечка [tex]y=3[/tex] от плътната точка [tex](-1; 3)[/tex] до точката [tex](2; 3)[/tex]; в частност [tex]f(-1)=3[/tex], а не [tex]5[/tex];
при [tex]x\ge 2[/tex] — лъчът от правата [tex]y=x+1[/tex] с начало плътната точка [tex](2; 3)[/tex], насочен нагоре надясно.
Пресичаме графиката с хоризонталната права [tex]y=5[/tex]. За първата част:
[tex]4-x=5\Rightarrow x=-1[/tex]
Тази стойност не удовлетворява [tex]x\lt -1[/tex] и се отхвърля: правата [tex]y=5[/tex] минава точно през празната точка [tex](-1; 5)[/tex]. За втората част [tex]f(x)=3\ne 5[/tex], т.е. решения няма. За третата част:
[tex]x+1=5\Rightarrow x=4\ge 2[/tex]
следователно [tex]x=4[/tex] е решение. Уравнението има точно едно решение.