Графики на функции - трудни задачи с решения

Решение:
От условието за лицето [tex]xy=400[/tex], т.е. [tex]y=\frac{400}{x}[/tex] при [tex]x\gt 0[/tex]. Изрязаният правоъгълник трябва да се побира в картона със страни, успоредни на страните на картона, и може да бъде разположен по два начина.
Ако страната [tex]x[/tex] е по страната с дължина [tex]20[/tex], то [tex]x\le 20[/tex] и [tex]y\le 40[/tex]:
[tex]x\le 20,\quad \frac{400}{x}\le 40\iff x\ge 10\qquad\Rightarrow\qquad 10\le x\le 20[/tex]
Ако страната [tex]x[/tex] е по страната с дължина [tex]40[/tex], то [tex]x\le 40[/tex] и [tex]y\le 20[/tex]:
[tex]x\le 40,\quad \frac{400}{x}\le 20\iff x\ge 20\qquad\Rightarrow\qquad 20\le x\le 40[/tex]
Всяко [tex]x[/tex] от който и да е от двата случая е възможно, затова дефиниционната област е обединението на двата интервала:
[tex]\left[10; 20\right]\cup\left[20; 40\right]=\left[10; 40\right][/tex]
Графиката е дъгата от хиперболата [tex]y=\frac{400}{x}[/tex] от [tex](10; 40)[/tex] до [tex](40; 10)[/tex]. (Ако се разгледа само едното разположение, се получава [tex]\left[10; 20\right][/tex] или [tex]\left[20; 40\right][/tex]; ако се пренебрегне условието за [tex]y[/tex], се получава [tex]\left(0; 40\right][/tex].)

Решение:
Построяваме графиките на [tex]y_1=\left|x\right|[/tex] (ъгъл с връх [tex](0; 0)[/tex]) и [tex]y_2=\left|x+1\right|[/tex] (същият ъгъл, преместен с [tex]1[/tex] единица наляво, с връх [tex](-1; 0)[/tex]). Те са симетрични спрямо правата [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex] и се пресичат само там, където намаляващият клон на [tex]y_1[/tex] пресича растящия клон на [tex]y_2[/tex]:
[tex]-x=x+1\Rightarrow x=-\frac{1}{2},\quad y=\frac{1}{2}[/tex]
Вляво от пресечната точка [tex]\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)[/tex] графиката на [tex]y_1[/tex] е над графиката на [tex]y_2[/tex] (например при [tex]x=-2[/tex]: [tex]2\gt 1[/tex]), а вдясно от нея — под нея (при [tex]x=0[/tex]: [tex]0\lt 1[/tex]). Неравенството е строго, затова [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex], където стойностите са равни, се изключва:
[tex]x\lt -\frac{1}{2}[/tex]
Алгебрична проверка: двете страни са неотрицателни, затова можем да ги повдигнем на квадрат:
[tex]x^2\gt x^2+2x+1\iff 2x+1\lt 0\iff x\lt -\frac{1}{2}[/tex]

Решение:
Изразите под знаците за модул се анулират при [tex]x=0[/tex] и [tex]x=1[/tex]; във всеки от трите интервала функцията е линейна:
[tex]f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x-(1-x)=-1, & x\lt 0\\ x-(1-x)=2x-1, & 0\le x\lt 1\\ x-(x-1)=1, & x\ge 1\end{array}\right.[/tex]
Графиката се състои от хоризонталния лъч [tex]y=-1[/tex] при [tex]x\lt 0[/tex], отсечката от [tex](0; -1)[/tex] до [tex](1; 1)[/tex] и хоризонталния лъч [tex]y=1[/tex] при [tex]x\ge 1[/tex]. Проекцията ѝ върху ординатната ос е затвореният интервал [tex]\left[-1; 1\right][/tex]; двата края се достигат:
[tex]f(0)=-1,\qquad f(1)=1[/tex]
Същата оценка следва и от неравенството на триъгълника:
[tex]\left|f(x)\right|=\left|\,\left|x\right|-\left|x-1\right|\,\right|\le\left|x-(x-1)\right|=1[/tex]
Следователно множеството от стойностите е [tex]\left[-1; 1\right][/tex].

