Квадратна функция и парабола - задачи с решения

Решение:
Координатите на върха са
[tex]x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2,\quad y_V=(-2)^2+4\cdot (-2)+5=1[/tex]
Наистина, [tex]y=(x+2)^2+1[/tex], така че върхът е [tex]V(-2; 1)[/tex]. Разстоянието от точка до ординатната ос (правата [tex]x=0[/tex]) е равно на абсолютната стойност на абсцисата ѝ:
[tex]d=|x_V|=|-2|=2[/tex]
(Числото [tex]1[/tex] е разстоянието от върха до абсцисната ос, а не до ординатната.)

Решение:
Най-малката стойност [tex]0[/tex] се достига при [tex]x=1[/tex], следователно [tex](1; 0)[/tex] е върхът на параболата и тя е с клони нагоре:
[tex]f(x)=a(x-1)^2,\quad a\gt 0[/tex]
От [tex]f(-1)=8[/tex] получаваме
[tex]a\cdot (-1-1)^2=4a=8\Rightarrow a=2\gt 0[/tex]
Следователно [tex]f(x)=2(x-1)^2=2x^2-4x+2[/tex] и
[tex]f(-2)=2\cdot (-3)^2=18[/tex]

Решение:
Тъй като [tex]a=b+6[/tex], произведението е квадратна функция на [tex]b[/tex] с положителен старши коефициент:
[tex]ab=b(b+6)=b^2+6b=(b+3)^2-9\ge -9[/tex]
Равенство се достига във върха [tex]b=-3[/tex], т.е. при [tex]a=3[/tex], [tex]b=-3[/tex]. Следователно най-малката стойност на [tex]ab[/tex] е [tex]-9[/tex].

Решение:
Отделяме точен квадрат:
[tex]f(x)=-x^2-2x+19=-(x+1)^2+20[/tex]
Параболата е с клони надолу и връх [tex](-1; 20)[/tex]. Тъй като [tex]-1\in\left[-2; 1\right][/tex], най-голямата стойност е [tex]f(-1)=20[/tex]. Функцията расте в [tex]\left[-2; -1\right][/tex] и намалява в [tex]\left[-1; 1\right][/tex], така че най-малката стойност се достига в единия от краищата:
[tex]f(-2)=19+4-4=19,\quad f(1)=19-2-1=16[/tex]
Значи най-малката стойност е [tex]16[/tex], а търсеният сбор е
[tex]20+16=36[/tex]

Решение:
Нека едната страна на правоъгълника е [tex]x[/tex] м. Полупериметърът е [tex]4[/tex] м, така че другата страна е [tex]4-x[/tex] м и [tex]0\lt x\lt 4[/tex]. Лицето е
[tex]S(x)=x(4-x)=-x^2+4x=4-(x-2)^2\le 4[/tex]
Параболата е с клони надолу и върхът ѝ [tex]x=2[/tex] е в интервала [tex]\left(0; 4\right)[/tex], следователно най-голямото лице е [tex]S(2)=4[/tex]: прозорецът е квадрат със страна [tex]2[/tex] м и лицето му е [tex]4[/tex] квадратни метра.

Решение:
Записваме функцията във вида
[tex]y=5+2x-x^2=-(x-1)^2+6[/tex]
Транслацията не променя старшия коефициент (формата и посоката на клоните на параболата), а само положението на върха. С новия връх [tex](4; 6)[/tex] получаваме
[tex]y=-(x-4)^2+6=-x^2+8x-16+6=-x^2+8x-10[/tex]
Същото се получава и така: преместване с [tex]3[/tex] единици надясно означава [tex]x[/tex] да се замени с [tex]x-3[/tex]:
[tex]5+2(x-3)-(x-3)^2=-x^2+8x-10[/tex]
(Замяната на [tex]x[/tex] с [tex]x+3[/tex] би преместила върха в [tex](-2; 6)[/tex], добавянето на [tex]3[/tex] към функцията – в [tex](1; 9)[/tex], а параболата [tex]y=x^2-8x+22[/tex] е с клони нагоре.)

Решение:
Графиката няма общи точки с абсцисната ос, следователно дискриминантата е отрицателна и параболата лежи изцяло над оста (при [tex]a\gt 0[/tex]) или изцяло под нея (при [tex]a\lt 0[/tex]).
Точката [tex](1; f(1))[/tex] от графиката лежи над оста, защото [tex]f(1)\gt 0[/tex], следователно цялата парабола лежи над оста. Значи клоните ѝ са нагоре и [tex]f(x)\gt 0[/tex] за всяко [tex]x[/tex]; в частност при [tex]x=0[/tex]:
[tex]a\gt 0,\quad c=f(0)\gt 0[/tex]