Решение:
Пресмятаме стойностите в краищата на частите:
[tex]f(1)=3\cdot 1-3=0,\quad 3\cdot 2-3=3=f(2),\quad f(5)=10{,}5-7{,}5=3,\quad f(7)=10{,}5-10{,}5=0[/tex]
Значи графиката е отсечката от [tex](1; 0)[/tex] до [tex](2; 3)[/tex], хоризонталната отсечка от [tex](2; 3)[/tex] до [tex](5; 3)[/tex] и отсечката от [tex](5; 3)[/tex] до [tex](7; 0)[/tex]. Частите се свързват, така че графиката е начупената линия [tex](1; 0)\to(2; 3)\to(5; 3)\to(7; 0)[/tex], разположена върху или над абсцисната ос. Заедно с отсечката от [tex]1[/tex] до [tex]7[/tex] от абсцисната ос тя ограничава трапец с основи [tex]7-1=6[/tex] и [tex]5-2=3[/tex] и височина [tex]3[/tex]:
[tex]S=\frac{6+3}{2}\cdot 3=\frac{27}{2}[/tex]
Проверка по части (два триъгълника и правоъгълник):
[tex]S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 3+3\cdot 3+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=\frac{3}{2}+9+3=\frac{27}{2}[/tex]

Решение:
Функцията е дефинирана само там, където знаменателят е различен от нула, т.е. при [tex]x\ne 0[/tex]. За тези [tex]x[/tex] можем да съкратим:
[tex]f(x)=\frac{x^3}{x^2}=x,\qquad x\ne 0[/tex]
Следователно графиката е правата [tex]y=x[/tex] (ъглополовящата на първи и трети квадрант) без точката [tex]O(0; 0)[/tex], която се изобразява с празно кръгче.
Хоризонталната права [tex]y=m[/tex] пресича правата [tex]y=x[/tex] в единствената точка [tex](m; m)[/tex]. Тази точка принадлежи на графиката на [tex]f[/tex] точно когато [tex]m\ne 0[/tex]. При [tex]m=0[/tex] правата [tex]y=0[/tex] минава през изключената точка и уравнението [tex]f(x)=0[/tex] няма решение. Следователно
[tex]m\ne 0[/tex]

Решение:
Функцията има смисъл само при [tex]a\ne 0[/tex]. Тогава
[tex]y=\frac{-2a-1}{a}\cdot \frac{1}{x}\ \Rightarrow\ k=\frac{-2a-1}{a}=-2-\frac{1}{a}[/tex]
При цяло [tex]a[/tex] числото [tex]k[/tex] е цяло точно когато [tex]\frac{1}{a}[/tex] е цяло число, т.е. при [tex]a=1[/tex] или [tex]a=-1[/tex]:
[tex]a=1\ \Rightarrow\ k=-3,\ \ y=-\frac{3}{x}\qquad\qquad a=-1\ \Rightarrow\ k=\frac{2-1}{-1}=-1,\ \ y=-\frac{1}{x}[/tex]
Хиперболата [tex]y=\frac{k}{x}[/tex] е разположена във втори и четвърти квадрант точно когато [tex]k\lt 0[/tex] (тогава [tex]y\gt 0[/tex] при [tex]x\lt 0[/tex] и [tex]y\lt 0[/tex] при [tex]x\gt 0[/tex]). И двете стойности дават [tex]k\lt 0[/tex], следователно и двете са решения:
[tex]a\in\left\{-1; 1\right\}[/tex]

Решение:
Изразите под модулите сменят знака си при [tex]x=-1[/tex] и [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]. Във всеки интервал премахваме модулите:
[tex]x\lt -1:\quad f(x)=-(2x-1)+(x+1)+x+2=4[/tex]
[tex]-1\le x\lt\frac{1}{2}:\quad f(x)=-(2x-1)-(x+1)+x+2=2-2x[/tex]
[tex]x\ge\frac{1}{2}:\quad f(x)=(2x-1)-(x+1)+x+2=2x[/tex]
Следователно графиката се състои от хоризонталния лъч [tex]y=4[/tex] при [tex]x\le -1[/tex], отсечката от [tex](-1; 4)[/tex] до [tex]\left(\frac{1}{2}; 1\right)[/tex] и лъча [tex]y=2x[/tex] при [tex]x\ge\frac{1}{2}[/tex]. Най-малката стойност на функцията е [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=1[/tex].
Нека [tex]c=k+2[/tex] и да движим хоризонталната права [tex]y=c[/tex]. При [tex]c\lt 1[/tex] няма общи точки; при [tex]c=1[/tex] има една точка ([tex]x=\frac{1}{2}[/tex]).
При [tex]1\lt c\lt 4[/tex] има две точки: [tex]x=\frac{2-c}{2}\in\left(-1; \frac{1}{2}\right)[/tex] върху отсечката и [tex]x=\frac{c}{2}\gt\frac{1}{2}[/tex] върху лъча.
При [tex]c=4[/tex] има безброй много (всяко [tex]x\le -1[/tex], както и [tex]x=2[/tex]); при [tex]c\gt 4[/tex] има една точка ([tex]x=\frac{c}{2}[/tex]).
Точно две решения има само при [tex]1\lt c\lt 4[/tex]:
[tex]1\lt k+2\lt 4\ \Leftrightarrow\ -1\lt k\lt 2\ \Leftrightarrow\ k\in\left(-1; 2\right)[/tex]

Решение:
Правата [tex]g[/tex] минава през [tex]B[/tex] и [tex]A[/tex]:
[tex]g(0)=n=\frac{16}{3},\qquad g(8)=8k+\frac{16}{3}=0\ \Rightarrow\ k=-\frac{2}{3},\qquad g(x)=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}[/tex]
Функцията [tex]f[/tex]. Ако [tex]x\ge 1[/tex], то [tex]\left|1-x\right|=x-1[/tex] и [tex]3x+1-(x-1)=2x+2\gt 0[/tex], затова
[tex]f(x)=2x+2-2x=2[/tex]
Ако [tex]x\lt 1[/tex], то [tex]\left|1-x\right|=1-x[/tex] и [tex]3x+1-(1-x)=4x[/tex], затова [tex]f(x)=\left|4x\right|-2x[/tex]:
[tex]0\le x\lt 1:\ f(x)=4x-2x=2x,\qquad x\lt 0:\ f(x)=-4x-2x=-6x[/tex]
Следователно графиката на [tex]f[/tex] е лъчът [tex]y=-6x[/tex] при [tex]x\lt 0[/tex], отсечката от [tex]O(0; 0)[/tex] до [tex]C(1; 2)[/tex] и хоризонталният лъч [tex]y=2[/tex] при [tex]x\ge 1[/tex]. Пресечни точки с [tex]g[/tex]:
[tex]-6x=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}\ \Rightarrow\ x=-1\lt 0,\quad P(-1; 6)[/tex]
[tex]2=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}\ \Rightarrow\ x=5\ge 1,\quad Q(5; 2)[/tex]
Уравнението [tex]2x=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}[/tex] дава [tex]x=2[/tex], което отхвърляме, защото формулата [tex]f(x)=2x[/tex] е в сила само при [tex]0\le x\lt 1[/tex].
Графиките се пресичат само в [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex], а при [tex]x=0[/tex] имаме [tex]g(0)=\frac{16}{3}\gt 0=f(0)[/tex], затова при [tex]-1\lt x\lt 5[/tex] правата [tex]g[/tex] е над графиката на [tex]f[/tex]; там и двете функции са неотрицателни. Заградената фигура има върхове [tex]P(-1; 6)[/tex], [tex]O(0; 0)[/tex], [tex]C(1; 2)[/tex], [tex]Q(5; 2)[/tex] и лицето ѝ е лицето под [tex]g[/tex] минус лицето под [tex]f[/tex] в интервала [tex]\left[-1; 5\right][/tex].
Под [tex]g[/tex]: трапец с основи [tex]g(-1)=6[/tex] и [tex]g(5)=2[/tex] и височина [tex]6[/tex]. Под [tex]f[/tex]: два триъгълника и правоъгълник:
[tex]S_g=\frac{6+2}{2}\cdot 6=24,\qquad S_f=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 6+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2+4\cdot 2=3+1+8=12[/tex]
[tex]S=S_g-S_f=24-12=12[/tex]